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Vídeo de la lección: Funciones pares e impares Matemáticas • Duodécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo determinar si una función es par, impar o ni par ni impar tanto a partir de una gráfica como de una ecuación.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo determinar si una función es par, impar o ni par ni impar tanto a partir de una gráfica como de una ecuación Vamos a comenzar analizando el concepto de paridad de una función. La paridad describe si una función es par o impar. Y ¿qué significa que una función es par o impar? Bien, para determinar si una función es par o impar, lo primero que hacemos es verificar el dominio de la función. Necesitamos que el dominio esté centrado en el origen. Si respondemos no a esta pregunta, la función no puede ser para ni impar.

Por ejemplo, imaginemos que el dominio de nuestra función es el intervalo abierto de menos ocho a ocho. 𝑥 igual a cero está exactamente a medio camino entre estos dos números, por lo que el dominio está centrado en 𝑥 igual a cero. Pero ¿qué pasa con el dominio del intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la izquierda de menos cuatro a dos? Bueno, no. 𝑥 igual a cero no está exactamente en la mitad. Por lo tanto, una función con este dominio no sería ni impar ni par. Sin embargo, si podemos responder afirmativamente a la pregunta anterior, entonces diremos que una función es par si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥. Y diremos que es impar si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Y si la función 𝑓 de 𝑥 no satisface ninguno de estos criterios, entonces no es ni impar ni par.

Así que una técnica que tenemos para verificar si una función es par o impar es sustituir menos 𝑥 en la función y ver qué obtenemos. Sin embargo, también hay una sencilla interpretación geométrica. Veamos de dónde viene esta interpretación.

Determina si la función representada por la siguiente figura es par, impar o ni par ni impar.

Aquí tenemos una gráfica de la función. Así que vamos a recordar cómo determinar la paridad de una función, cómo determinar si es par o impar. Lo primero que hacemos es preguntarnos, ¿el dominio de esta función está centrado en 𝑥 igual a cero? Recordemos que el dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada, el conjunto de valores de 𝑥 que podemos sustituir en la función. Y podemos identificar ese dominio en el gráfico.

Pero debemos tener un poco de cuidado porque la gráfica no parece estar definida en 𝑥 igual a cero. De hecho, el dominio es la unión del intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha de menos ocho a cero y el intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha de cero a ocho. Esto está centrado en 𝑥 igual a cero. Cero está exactamente en el centro de este dominio. Y ahora podemos contestar que sí a esta pregunta. Y podemos pasar a la siguiente parte.

Decimos que una función es par si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥, y que es impar si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Una forma en la que podemos establecer si alguna de estas cosas es cierta es eligiendo un valor de 𝑥. Por ejemplo, usemos el punto 𝑥 igual a cinco. Cuando 𝑥 es igual a cinco, el valor de nuestra función, el valor de 𝑦, es menos uno. Así que 𝑓 de cinco es menos uno. Y esto significa que menos 𝑥 es menos cinco. Y ahora necesitamos leer el valor de 𝑦 cuando 𝑥 es menos cinco. 𝑓 de menos cinco también es menos uno. Por lo que parece que esta podría ser una función par. Pero comprobemos con otro valor.

Elijamos 𝑥 igual a uno. 𝑓 de uno es aproximadamente igual a menos 4.1. Entonces menos 𝑥 será igual a menos uno. Y una vez más, 𝑓 de menos uno es aproximadamente igual a menos 4.1. Y así, para los dos valores que hemos probado, 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de. Pero, de hecho, si observamos bien la gráfica, vemos que tiene simetría axial con respecto al eje Y. Y, por lo tanto, todo valor de 𝑓 de 𝑥 debe ser igual a todo valor de 𝑓 de menos 𝑥. , consecuentemente, podemos decir que la función es par.

Podemos generalizar esto. Toda gráfica de una función par tiene simetría axial con respecto al eje Y. Veamos, por ejemplo, la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a cos de 𝑥. Es perfectamente simétrica con respecto al eje Y, así que cos de 𝑥 es una función par. Este es un resultado general que podemos citar. Sin embargo, una función impar no tiene simetría axial. Una función impar tiene simetría central con respecto al origen, o lo que es lo mismo, tiene simetría rotacional de orden dos con respecto al origen. En otras palabras, la gráfica no cambia cuando es girad 180 grados alrededor del origen, o, lo que es equivalente, cuando es reflejada con respecto al origen. Tomemos, por ejemplo, la función 𝑓 de 𝑥 igual a sen 𝑥. Si giramos la gráfica de esta función 180 grados alrededor del origen, o la reflejamos con respecto al origen, obtendremos exactamente la misma gráfica.

Lo mismo exactamente puede decirse de la función tangente. A pesar de sus asíntotas, si giramos esta gráfica 180 grados alrededor del origen cero, cero, o la reflejamos con respecto al origen, se verá exactamente igual, siempre y cuando, por supuesto, su dominio también sea simétrico. Su dominio debe estar centrado en 𝑥 igual a cero. Ahora que tenemos estas representaciones gráficas, veamos otro ejemplo.

¿La función representada por la figura es par, impar o no es par ni impar?

Recuerda, podemos determinar la paridad de una función observando su gráfica. Sin embargo, antes de hacerlo, necesitamos decidir si el dominio está centrado en 𝑥 igual a cero. Si la respuesta es sí, pasamos a la siguiente etapa. Pero si no lo es, la función no puede ser par ni impar. Hallemos el dominio de nuestra función. Recordemos que el dominio es el conjunto de los posibles valores de entrada de la función, el conjunto de valores posibles de la variable independiente 𝑥. El valor más pequeño de 𝑥 que está en nuestra función es 𝑥 igual a dos, y el valor más grande posible de 𝑥 es 𝑥 igual a seis. Y así vemos que el dominio es el intervalo cerrado de dos a seis. Este dominio está centrado en 𝑥 igual a cuatro. El punto medio es 𝑥 igual a cuatro. Así que la respuesta a esta primera pregunta es negativa. Así que la función no es ni par ni impar.

Pero hablemos un poco sobre una idea equivocada con respecto a este tema. Cuando pensamos en la representación gráfica de funciones, sabemos que estas funciones son pares si tienen simetría de reflexión alrededor del eje Y. Y son impares si tienen simetría rotacional de orden dos —es decir, simetría central— con respecto al origen. Nuestra gráfica parece tener cierta simetría central (o rotacional de orden dos). Si tomamos el centro como cuatro, uno, entonces sí tiene simetría central (o rotacional de orden dos).. Si giramos ese gráfico 180 grados, se verá exactamente igual. Pero este punto no es el origen. El centro de simetría es cuatro, uno. Y eso nos confirma que este gráfico no es ni par ni impar.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo determinar si una función es par o impar conocida su ecuación.

¿Es la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 a la quinta por tan a la cuarta de seis 𝑥 par, impar o ni par ni impar?

Recordemos cómo determinamos la paridad de una función. Lo primero que hacemos es verificar el dominio de la función. Necesitamos que esté centrado en 𝑥 igual a cero. Y si la respuesta es no, podemos decir que la función no es par ni impar sin realizar más pruebas. Sin embargo, si la respuesta es sí, decimos que será par si satisface 𝑓 de menos 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥. Y será impar si satisface 𝑓 de menos 𝑥 igual a menos 𝑓 de 𝑥. Por supuesto, si no satisface ninguno de estos, no será ni par ni impar.

Así que pensemos en el dominio de nuestra función. Nuestra función es el producto de dos funciones. Es el producto de 𝑥 a la quinta y tan de seis 𝑥 a la cuarta. Y el dominio de 𝑓 de 𝑥 será la intersección de los dominios de las funciones factores. 𝑥 a la quinta es un polinomio, por lo que su dominio es el conjunto de los números reales o el intervalo abierto de menos ∞ a ∞. Pero ¿qué pasa con el dominio de la parte trigonométrica? Bien, son todos los números reales, excepto aquellos que hacen que cos de seis 𝑥 sea igual a cero. Pero como los valores de 𝑥 que hacen que cos de seis 𝑥 sea igual a cero son simétricos con respecto al eje Y, podemos ver que el dominio de tan de seis 𝑥 a la cuarta está centrado en 𝑥 igual a cero.

Como ambos dominios están centrados en 𝑥 igual a cero, podemos responder sí a esta primera pregunta y podemos continuar. La función es par si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 e impar si es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Así que hallemos 𝑓 de menos 𝑥. Para hacer esto, reemplazamos cada instancia de 𝑥 en nuestra función original con menos 𝑥. Y obtenemos que 𝑓 de menos 𝑥 es menos 𝑥 a la quinta por tan a la cuarta de menos seis 𝑥. Vamos a hallar cada factor por separado. Comencemos con menos 𝑥 a la quinta. Como el exponente es impar, cuando lo multiplicamos, obtendremos un resultado negativo. Menos 𝑥 a la quinta es como se muestra.

Pero ¿qué pasa con la función tan? De hecho hemos visto antes que tan de 𝑥 es impar, lo que significa que tan de menos 𝑥 es igual a menos tan de 𝑥, y, por lo tanto, tan de menos seis 𝑥 es igual a menos tan de seis 𝑥. Pero, por supuesto, la tangente está elevada a la cuarta potencia. Está elevada a un exponente par. Y sabemos que cuando elevamos un número negativo a un exponente par, el resultado es positivo. Así que tan a la cuarta de menos seis 𝑥 es simplemente tan de seis 𝑥 a la cuarta.

Por lo tanto, 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑥 a la quinta por tan de seis tan a la cuarta. ¿Esto satisface alguno de nuestros criterios, el de par o el de impar? Bueno, si. Nos fijamos bien, vemos que esto es lo mismo que menos 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Así que la función es impar.

Veamos ahora cómo podemos aplicar estos criterios a una función definida a trozos.

Determina si la función 𝑓 es par, impar o ni par ni impar, sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos nueve 𝑥 menos ocho si 𝑥 es menor que cero y nueve 𝑥 menos ocho si 𝑥 es mayor o igual que cero.

Recordemos los pasos que nos permiten comprobar la paridad de una función, es decir, si es par o impar. En primer lugar, establecemos si el dominio está centrado en 𝑥 igual a cero. Si la respuesta es sí, entonces podemos decir que la función es par si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 y es impar si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Bien, al observar los valores aquí vemos que el dominio de nuestra función es simplemente el conjunto de los números reales. Y, por supuesto, ese conjunto está claramente centrado en 𝑥 igual a cero. Y así respondemos sí a la primera pregunta. Y ahora vamos a considerar el segundo criterio.

Como esta es una función definida a trozos, debemos tener mucho cuidado. Cuando 𝑥 es menor que cero, estamos trabajando con 𝑓 de 𝑥 igual a menos nueve 𝑥 menos ocho. Y cuando es mayor o igual a cero, estamos trabajando con nueve 𝑥 menos ocho. Así que debemos considerar las dos partes de nuestra función por separado. Empecemos con menos nueve 𝑥 menos ocho. Y ahora vamos a hallar 𝑓 de menos 𝑥. Será menos nueve por menos 𝑥 menos ocho. Pero un signo menos multiplicado por un signo menos es un signo más. Así que 𝑓 de menos 𝑥 es igual a nueve 𝑥 menos ocho.

Nota que eso es igual a la segunda parte de nuestra función. Y está absolutamente bien que sea igual a la otra parte, ya que hemos cambiado el signo del valor de 𝑥. Y así nos movemos al otro lado de la función definida a trozos. Y para esta parte, sí, 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥. Esa parte ciertamente parece ser par. Pero revisemos la segunda parte. Tomemos 𝑓 de 𝑥 igual a nueve 𝑥 menos ocho y luego hallemos 𝑓 de menos 𝑥. Es nueve por menos 𝑥 menos ocho, que es menos nueve 𝑥 menos ocho. Hemos cambiado el signo del valor de 𝑥, y hemos terminado con 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 es menor que cero. Y esta parte de la función también es par. Podemos decir que 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥. Y, por lo tanto, podemos decir que nuestra función definida a trozos es par.

En nuestro último ejemplo, vamos a ver cómo el dominio puede afectar la paridad de una función.

Determina si la función 𝑓 de 𝑥 igual a nueve 𝑥 al cubo es par, impar, o ni par ni impar sabiendo que 𝑓 está definida en el intervalo abierto por la izquierda y cerrado a la derecha de menos siete a siete del conjunto de los números reales.

Recuerda, para verificar la paridad de una función, primero verificamos si su dominio está centrado en 𝑥 igual a cero. De lo contrario, la función no será ni par ni impar. Y si el dominio esta centrado, entonces diremos que la función es par si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥. Y decimos que la función es impar si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. El dominio de nuestra función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada. Es el intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha de menos siete a siete. A primera vista puede parecer que nuestro dominio está centrado en el origen. Pero notemos que tenemos un paréntesis aquí y un corchete aquí. Esto significa que nuestro dominio no incluye el valor de 𝑥 igual a menos siete, pero sí incluye el valor de 𝑥 igual a siete. Y, por lo tanto, está un poco sesgado. Su centro estará ligeramente a la derecha de cero. Así que podemos decir que esta función no es ni par ni impar.

Y si no hubiéramos comprobado esto, podríamos haber concluido que la función es impar. Y esto se debe a que 𝑓 de menos 𝑥 aquí es nueve veces menos 𝑥 al cubo. Pero menos 𝑥 al cubo es menos 𝑥 al cubo. Así que 𝑓 de menos 𝑥 es lo mismo que menos nueve 𝑥 al cubo, que es lo mismo que menos 𝑓 de 𝑥. Y esto nos muestra lo importante que es verificar el dominio. También es posible que desees pensar en esto gráficamente. Una función es impar si la gráfica tiene simetría central (o, lo que es lo mismo, simetría rotacional de orden dos) con respecto al origen. En otras palabras, si la reflejamos o la giramos 180 grados con respecto al punto cero, cero, obtenemos exactamente la misma gráfica. Este no puede ser el caso aquí porque, cuando giramos la gráfica, tomamos un punto del domino y lo asignamos a un punto que no está en el dominio y, viceversa. Así que la gráfica no es exactamente igual. Y así determinamos que nuestra función bajo estas restricciones no es ni par ni impar.

Antes de terminar, repasemos los principales puntos de esta lección. Hemos visto que el concepto de paridad se refiere a si una función es par o impar. Y hemos visto que, para determinar la paridad, primero hemos de determinar si el dominio de la función está centrado en 𝑥 igual a cero. Si la respuesta es no, la función no puede ser ni par ni impar. Pero si la respuesta es sí, entonces decimos que la función es par si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥, y es impar si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Una vez más, si no satisface ninguno de estos valores, no puede ser ni par ni impar.

Hemos visto que también podemos usar la gráfica de las funciones para determinar si son pares o impares. Una función par tendrá una simetría axial con respecto al eje Y, mientras que las funciones impares tendrán una simetría central, o lo que es equivalente, una simetría rotacional de orden dos con respecto al origen de coordenadas. La gráfica no cambia al ser reflejada o al ser girada 180 grados con respecto al punto cero, cero.

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