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Vídeo de la lección: Aplicaciones trigonométricas de las identidades pitagóricas Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo usar las identidades pitagóricas para hallar valores numéricos de expresiones trigonométricas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo usar las identidades pitagóricas para hallar valores numéricos de expresiones trigonométricas. Vamos a comenzar recordando algunas fórmulas y definiciones clave.

Sabemos que las funciones trigonométricas son periódicas y por tanto alcanzan cada valor un número infinito de veces. Por ello, en este video, nos vamos a centrar en ángulos entre cero y 360 grados y vamos a hacer uso del diagrama CAST. Los ejes 𝑥 y 𝑦 forman cuatro cuadrantes como se muestra. El primer cuadrante tiene valores de 𝑥 positivos y valores de 𝑦 positivos; el segundo cuadrante tiene valores de 𝑥 negativos y valores de 𝑦 positivos; el tercer cuadrante, valores de 𝑥 negativos y valores de 𝑦 negativos; y el cuarto cuadrante, valores de 𝑥 positivos y valores de 𝑦 negativos.

Cuando trabajamos con nuestras funciones trigonométricas, medimos los ángulos en sentido antihorario desde el eje 𝑥 positivo. Esto significa que el cuadrante uno contiene ángulos entre cero y 90 grados; el cuadrante dos, entre 90 y 180 grados; y así sucesivamente. Podemos etiquetar los cuadrantes con el acrónimo CAST como se muestra. En el cuadrante uno, llamado A, el seno del ángulo 𝜃, sen del ángulo 𝜃 y tan del ángulo 𝜃 son todos positivos. En el cuadrante dos, el seno del ángulo 𝜃 es positivo. Sin embargo, el cos del ángulo 𝜃 y tan del ángulo 𝜃 son ambos negativos. En el cuadrante tres, cuando 𝜃 está entre 180 y 270 grados, tan de 𝜃 es positivo, mientras que sen de 𝜃 y cos de son ambos negativos. Finalmente, en el cuadrante cuatro, cos de 𝜃 es positivo y sen y tan de 𝜃 son negativos.

En este video, también vamos a necesitar recordar la definición de las tres funciones trigonométricas recíprocas. La csc del ángulo 𝜃 es igual a uno sobre el sen del ángulo 𝜃. La sec del ángulo 𝜃 es igual a uno sobre el coseno del ángulo 𝜃. Y la cot del ángulo 𝜃 es igual a uno sobre el tan del ángulo 𝜃. Si las funciones sen 𝜃, cos 𝜃 y tan 𝜃 son positivas o negativas, su recíproca también será positiva o negativa. Esto significa que las seis funciones son positivas en el primer cuadrante. En el segundo cuadrante, entre 90 y 180 grados, sen de 𝜃 y csc de 𝜃 serán positivos, mientras que las otras cuatro funciones serán negativos. Esta pauta continúa en los cuadrantes tres y cuatro.

En las cuestiones que siguen en este video, vamos a necesitar usar esta información para decidir si nuestras respuestas son positivas o negativas.

Consideremos ahora las tres identidades pitagóricas. En primer lugar, tenemos sen al cuadrado de 𝜃 más cos al cuadrado de 𝜃 igual a uno. Nuestra segunda identidad es tan al cuadrado de 𝜃 más uno es igual a sec al cuadrado de 𝜃. Si bien no es el objetivo de este video demostrar estas identidades, es fácil ver que podemos pasar de la primera identidad a la segunda identidad dividiendo cada término por cos al cuadrado de 𝜃. Y sen al cuadrado de 𝜃 dividido por cos al cuadrado de 𝜃 es tan al cuadrado de 𝜃, ya que sen 𝜃 sobre cos 𝜃 es igual a tan 𝜃. Dividir cos al cuadrado 𝜃 por cos al cuadrado 𝜃 nos da uno. Y sabemos también que uno dividido por cos al cuadrado 𝜃 es sec al cuadrado 𝜃. La tercera identidad pitagórica es uno más cot al cuadrado 𝜃 es igual a csc al cuadrado 𝜃. Esto se puede obtener dividiendo cada término de la primera identidad por sen al cuadrado 𝜃.

sen al cuadrado 𝜃 dividido por sen al cuadrado 𝜃 es igual a uno. cos al cuadrado 𝜃 dividido por sen al cuadrado 𝜃 es igual a uno sobre tan al cuadrado 𝜃. Y esto es igual a cot al cuadrado 𝜃. Finalmente, uno dividido por sen al cuadrado 𝜃 es igual a csc al cuadrado 𝜃. Ahora vamos a usar estas tres identidades junto con el diagrama CAST para resolver algunas ecuaciones trigonométricas.

Halla cos 𝜃 sabiendo que sen 𝜃 es igual a menos tres quintos, donde 𝜃 es mayor o igual que 270 grados y menor que 360 grados.

Hay muchas formas de resolver este problema. En este video vamos a usar la identidad pitagórica sen al cuadrado 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃 igual a uno. Antes de sustituir nuestro valor de sen 𝜃, debemos mencionar que 𝜃 debe ser mayor o igual que 270 grados y menor que 360 grados. Usando nuestro conocimiento del diagrama CAST, esto significa que 𝜃 debe estar en el cuarto cuadrante. En este cuadrante, el coseno del ángulo 𝜃 es positivo, mientras que sen de 𝜃 y tan de 𝜃 son negativos. Esto concuerda con el hecho de que nos dicen que sen 𝜃 es negativo, menos tres quintos. Sabemos que nuestra respuesta para cos de 𝜃 debe ser positiva.

Ahora podemos sustituir el valor de sen 𝜃 en nuestra identidad pitagórica. Esto nos da menos tres quintos al cuadrado más cos al cuadrado 𝜃 es igual a uno. Elevar al cuadrado un número negativo da una respuesta positiva. Por lo tanto, menos tres quintos al cuadrado es igual a nueve veinticincoavos. Después, podemos restar esto de ambos lados de nuestra ecuación. cos al cuadrado 𝜃 es igual a 16 sobre 25 o dieciséis veinticincoavos. Hallando la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación, vemos que cos de 𝜃 igual a más o menos raíz cuadrada de 16 sobre 25. Cuando hallamos la raíz cuadrada de una fracción, simplemente hallamos la raíz cuadrada del numerador y del denominador por separado. La raíz cuadrada de 16 es cuatro y la raíz cuadrada de 25 es cinco. Como el cos de 𝜃 debe ser positivo, podemos concluir que el cos de 𝜃 es cuatro quintos.

En nuestra siguiente cuestión, necesitamos evaluar la función seno conocida la función coseno y el cuadrante del ángulo.

Halla el valor de sen 𝜃 sabiendo que cos de 𝜃 es igual a menos 21 sobre 29, donde 𝜃 es mayor que 90 grados y menor que 180 grados.

Para contestar esta cuestión, vamos a usar la identidad pitagórica sen al cuadrado 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃 es igual a uno. Nos dicen que 𝜃 está entre 90 y 180 grados, por lo que vale la pena considerar nuestro diagrama CAST. El ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, lo que significa que el seno del ángulo 𝜃 debe ser positivo. El cos del ángulo 𝜃 y la tan del ángulo 𝜃 deben ser negativos. Esto se relaciona con el hecho de que se nos dice que el coseno de 𝜃 es igual a menos 21 sobre 29. También nos ayuda a saber que la respuesta para sen 𝜃 debe ser positiva.

Podemos sustituir el valor de cos 𝜃 en la identidad pitagórica. Elevar al cuadrado menos 21 sobre 29 nos da 441 sobre 841. Luego podemos restar esto de ambos lados de nuestra ecuación y obtenemos que sen al cuadrado 𝜃 es igual a uno menos 441 sobre 841. El lado derecho se simplifica a 400 sobre 841. Después podemos poner la raíz cuadrada en ambos lados de nuestra ecuación y obtenemos sen de 𝜃 igual a más o menos raíz cuadrada de 400 sobre 841.

La raíz cuadrada del numerador nos da 20 y la del denominador 29. Como sen de 𝜃 debe ser positivo, si el coseno de 𝜃 es menos 21 sobre 29 y 𝜃 se encuentra entre 90 y 180 grados, entonces el sen de 𝜃 es igual a 20 sobre 29.

En nuestra siguiente cuestión, vamos a usar las identidades pitagóricas para evaluar una expresión.

Halla el valor de sen 𝜃 cos 𝜃 sabiendo que sen 𝜃 más cos 𝜃 es igual a cinco cuartos.

Para resolver este problema, necesitaremos recordar las identidades pitagóricas. Comenzaremos con la ecuación sen 𝜃 más cos 𝜃 igual a cinco sobre cuatro. Podemos elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación. El lado izquierdo se convierte en sen 𝜃 más cos 𝜃 multiplicado por sen 𝜃 más cos 𝜃. El lado derecho es igual a 25 sobre 16 ya que simplemente elevamos al cuadrado el numerador y el denominador por separado.

Desarrollando los paréntesis usando el método PEIÚ, obtenemos sen al cuadrado 𝜃 más sen 𝜃 cos 𝜃 más sen 𝜃 cos 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃. Podemos agrupar los términos intermedios. sen al cuadrado 𝜃 más dos sen 𝜃 cos 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃 es igual a 25 sobre 16. Una de las identidades pitagóricas dice que sen al cuadrado 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃 es igual a uno. Esto significa que podemos reescribir el lado izquierdo de nuestra ecuación como dos sen 𝜃 cos 𝜃 más uno. Luego podemos restar uno de ambos lados de esta ecuación. 25 sobre 16 menos uno es igual a nueve sobre 16.

Después podemos dividir ambos lados de esta nueva ecuación por dos, lo que nos da sen 𝜃 cos 𝜃 igual a nueve sobre 32. Si sen 𝜃 más cos 𝜃 es igual a cinco sobre cuatro, entonces sen 𝜃 multiplicado por cos 𝜃 es igual a nueve sobre 32.

En nuestra última cuestión, vamos a usar una identidad pitagórica diferente.

Halla sec de 𝜃 menos tan de 𝜃 sabiendo que sec de 𝜃 más tan de 𝜃 es igual a menos 14 sobre 27.

Recordemos que la identidad de la diferencia de dos cuadrados dice que 𝑥 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado es igual a 𝑥 más 𝑦 multiplicado por 𝑥 menos 𝑦. Esto significa que sec 𝜃 más tan 𝜃 multiplicado por sec 𝜃 menos tan 𝜃 es igual a sec al cuadrado 𝜃 menos tan al cuadrado 𝜃. En la cuestión nos dan el valor de sec 𝜃 más tan 𝜃. Es igual a menos 14 sobre 27. Y necesitamos calcular el valor de sec 𝜃 menos tan 𝜃.

Una de las identidades pitagóricas dice que tan al cuadrado 𝜃 más uno es igual a sec al cuadrado 𝜃. Si restamos tan al cuadrado 𝜃 de ambos lados de esta ecuación, hallamos que sec al cuadrado 𝜃 menos tan al cuadrado 𝜃 es igual a uno. Esto es equivalente al lado derecho de nuestra ecuación. Menos 14 sobre 27 multiplicado por sec 𝜃 menos tan 𝜃 es igual a uno. Después podemos dividir ambos lados de esta ecuación por menos 14 sobre 27. Sabemos que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el recíproco de esta fracción. Por lo tanto, el lado derecho es igual a uno multiplicado por menos 27 sobre 14.

Si sec de 𝜃 más tan de 𝜃 es igual a menos 14 sobre 27, entonces sec de 𝜃 menos tan de 𝜃 es igual a menos 27 sobre 14. Estos valores son recíprocos entre sí.

A continuación, vamos a resumir los puntos clave de este video. Las tres identidades pitagóricas son las siguientes. sen al cuadrado 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃 es igual a uno. tan al cuadrado 𝜃 más uno es igual a sec al cuadrado 𝜃. Uno más cot al cuadrado 𝜃 es igual a csc al cuadrado 𝜃. Hemos visto en este video que podemos usar estas identidades para hallar valores de expresiones trigonométricas. Cuando resolvemos cualquier ecuación trigonométrica, también es importante recordar cuáles de las funciones son positivas y cuáles son negativas en cada cuadrante. Una forma de hacer esto es usando el diagrama CAST como se muestra.

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