Lesson Video: Raíces cúbicas de la unidad

Video Transcript

En este video, vamos a demostrar cómo hallar las raíces cúbicas de la unidad y vamos a explorar las propiedades de estas raíces. Vamos a comenzar aclarando qué queremos decir con las raíces cúbicas de la unidad y cómo calcularlas. Vamos a aprender cómo calcular productos y potencias positivas y negativas de estas raíces de la unidad, así como sumas y restas. Finalmente, aprenderemos cómo simplificar expresiones usando las propiedades de estas raíces. Considera la ecuación 𝑧 al cubo igual a uno.

Halla los valores de 𝑧 para los cuales 𝑧 al cubo es igual a uno.

Aquí tenemos la ecuación 𝑧 al cubo igual a uno, en donde 𝑧 es un número complejo. Existen muchas formas en las que podemos resolver esta ecuación. Una de ellas es aplicando el teorema o fórmula de De Moivre para las raíces. La otra se basa en reorganizar la ecuación para luego resolver 𝑧 al cubo menos uno igual a cero. Para hacer esto, necesitamos descubrir una raíz y usar luego el teorema del factor, seguido de una división de polinomios o de una identificación de coeficientes, para hallar las otras raíces. Veamos cómo podemos resolver esto usando la fórmula de De Moivre.

Vamos a usar la fórmula de De Moivre para un número complejo escrito en forma trigonométrica. Esto es 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, en donde 𝑟 es el módulo y 𝜃 es el argumento del número complejo en radianes. Esta fórmula dice que podemos calcular 𝑧 elevado a uno sobre 𝑛 hallando 𝑟 elevado a uno sobre 𝑛 multiplicado por cos de 𝜃 más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen 𝜃 más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛, tomando 𝑘 valores desde cero hasta 𝑛 menos uno. Vamos a comenzar expresando el número uno en forma polar. Su parte real es uno. Y su parte imaginaria es cero. Es un número bastante fácil de representar en la forma polar.

Si graficamos uno en el plano complejo, vemos que está situado en el punto cuyas coordenadas cartesianas son uno, cero. El módulo de este número es la longitud del segmento de recta que une este punto al origen. Es claramente uno. El argumento es la medida del ángulo que este segmento de recta hace con el semieje real positivo. Y es medido en sentido antihorario. Y podemos ver que es cero. En forma polar, uno es lo mismo que uno multiplicado por cos de cero más 𝑖 sen de cero. Y si lo reemplazamos en nuestra ecuación, vemos que 𝑧 al cubo es por lo tanto igual a uno por cos de cero más 𝑖 sen de cero.

Queremos resolver esta ecuación, o sea, queremos calcular el valor de 𝑧. Y para hacer esto, hemos de hallar la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación. Si comparamos esto con el teorema de De Moivre, vemos que 𝑛, en nuestro caso, es tres. Así que 𝑧 debe ser igual a uno elevado a un tercio multiplicado por cos de cero más dos 𝜋𝑘 sobre tres más 𝑖 sen de cero más dos 𝜋𝑘 sobre tres. Y por supuesto, podemos simplificar esto un poco. Sabemos que uno elevado a un tercio es simplemente uno. Y nuestro argumento cero más dos 𝜋𝑘 sobre tres se puede escribir simplemente como dos 𝜋𝑘 sobre tres.

Vamos a aplicar la parte final del teorema de De Moivre. Ya que nuestro valor de 𝑛 es tres, vamos a sustituir 𝑘 por cero, uno, y dos en esta ecuación. Si sustituimos 𝑘 por cero, obtenemos 𝑧 igual a cos de cero más 𝑖 sen de cero. Cos de cero es uno. E 𝑖 sen de cero es cero. Así que la primera solución a nuestra ecuación es 𝑧 es igual a uno. Ahora usamos 𝑘 igual a uno. Y el argumento se convierte en dos 𝜋 multiplicado por uno sobre tres, que es dos 𝜋 sobre tres. Y nuestra segunda solución es cos de dos 𝜋 sobre tres más 𝑖 sen de dos 𝜋 sobre tres.

Hallamos nuestra solución final cuando 𝑘 es igual a dos. Obtenemos 𝑧 igual a cos de cuatro 𝜋 sobre tres más 𝑖 sen de cuatro 𝜋 sobre tres. El argumento de esta solución está fuera del rango del argumento principal. Y esto es 𝜃 mayor que menos 𝜋 y menor o igual que 𝜋. Podemos sumar y restar múltiplos de dos 𝜋 a cuatro 𝜋 partido por tres y así podemos expresar esta solución con su argumento principal.

Cuatro 𝜋 sobre tres menos dos 𝜋 es menos dos 𝜋 sobre tres. Y vemos, pues, que las raíces cúbicas de uno son 𝑧 igual a uno. 𝑧 igual a cos de dos 𝜋 sobre tres más 𝑖 sen de dos 𝜋 sobre tres. Y 𝑧 igual a cos de menos dos 𝜋 sobre tres más 𝑖 sen de menos dos 𝜋 sobre tres. Estas son las raíces cúbicas de la unidad, llamadas de este modo porque son todos los valores posibles para la raíz cúbica de uno.

Y las podemos expresar también en forma binómica. La primera solución es simplemente uno. La segunda solución es menos un medio más raíz de tres sobre dos 𝑖. Y la tercera solución es menos un medio menos raíz de tres sobre dos 𝑖.

Ahora vamos a ver un ejemplo que demuestra las propiedades de los productos de las raíces cúbicas de la unidad.

Sean 𝑧 uno igual 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres y 𝑧 dos igual a 𝑒 elevado a menos 𝑖 dos 𝜋 sobre tres las raíces cúbicas complejas de la unidad. 1) Evalúa 𝑧 uno al cuadrado. ¿Cómo se compara con 𝑧 dos? 2) Evalúa 𝑧 dos al cuadrado. ¿Cómo se compara con 𝑧 uno?

Así que 𝑧 uno y 𝑧 dos son las soluciones complejas de 𝑧 al cubo igual a uno, expresadas en forma exponencial. Esto significa que podemos usar la fórmula de De Moivre para evaluar 𝑧 uno al cuadrado. Esta igualdad dice que para un número complejo de la forma 𝑧 igual a 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, 𝑧 elevado a 𝑛 es igual a 𝑟 elevado a 𝑛 por 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃. Recordemos que 𝑟 es el módulo y 𝜃 es el argumento. Podemos ver que el módulo de 𝑧 uno es simplemente uno. Y el argumento de 𝑧 uno es dos 𝜋 partido por tres. Por tanto, 𝑧 uno al cuadrado es uno al cuadrado multiplicado por 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres por dos.

Uno al cuadrado es uno. Y dos 𝜋 sobre tres multiplicado por dos es cuatro 𝜋 sobre tres. Podemos ver, pues, que 𝑧 uno al cuadrado es igual a 𝑒 elevado a 𝑖 cuatro 𝜋 sobre tres. Pero el argumento de 𝑧 uno al cuadrado está fuera del rango para el argumento principal. Vamos a restar dos 𝜋. Y hallamos que el argumento principal de 𝑧 uno al cuadrado es menos dos 𝜋 partido por tres. Y que 𝑧 uno al cuadrado es igual a 𝑧 dos.

Repitamos este proceso para la segunda parte. Comencemos haciendo una predicción. Hemos visto que 𝑧 uno al cuadrado es igual a 𝑧 dos. Por lo tanto, podemos pensar que 𝑧 dos al cuadrado será igual a 𝑧 uno. Veamos, pues. Una vez más, el módulo de 𝑧 dos es uno. Pero esta vez, su argumento es menos dos 𝜋 sobre tres. Menos dos 𝜋 sobre tres multiplicado por dos es menos cuatro 𝜋 sobre tres. Nuevamente, el argumento de 𝑧 dos al cuadrado está fuera del rango del argumento principal.

Esta vez, vamos a sumar dos 𝜋. Recuerda que se nos permite sumar o restar cualquier múltiplo de dos 𝜋 para obtener un argumento que esté dentro del rango del argumento principal. Esta vez, el argumento de 𝑧 dos al cuadrado es dos 𝜋 sobre tres. Y vemos que 𝑧 dos al cuadrado es igual a 𝑧 uno como habíamos predicho. 𝑧 uno al cuadrado es igual a 𝑧 dos. Y 𝑧 dos al cuadrado es igual a 𝑧 uno, siendo 𝑧 uno y 𝑧 dos las raíces cúbicas complejas de la unidad.

Y, de hecho, podemos extender esta idea a potencias superiores de las raíces complejas cúbicas de la unidad.

Podemos decir que, para un entero positivo 𝑛, 𝑧 uno elevado a 𝑛 es igual a uno cuando el entero es cero o es un múltiplo de tres. En otras palabras, cuando hay un resto de cero si 𝑛 se divide por tres. Es igual a 𝑧 uno cuando 𝑛 es igual a uno módulo tres. O sea, el resto es uno cuando 𝑛 se divide por tres. Y es igual a 𝑧 dos cuando 𝑛 es igual a dos módulo tres. Y esto nos da una forma útil de hacer una definición de las raíces cúbicas de la unidad.

Nuestra definición, pues, considera las tres raíces cúbicas de la unidad. 𝜔 minúscula se utiliza para representar la raíz primitiva. Esta es la raíz con el argumento estrictamente positivo más pequeño, un argumento de dos 𝜋 sobre tres. En forma exponencial, 𝜔 es por lo tanto, 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres. En forma trigonométrica, es cos de dos 𝜋 sobre tres más 𝑖 sen de dos 𝜋 sobre tres. Y, en forma binómica, es menos un medio más raíz de tres sobre dos 𝑖. Y las tres raíces se pueden definir como uno, 𝜔 y 𝜔 al cuadrado. Podemos representar la propiedad cíclica con respecto a la multiplicación de las raíces cúbicas de la unidad como se muestra. Veamos ahora las propiedades de las raíces cúbicas de la unidad cuando se elevan a un exponente negativo.

Sea 𝜔 la raíz cúbica primitiva de la unidad. 1) Halla 𝜔 elevado a menos uno. ¿Cómo se relaciona esto con las otras raíces cúbicas de la unidad? 2) Halla 𝜔 elevado a menos dos. ¿Cómo se relaciona esto con las otras raíces cúbicas de la unidad?

Comencemos escribiendo 𝜔 en su forma exponencial. Es 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres. Esto significa que 𝜔 elevado a menos uno es 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres elevado a menos uno. Y si aplicamos las leyes de los exponentes, vemos que 𝜔 elevado a menos uno es igual a 𝑒 elevado a menos 𝑖 dos 𝜋 sobre tres. Y esto, por supuesto, es lo mismo que 𝜔 cuadrado.

Repitamos este proceso para la segunda parte. Esta vez, 𝜔 elevado a menos dos es 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres, todo elevado a menos dos. Y nuevamente, aplicando las leyes de los exponentes, vemos que 𝜔 elevado a menos dos es igual a 𝑒 elevado a menos 𝑖 cuatro 𝜋 sobre tres. El argumento de este número complejo está fuera del rango del argumento principal. Así que sumamos dos 𝜋. Y vemos que 𝜔 elevado a menos dos es igual a 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres, que es igual a 𝜔. Y dado que 𝜔 elevado a menos uno es el recíproco de 𝜔, podemos ver que las raíces cúbicas de la unidad también forman un ciclo de división.

Podemos extender la representación visual de las raíces cúbicas de la unidad posicionándolas en un diagrama de Argand. Podemos ver que están dispuestas uniformemente alrededor del origen. De hecho, forman los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia unitaria. Pero veamos esto con más cuidado.

Los puntos que representan 𝜔 y 𝜔 al cuadrado en nuestro diagrama de Argand son simétricos con respecto al eje real, o sea, el eje horizontal. Y sabemos que el conjugado complejo de un número está representado por su simétrico con respecto al eje horizontal. Esto significa que 𝜔 al cuadrado debe ser igual al conjugado de 𝜔.

Hemos visto las propiedades de las raíces cúbicas de la unidad para la multiplicación y división. ¿Pero qué pasa con la suma y la resta?

Sea 𝜔 la raíz cúbica primitiva de la unidad. 1) Halla 𝜔 más 𝜔 al cuadrado. 2) Halla 𝜔 menos 𝜔 al cuadrado. 3) ¿Qué es 𝜔 más uno y cómo se relaciona con las otras raíces de la unidad? 4) ¿Qué es 𝜔 cuadrado más uno y cómo se relaciona con las otras raíces de la unidad?

Para responder a la primera parte, podríamos intentar escribir 𝜔 y 𝜔 al cuadrado en forma algebraica y hallar su suma de esa manera. Alternativamente, recordamos que 𝜔 al cuadrado es lo mismo que el conjugado de 𝜔. Y esto significa que 𝜔 más 𝜔 al cuadrado es igual a 𝜔 más el conjugado de 𝜔. Esto tiene su propiedad. Sabemos que la suma de un número complejo y su conjugado es dos veces la parte real de ese número complejo. Así que 𝜔 más el conjugado de 𝜔 es dos por la parte real de 𝜔.

La parte real de la raíz cúbica primitiva de la unidad es menos un medio. Y dos por menos un medio es menos uno. Podemos ver que 𝜔 más 𝜔 al cuadrado es igual a menos uno. Esto también significa que 𝜔 al cuadrado más 𝜔 más uno es igual a cero. Tengamos en cuenta que estas son las tres raíces cúbicas de la unidad. Y hemos demostrado que su suma es igual a cero.

Repitamos este proceso para la segunda parte. Una vez más, expresamos 𝜔 al cuadrado como el conjugado de 𝜔. Pero esta vez, la diferencia entre un número complejo y su conjugado es dos 𝑖 veces la parte imaginaria de ese número complejo. La parte imaginaria de 𝜔 es raíz de tres sobre dos. Así que la diferencia entre 𝜔 y 𝜔 al cuadrado es 𝑖 raíz de tres o raíz de tres 𝑖. Y podemos usar lo que hemos obtenido aquí para calcular 𝜔 más uno para la tercera parte y 𝜔 al cuadrado más uno para la cuarta parte. Hemos visto que 𝜔 al cuadrado más 𝜔 más uno es igual a cero. Restemos ahora 𝜔 al cuadrado de ambos lados de esta ecuación. Cuando lo hacemos, vemos que 𝜔 más uno es igual a menos 𝜔 al cuadrado. De igual manera podemos deducir que 𝜔 al cuadrado más uno es igual a menos 𝜔.

Por lo tanto, las raíces cúbicas de la unidad tienen tres propiedades realmente interesantes. Sabemos que 𝜔 al cuadrado es igual al conjugado de 𝜔. Sabemos que la suma de las tres raíces cúbicas es igual a cero. Y sabemos que 𝜔 menos 𝜔 al cuadrado es igual a 𝑖 raíz de tres.

Veamos ahora una pregunta que demostrará cómo aplicar estas propiedades.

Evalúa nueve menos 𝜔 al cuadrado más nueve 𝜔 elevado a la cuarta todo al cuadrado más seis más seis 𝜔 al cuadrado más seis 𝜔 a la cuarta todo al cuadrado.

Comencemos usando el ciclo de multiplicación de las raíces cúbicas de la unidad para reemplazar 𝜔 a la cuarta. 𝜔 a la cuarta es lo mismo que 𝜔 al cuadrado multiplicado por 𝜔 y luego multiplicado por 𝜔 nuevamente. Así que podemos decir que 𝜔 a la cuarta debe ser lo mismo que 𝜔. Y reescribimos nuestra expresión como se muestra. A continuación, vamos a factorizar cada expresión. En los primeros paréntesis, vamos a buscar sacar un factor de nueve y en el segundo paréntesis, un factor de seis. ¿Y por qué queremos hacer esto? Bien, sabemos que la suma de 𝜔 al cuadrado, 𝜔 y uno es cero. Y podemos reorganizar esto para mostrar que uno más 𝜔 es igual a menos 𝜔 al cuadrado.

Nuestra expresión se puede simplificar a nueve multiplicado por menos 𝜔 al cuadrado menos 𝜔 al cuadrado todo al cuadrado más seis por cero, todo al cuadrado. Y, por supuesto, seis por cero todo al cuadrado es simplemente cero. Así que esto se simplifica aún más a menos 10 𝜔 al cuadrado al cuadrado. Menos 10 al cuadrado es 100. Y 𝜔 al cuadrado al cuadrado es 𝜔 a la cuarta. Pero ya hemos visto que 𝜔 a la cuarta es simplemente 𝜔. Por tanto, nuestra expresión es simplemente 100𝜔.

En este video, hemos aprendido que hay tres raíces cúbicas de la unidad, representadas por uno, 𝜔 y 𝜔 al cuadrado. Y que 𝜔 es denominada la raíz cúbica primitiva de la unidad. Es 𝑒 elevado a 𝑖 dos 𝜋 sobre tres o, en forma trigonométrica, cos de dos 𝜋 sobre tres más 𝑖 sen de dos 𝜋 sobre tres o, en forma binómica, menos un medio más raíz de tres sobre dos 𝑖. Tanto las potencias positivas como negativas de 𝜔 forman un ciclo cerrado. Para cualquier valor entero de 𝑛, 𝜔 elevado a tres 𝑛 es uno. 𝜔 elevado a tres 𝑛 más uno es 𝜔. Y 𝜔 elevado a tres 𝑛 más dos es 𝜔 al cuadrado.

También hemos visto que tienen tres propiedades importantes. Y son que la suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es cero. Que 𝜔 al cuadrado es igual al conjugado de 𝜔. Y que 𝜔 menos 𝜔 al cuadrado es igual a 𝑖 raíz de tres. Y podemos usar estas propiedades para simplificar expresiones más complicadas.