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En este video, vamos a aprender cómo aproximar la raíz 𝑛-ésima de un número. En otras palabras, vamos a aprender cómo hallar valores aproximados de radicales.
Vamos a comenzar definiendo qué son los radicales. Cuando usamos la palabra radical, nos referimos a una expresión que contiene un símbolo de raíz. Si no tiene índice, el símbolo de radical significa la raíz cuadrada del radicando, o sea, la raíz cuadrada del número que se encuentre dentro del símbolo. Si tenemos un tres como índice de nuestra raíz, se trata de la raíz cúbica. Si es un cuatro, es la raíz cuarta. Y para referirnos a la forma general, con un índice variable 𝑛, decimos la raíz 𝑛-ésima. Para entender lo que significan estas raíces, veamos algunos ejemplos.
Antes que nada, hallar la raíz cuadrada de cuatro es lo mismo que preguntar qué número multiplicado por sí mismo es igual a cuatro. Cuando hablamos de la raíz cúbica, tenemos tres de estos valores: 𝑥 por 𝑥 por 𝑥. En este caso, si queremos hallar la raíz cúbica de ocho, decimos «¿Qué valor cuando lo multiplicas por sí mismo dos veces es igual a ocho?». Ya sabemos que dos por dos es igual a cuatro, por dos es ocho, lo que significa que la raíz cúbica de ocho es igual a dos. En nuestro ejemplo final, necesitamos ese valor cuatro veces en la multiplicación. Sabemos que cuatro por cuatro es igual a 16 y que dos por dos es igual a cuatro, lo que significa que la raíz cuarta de 16 es igual a dos.
Todos los ejemplos que hemos visto tenían respuestas enteras, lo que los hace radicales racionales. Pueden ser escritos como enteros o como quebrados. Pero, a menudo, cuando trabajamos con radicales, obtenemos soluciones irracionales. Un número real que no puede ser expresado como un quebrado cuyo numerador y denominador son ambos enteros es un número irracional. Podemos pensar en un número como 𝜋 pero también en números tales como la raíz cuadrada de tres. Si escribes la raíz cuadrada de tres en tu calculadora, obtendrás 1.732050808 etcétera. Es un número decimal que no termina ni es periódico y, por lo tanto, sabemos que no se puede escribir como un quebrado, lo que hace que la raíz cuadrada de tres sea irracional.
Pero muchas veces es útil tomar estos números radicales irracionales y hallar un valor decimal aproximado para ellos. Y eso es lo que vamos a hacer ahora. Consideremos dos cuadrados, el primer cuadrado con una longitud de tres, y el segundo cuadrado con una longitud de cuatro. Esto significa que el área del primer cuadrado es igual a tres al cuadrado, la longitud de lado al cuadrado. Y el área del segundo cuadrado es igual a cuatro al cuadrado. Tres al cuadrado es nueve, cuatro al cuadrado es 16. Y basándonos en este dibujo, podemos decir que la raíz cuadrada de nueve es tres y que la raíz cuadrada de 16 es cuatro.
Consideremos ahora un tercer cuadrado del cual no sabemos la longitud de sus lados, pero sabemos que tiene un área de 12. Si este cuadrado tiene un área de 12, la longitud de sus lados es igual a la raíz cuadrada de 12. La raíz cuadrada de 12 tiene que ser mayor que tres y menor que cuatro. Y esta es una forma de aproximar radicales. Hicimos esto hallando el número cuadrado por debajo de 12 y el número cuadrado por encima de 12, lo que nos dio los dos enteros entre los que se halla la raíz cuadrada de 12.
Consideremos otro ejemplo. Esta vez, tenemos un tercer cuadrado cuya área es 10, lo que significa que la longitud del lado que estamos buscando es la raíz cuadrada de 10. Usando el mismo método, podemos decir que va a estar entre tres y cuatro. Sin embargo, hay algo más que podemos decir al respecto. Como 10 está mucho más cerca de nueve, podemos decir que, mientras que la raíz cuadrada de 10 estará entre tres y cuatro, su número entero más cercano será tres. Es decir, la raíz cuadrada de 10 está más cerca de tres que de cuatro. Después de estas consideraciones, estamos listos para ver algunos ejemplos.
Miguel está tratando de determinar qué dos números enteros están los lados de la raíz cuadrada de 51. Decide que es útil usar lo que le han enseñado sobre los números cuadrados. ¿Cuál es el mayor número cuadrado por debajo de 51? ¿Cuál es el número cuadrado más pequeño por encima de 51? Determina los dos números enteros consecutivos entre los que se halla la raíz cuadrada de 51.
En primer lugar, debemos pensar en lo que sabemos sobre los números cuadrados. Un número cuadrado es el resultado de multiplicar un número entero por sí mismo. Por ejemplo, uno al cuadrado es uno y dos al cuadrado son cuatro. Decimos que cuatro es un número cuadrado. Es útil memorizar los primeros 10 números cuadrados. Tres al cuadrado es nueve. Cuando enumeramos números cuadrados, los primeros tres son uno, cuatro, nueve, luego cuatro al cuadrado es 16, cinco al cuadrado es 25, seis al cuadrado es 36, siete al cuadrado es 49, ocho al cuadrado es 64, después tenemos 81 y luego 100. Estos son los primeros 10 números cuadrados, y podemos usarlos para resolver las cuestiones siguientes.
¿Cuál es el mayor número cuadrado debajo de 51? Esto significa que estamos buscando el número cuadrado más cercano a 51 pero que no lo supere. Y es 49. La siguiente cuestión es parecida. ¿Cuál es el número cuadrado más pequeño por encima de 51? Esto significa que necesitamos el número cuadrado más cercano a 51, pero debe ser mayor que 51. Y aquí, nuestra respuesta es 64. Si colocamos 49 y 64 en una recta numérica, 51 estará entre ambos valores, pero más cerca de 49.
En otra recta numérica, podríamos poner la raíz cuadrada de 49 y la raíz cuadrada de 64. Cuando añadimos la raíz cuadrada de 51, está más cerca de la raíz cuadrada de 49 que de la raíz cuadrada de 64. Pero sabemos que la raíz cuadrada de 49 es siete y la raíz cuadrada de 64 es ocho. Lo que significa que la raíz cuadrada de 51 está entre los números enteros consecutivos siete y ocho.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a considerar algunos cuadrados perfectos en una recta numérica para ayudarnos a hallar una raíz cuadrada irracional.
Hemos identificado las posiciones de los números raíz cuadrada de 120, raíz cuadrada de 102 y raíz cuadrada de 111 en la recta numérica. Prestando atención a su tamaño, decide cuál de estos números está representado por 𝑎.
Nos han dado la raíz cuadrada de 120, la raíz cuadrada de 102 y la raíz cuadrada de 111. No reconocemos ninguno de estos valores como números cuadrados, lo que significa que el resultado no será un número entero. Sin embargo, al fijarnos en nuestra recta numérica, vemos dos valores enteros; vemos 10 y 11. Y sabemos que 10 es la raíz cuadrada de 100. 10 al cuadrado es 100. La raíz cuadrada de 100 es 10. Podemos seguir el mismo procedimiento para hallar qué es 11. Y obtenemos que 11 es la raíz cuadrada de 121. Y eso es porque 11 por 11 es 121. Cuando vemos la raíz cuadrada de 121, recordamos que uno de nuestros valores es la raíz cuadrada de 120. Y la raíz cuadrada de 120 está muy cerca de la raíz cuadrada de 121 en una recta numérica.
Basados en este razonamiento, sabemos que la raíz cuadrada de 102 está muy cerca de la raíz cuadrada de 100 en la recta numérica. Y finalmente tenemos la raíz cuadrada de 111, que está aproximadamente a mitad de camino entre la raíz cuadrada de 100 y la raíz cuadrada de 121. Según estos datos de la recta numérica, sabemos que la raíz cuadrada de 102 está entre 10 y 10.2. Nuestra cuestión busca el valor que representa 𝑎. Y aquí, 𝑎 representa la raíz cuadrada de 102.
A continuación, otro ejemplo.
¿Cuál de los siguientes números está más cerca de cinco? (A) La raíz cuadrada de ocho, (B) la raíz cuadrada de 24, (C) la raíz cuadrada de 94, (D) la raíz cuadrada de 106, o (E) la raíz cuadrada de 120.
Una forma de resolver esto empieza por escribir los primeros 10 números cuadrados. Uno al cuadrado es uno, dos al cuadrado es cuatro, tres al cuadrado son nueve, luego 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. Y cuando miramos esta lista, sabemos que 25 es igual a cinco al cuadrado. Si cinco al cuadrado es igual a 25, entonces la raíz cuadrada de 25 es cinco. Y estamos buscando el valor más cercano a cinco. El valor exacto de cinco es la raíz cuadrada de 25. Esto significa que estamos buscando el radical más cercano a la raíz cuadrada de 25. En nuestros ejemplos, tenemos la raíz cuadrada de 24, que está mucho más cerca de la raíz cuadrada de 25 que cualquiera de los otros ejemplos. La raíz cuadrada de 24, al número entero más cercano, es cinco.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo aproximar radicales puede ayudarnos cuando estamos trabajando con problemas de área.
La fórmula para el área de un cuadrado es 𝐴 igual a 𝑠 al cuadrado, donde s es la longitud de lado. Aproxima la longitud de lado de un cuadrado cuya área es de 74 pulgadas cuadradas al número entero más cercano.
Estamos trabajando con un cuadrado cuya área es de 74 pulgadas cuadradas y queremos saber a qué es igual la longitud del lado. Como el área es igual al lado al cuadrado, también sabemos que la longitud de lado es igual a la raíz cuadrada del área. Para nuestro cuadrado, podemos decir que la longitud del lado es igual a la raíz cuadrada de 74. Pero para aproximar este valor, necesitamos los números cuadrados por encima y por debajo de 74. Recordemos cuáles están por encima y por debajo de 74 o hagamos una lista de los primeros 10 números cuadrados.
De la lista, vemos que 64 está justo por debajo de 74 y que 81 está justo por encima de 74. Así que 64 es el número cuadrado justo por debajo de 74 y la raíz cuadrada de 64 es ocho, y el número cuadrado justo por encima de 74 es 81 y la raíz cuadrada de 81 es nueve. En este punto, podemos decir con seguridad que la raíz cuadrada de 74 está entre ocho y nueve. Pero en este caso, tenemos que redondear al número entero más cercano. Y eso significa que debemos tomar la decisión de si la raíz cuadrada de 74 va a estar más cerca de nueve o de ocho. Y para eso, hay que determinar qué tan lejos está 74 de 64, que son 10 unidades, y qué tan lejos está 74 de 81, que son siete unidades.
Como 74 está un poco más cerca de 81, cuando redondeamos al número entero más cercano, redondeamos a nueve. Pero, no podemos olvidar el contexto de nuestra cuestión. Este nueve representa la longitud de lado de un cuadrado. Y como el área se midió en pulgadas cuadradas, la longitud de lado se medirá en pulgadas. Al número entero más cercano, la longitud de lado de un cuadrado con un área de 74 pulgadas al cuadrado es nueve pulgadas.
En nuestro ejemplo final, tenemos que aproximar un radical a las décimas en lugar de al número entero más cercano.
Halla los dos números consecutivos con una cifra decimal entre los que se halla la raíz cuadrada de 151.
Decir «con una cifra decimal» es lo mismo que decir «con una décima». Y queremos hallar una aproximación de la raíz cuadrada de 151. Al resolver problemas como este, una estrategia que usamos con frecuencia es tratar de obtener un número cuadrado por encima y otro por debajo del valor que estamos usando. Si buscamos la raíz cuadrada de 151, necesitamos un número cuadrado tanto por encima como por debajo de este valor. Al principio, podemos pensar en 100, que es 10 al cuadrado. Pero cuando pensamos en 11 al cuadrado, es 121. Después 12 al cuadrado que es 144. Luego tenemos 13 al cuadrado, que es 169. Y así hemos hallado los dos valores por encima y por debajo de 151.
Cuando colocamos estos valores en una recta numérica, vemos que la raíz cuadrada de 151 está mucho más cerca de la raíz cuadrada de 144. Esto se debe a que 151 está más cerca de 144 que de 169. Nosotros, por supuesto, sabemos que la raíz cuadrada de 144 es 12 y que la raíz cuadrada de 169 es 13. Y podemos decir que la raíz cuadrada de 151 es mayor que 12 pero menor que 13. Pero a veces, queremos ser un poco más específicos. Para hacer esto, imagina que amplificamos esta recta numérica y comenzamos con la raíz cuadrada de 144, que es 12. Pero ahora queremos además mostrar los números con una décima, lo que significa que escribimos 12.1, 12.2, y así sucesivamente.
Para decidir dónde va la raíz cuadrada de 151, calculamos 12.1 al cuadrado, que es 146.41. Si pasamos a 12.3 al cuadrado, vemos que es 151.29. Es mayor que 151. Lo que significa que descubrimos que la raíz cuadrada de 151 no puede ser mayor que 12,3. Y eso significa que tenemos que comprobar 12.2. 12.2 al cuadrado es 148.84, que es menos que 151. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 151 se halla entre 12.2 y 12.3. Podemos escribir esto como la desigualdad 12.2 es menor que la raíz cuadrada de 151 que es menor que 12.3.
Antes de terminar, solo necesitamos decir algo sobre la aproximación de raíces superiores. En todos nuestros ejemplos, hemos aproximado raíces cuadradas. Pero las raíces cúbicas y las raíces de índice superior siguen el mismo procedimiento. Por ejemplo, si estamos tratando con cubos, enumeramos los números al cubo. Hacemos una recta numérica. La raíz cúbica de uno es uno, la raíz cúbica de ocho es dos, la raíz cúbica de 27 es tres. De modo que, si buscamos la raíz cúbica de cinco, estará entre uno y dos. Y hacemos lo mismo con la raíz cuarta y así hasta la raíz 𝑛-ésima.
Podemos resumir lo que hemos aprendido con algunos puntos clave. El valor de una raíz cuadrada irracional 𝑎 se puede aproximar hallando los dos números cuadrados más cercanos a la raíz cuadrada de 𝑎. El cuadrado número uno es menor que 𝑎 y el cuadrado número dos es mayor que 𝑎. Por lo tanto, la raíz cuadrada del cuadrado número uno es menor que la raíz cuadrada de 𝑎, que es menor que la raíz cuadrada del cuadrado número dos.
