Vídeo: Calcular los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia de radio conocido

Sabiendo que 𝐴𝑀 = 50 cm, calcula la longitud de 𝐵𝐶.

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Transcripción del vídeo

Sabiendo que 𝐴𝑀 mide 50 centímetros, calcula la longitud de 𝐵𝐶.

Tenemos un dibujo de una circunferencia de centro 𝑀. Y se nos ha pedido que calculemos la longitud de 𝐵𝐶, que es una cuerda de la circunferencia. Sabemos que la longitud del segmento 𝐴𝑀 es 50 centímetros.

Si nos fijamos en el segmento 𝐴𝑀, podemos ver que es un radio de la circunferencia pues sus extremos son el centro de la circunferencia, 𝑀, y un punto en la circunferencia, 𝐴. El segmento 𝐴𝐵 es un diámetro de la circunferencia pues sus dos extremos son puntos en la circunferencia y pasa por el centro.

La relación entre el diámetro y el radio de una circunferencia es que el diámetro es el doble de largo que el radio. Así, si 𝐴𝑀 mide 50 centímetros, entonces la longitud total de 𝐴𝐵 es el doble. Es 100 centímetros.

Queremos calcular la longitud de la cuerda 𝐵𝐶, que es un lado en el triángulo 𝐴𝐵𝐶, del que sabemos la medida de otro lado, 100 centímetros, y de un ángulo, 30 grados. ¿Tenemos más datos sobre este triángulo?

Bueno, de hecho, sí tenemos. El segmento 𝐴𝐵, tal y como hemos dicho antes, es el diámetro de la circunferencia que la divide en dos semicircunferencias. Sabemos que el ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90 grados. Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está en la circunferencia, que es lo que ocurre con el punto 𝐶, y cuyos lados son cuerdas de la circunferencia, que es lo que ocurre con las cuerdas 𝐵𝐶 y 𝐴𝐶.

Por lo tanto, sabemos que el ángulo 𝐵𝐶𝐴 es un ángulo recto, 90 grados. Así que ahora tenemos un triángulo rectángulo del que conocemos la longitud de un lado, el tamaño de otro ángulo, y queremos calcular la longitud de un segundo lado. Por lo tanto, podemos usar trigonometría en este problema.

Primero, tenemos que decidir qué razón trigonométrica usar. Para hacerlo, tenemos que comenzar por etiquetar los tres lados del triángulo en relación con el ángulo de 30 grados. 𝐵𝐶 es el lado opuesto. 𝐴𝐶 es el adyacente. Y 𝐴𝐵 es la hipotenusa.

Podemos acordarnos del acrónimo SOHCAHTOA para ayudarnos a decidir cuál de las tres razones trigonométricas vamos a usar. El lado que queremos calcular es el opuesto. Y el lado que conocemos es la hipotenusa. O y H están juntos en la parte del SOH de este acrónimo, lo que nos dice que es la razón seno la que tenemos que utilizar en este problema.

Vamos a recordar su definición. El seno de un ángulo 𝜃 es igual al lado opuesto dividido por la hipotenusa. En este problema, el ángulo 𝜃 mide 30 grados. El opuesto es el lado que queremos calcular, 𝐵𝐶. Y la hipotenusa es 100. Así que obtenemos la ecuación seno de 30 grados es igual a 𝐵𝐶 sobre 100.

Queremos resolver esta ecuación para hallar la longitud de 𝐵𝐶. Comencemos por multiplicar ambos lados por 100. También hemos intercambiado los lados de la ecuación para que 𝐵𝐶 esté en el lado de la izquierda. Tenemos que 𝐵𝐶 es igual a 100 30 grados.

Podemos responder a esta pregunta sin usar la calculadora porque 30 grados es uno de los ángulos notables del que necesitamos conocer las razones de seno, coseno y tangente de memoria.

El valor de seno de 30 grados es de hecho igual a un medio. Por lo tanto, 𝐵𝐶 es igual a 100 multiplicado por un medio. Y nuestra respuesta al problema es que la longitud de 𝐵𝐶 es 50 centímetros. Respondimos a esta pregunta aplicando trigonometría en un triángulo rectángulo. Para hacer esto, tuvimos que recordar el hecho básico de que el ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90 grados.

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