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Vídeo de la lección: Resolución de ecuaciones usando funciones trigonométricas inversas Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo resolver ecuaciones usando funciones trigonométricas inversas en el primer cuadrante.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo resolver ecuaciones usando funciones trigonométricas inversas en el primer cuadrante.

Antes de hablar sobre las funciones trigonométricas inversas, repasemos un poco lo que sabemos de las funciones trigonométricas. Para hacer eso, vamos a analizar esta figura. Tenemos un triángulo rectángulo con un cateto vertical de longitud 𝑦 y un cateto horizontal de longitud 𝑥. Observa que la distancia desde el origen hasta el punto 𝑥, 𝑦 es uno. Esto significa que la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual en longitud al radio de la circunferencia y mide uno. Una circunferencia con un centro en el origen y un radio de uno se conoce como circunferencia unitaria. Entonces, lo que vemos aquí es un triángulo rectángulo inscrito en un cuadrante de una circunferencia unitaria. Y vamos a hablar sobre el seno, el coseno y la tangente en relación con este triángulo rectángulo en la circunferencia unitaria. El valor de 𝑥 representa la longitud del cateto contiguo o adyacente. El valor de 𝑦 representa la longitud del cateto opuesto. Y luego, tenemos una hipotenusa de uno, la distancia desde el origen hasta el punto 𝑥, 𝑦.

En este triángulo con un ángulo de 𝜃, el seno de 𝜃 es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa. El cos de 𝜃 es igual al cateto contiguo sobre la hipotenusa, y la tan de 𝜃 es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. De esta información, obtenemos un principio realmente importante. Para las funciones trigonométricas, el valor de entrada es una medida de ángulo y el valor de salida es un cociente de longitudes de lados. Ingresamos la medida 𝜃 de un ángulo y el valor de salida es un número. Usando esta información y lo que sabemos sobre las funciones inversas, podemos decir que los valores de salida (y el rango) de las funciones trigonométricas se convierten en los valores de entrada (y el dominio) de la función inversa, y los valores de entrada (y el dominio) de las funciones trigonométricas se convierten en los valores de salida (y el rango) de las funciones trigonométricas inversas.

La inversa de la función sen, ingresa un número, que significa cateto opuesto sobre hipotenusa, y el valor de salida es una medida de ángulo. La inversa del coseno ingresa un número, que significa una razón de cateto contiguo sobre hipotenusa, y el valor de salida es una medida de ángulo. Lo mismo es cierto para la tangente. Lo que estamos diciendo aquí es que para nuestra función trigonométrica inversa, los valores que ingresamos en la función serán razones de longitudes de lados y la salida será una medida de ángulo. La salida puede estar en grados o en radianes. Pero antes de continuar, necesitamos hacer algunas distinciones.

Debido a que ninguna de las tres funciones trigonométricas son funciones inyectivas, es decir, todas fallan en la prueba de la recta horizontal, cuando estamos trabajando con las funciones inversas, tenemos que restringir su dominio. Y eso significa que, para operar con las inversas de las funciones trigonométricas, necesitaremos operar en dominios restringidos. En este caso, solo vamos a operar en el intervalo de cero grados a 90 grados, o sea, de cero radianes a 𝜋 sobre dos radianes. Con las funciones inversas nos vamos a limitar a trabajar en el primer cuadrante. Si estás trabajando con inversas en una calculadora, automáticamente te dará las respuestas en el primer cuadrante. Veamos ahora cómo usar estas funciones trigonométricas inversas para resolver ecuaciones.

Sabiendo que 𝐴 es un ángulo agudo y que sen 𝐴 es igual a 0.8193, halla la medida del ángulo 𝐴 a la décima de grado más cercana.

Sabemos que sen de algún ángulo desconocido 𝐴 es igual a 0.8193. Si pensamos en esta función trigonométrica, el valor de 𝜃 es la medida de un ángulo y el valor de la función es un cociente de longitudes de los lados. Si conocemos la razón de las longitudes de los lados y queremos saber la medida del ángulo, necesitamos una función que pueda deshacer la función seno, y esa función es la función inversa de sen 𝜃. Necesitamos hallar el seno inverso de sen 𝐴. Haremos eso en ambos lados de nuestra ecuación. El sen inverso de sen 𝐴 es igual a 𝐴, y el sen inverso de 0.8193 se puede hallar con una calculadora. Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados, ya que estamos interesados en la medida de este ángulo en grados.

Cuando hacemos eso, obtenemos 55.0147 etcétera grados. Redondearemos esto a la décima más cercana y así obtenemos que la medida del ángulo 𝐴 es 55.0 grados. Nos dicen que 𝐴 es un ángulo agudo, por lo que solo nos interesa el valor más pequeño que puede tener 𝐴, que es de 55 grados.

Antes de continuar, debemos conocer las diferentes notaciones de las funciones trigonométricas inversas. Ya hemos visto el seno con el superíndice de menos uno, y lo hemos leído como seno a la menos uno o como seno inverso. Pero esto a veces también se escribe como arcoseno, y estas dos notaciones significan exactamente lo mismo. El arcoseno devuelve el ángulo cuyo seno es un número dado. Del mismo modo, el coseno inverso se puede escribir como arcoseno y la tangente inversa como arctan. Veamos otro ejemplo en el que necesitamos usar una función trigonométrica inversa para resolver una ecuación.

Halla el valor de 𝑋 sabiendo que tan de 𝑋 sobre cuatro es igual a raíz cuadrada de tres, siendo 𝑋 sobre cuatro un ángulo agudo.

Hemos dicho que solo trabajaremos con ángulos en el primer cuadrante. Y sabemos que la tangente de 𝜃 es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Y eso significa que para algún ángulo 𝜃, la tangente de 𝜃 es igual a este valor. Y para nosotros, ese ángulo es 𝑋 sobre cuatro, y el valor de la tangente es la raíz cuadrada de tres. Cuando vemos que esta tangente de algún ángulo es igual a la raíz cuadrada de tres, podemos reconocer que este es un ángulo notable. Sabemos que tan de 60 grados es igual a la raíz cuadrada de tres. Y si sabemos que tan de 60 grados es igual a la raíz cuadrada de tres, entonces podemos decir que 𝑋 sobre cuatro es igual a 60 grados. Luego, multiplicamos ambos lados de la ecuación por cuatro y hallamos que 𝑋 es igual a 240 grados.

Es posible que de repente te estés preguntando: «¡Espera! Pensé que solo íbamos a usar ángulos agudos». Pero debemos tener cuidado aquí porque decir que 𝑋 sobre cuatro ha de ser un ángulo agudo no significa que 𝑋 tenga que ser menor que 90 grados. 𝑋 sobre cuatro es 60 grados, que es un ángulo agudo, y 𝑋 es 240 grados.

Pero ahora tal vez te estés preguntando, ¿qué pasa si no recuerdas que tan de 60 grados es igual a la raíz cuadrada de tres? En este caso precisamente es cuando hay que echar mano de las funciones trigonométricas inversas. Si aplicas la tan inversa a tan de 𝑋 sobre cuatro, obtienes 𝑋 sobre cuatro. Y si aplicas la tan inversa a raíz cuadrada de tres y utilizas para ello una calculadora, obtendrás 60 grados. Debes asegurarte de que tu calculadora esté operando en grados y no en radianes cuando ingresas la tan inversa de la raíz cuadrada de tres. Ambos métodos muestran que 𝑋 debe ser igual a 240 grados pues 𝑋 sobre cuatro es igual a 60 grados.

Ahora estamos listos para ver otro ejemplo.

Halla la medida del ángulo 𝑋 en grados sabiendo que dos por cos de 𝑋 es igual a tan de 60 grados, siendo 𝑋 un ángulo agudo.

Como 𝑋 es un ángulo agudo, solo nos interesan las soluciones en el primer cuadrante. Y nos dicen que dos por cos de 𝑋 es igual a tan de 60 grados. Y lo primero que podemos hacer es hallar tan de 60 grados, que es igual a la raíz cuadrada de tres. Debido a que este es un ángulo notable, que generalmente memorizamos, tal vez ya sabías que tan de 60 grados es raíz cuadrada de tres. Si no, puedes hallarlo con tu calculadora. Ahora, tenemos dos por cos de 𝑋 igual a raíz cuadrada de tres. Nuestro objetivo es hallar 𝑋. Tenemos, pues, que despejar 𝑋. Así que dividimos por dos y vemos que el coseno de 𝑋 tiene que ser igual a la raíz cuadrada de tres sobre dos.

Y una de dos cosas puede pasar aquí. Quizás recuerdes que el coseno de 30 grados es la raíz cuadrada de tres sobre dos. O tal vez hayas pensado que podemos despejar 𝑋 aplicando el cos inverso a ambos lados de esta ecuación. El cos inverso del cos de 𝑋 es igual a 𝑥 y el cos inverso de la raíz cuadrada de tres sobre dos se pueden hallar en una calculadora, con un resultado de 30 grados. Si sabías de memoria que el coseno de 30 grados es la raíz cuadrada de tres sobre dos, inmediatamente sabrías que 𝑋 tiene que ser igual a 30 grados. Pero ambos métodos prueban esto.

Estamos listos para ver un último ejemplo.

Halla la medida del ángulo 𝐸 sabiendo que tan de 𝐸 es igual a 18.5845 y el ángulo 𝐸 es un ángulo agudo. Da tu respuesta al segundo más cercano.

Como sabemos que el ángulo 𝐸 es un ángulo agudo, sabemos que solo trataremos con valores en el primer cuadrante. Sabemos que tan de 𝐸 es igual a 18.5845. Sabemos que la tangente de algún ángulo es igual a este valor del cociente de las longitudes de los catetos. Y también sabemos que, si nos dan el valor del cociente de las longitudes de los lados para alguna tangente, podemos hallar la medida del ángulo haciendo uso de la tangente inversa. Y eso significa que queremos hallar la tangente inversa de ambos lados de esta ecuación. La tan inversa de tan de 𝐸 es igual a 𝐸. Y antes de hallar la tan inversa de 18.5845, debemos preguntarnos «¿estamos tratando con radianes o grados?». Necesitamos redondear este valor al segundo más cercano. Un segundo es una fracción de un minuto y un minuto es una fracción de un grado. Eso significa que necesitaremos calcular esta tangente inversa en grados.

Asegurándonos de que nuestra calculadora esté configurada en grados, obtenemos que 𝐸 es igual a 86.91998286 etcétera grados. Esto significa que 𝐸 tiene 86 grados enteros más una parte decimal. Para que podamos convertir esta parte decimal a minutos y segundos, debemos recordar que un grado es igual a 60 minutos. Y eso significa que para hallar cuántos minutos serían 0.91998286 grados continuos, debemos multiplicar por 60. Y cuando hacemos eso, obtenemos 55.19897132 minutos continuos, 55 minutos enteros y una parte decimal.

Nuestro último paso será convertir esta parte decimal a segundos. Y para eso, tenemos que saber que un minuto es igual a 60 segundos. Entonces, tenemos 86 grados, 55 minutos y luego tendremos 0.19897132 por 60 minutos, lo que nos da 11.93827 segundos continuos. Para redondear al segundo más cercano, redondearemos ese 11.9 a 12. Y diremos que la medida del ángulo 𝐸 es igual a 86 grados, 55 minutos y 12 segundos.

Revisemos para finalizar nuestros puntos clave. Si conocemos el valor de sen 𝜃, cos 𝜃 o tan 𝜃 donde 𝜃 es un ángulo agudo, podemos usar las funciones trigonométricas inversas para hallar la medida 𝜃 del ángulo. Podemos representar esto diciendo que sen inverso de sen 𝜃 es igual a 𝜃, que cos inverso de cos de 𝜃 es igual a 𝜃, y que tan inversa de 𝜃 es igual a 𝜃.

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