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Vídeo de la lección: Aplicaciones geométricas de los vectores Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo usar las operaciones con vectores y las propiedades de los vectores para resolver problemas de figuras geométricas.

15:22

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar las operaciones con vectores y las propiedades de los vectores para resolver problemas de figuras geométricas. Antes de comenzar conviene recordar las principales propiedades de los vectores, que vamos a usar a lo largo de este vídeo.

Para sumar o restar dos vectores, sumamos o restamos sus coordenadas por separado. Sabemos que dos vectores son paralelos si se pueden obtener del otro multiplicando por números no nulos. Los vectores A y B son paralelos si el vector A es igual a 𝑘 multiplicado por el vector B, siendo 𝑘 una constante distinta de cero. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero. Podemos usar estas dos propiedades para resolver problemas de rectas paralelas y perpendiculares en figuras geométricas. Sabemos que, si dos vectores son iguales, entonces tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Si esto es cierto para dos lados de una figura geométrica, los dos lados serán paralelos y tendrán la misma longitud.

Consideremos ahora algunos ejemplos, en el primero de los cuales se nos pide que hallemos las coordenadas de los vértices de un rectángulo.

𝐴𝐵𝐶𝐷 es un rectángulo en el que las coordenadas de los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son menos 18, menos dos; menos 18, menos tres; y menos ocho, 𝑘, respectivamente. Usa vectores para hallar el valor de 𝑘 y las coordenadas del punto 𝐷.

Una forma de resolver este problema sería dibujar el rectángulo en una cuadrícula de coordenadas; sin embargo, se nos pide que usemos vectores. Así que vamos a considerar las propiedades de un rectángulo. Un rectángulo tiene dos pares de lados paralelos de igual longitud. Esto significa que el vector AB será igual al vector DC. Asimismo, el vector DA será igual al vector CB. También sabemos que los ángulos de un rectángulo son ángulos rectos. Esto significa que el vector AB es perpendicular al vector CB. Lo mismo ocurre con los otros lados que son contiguos: forman ángulos rectos.

Recordemos que, para calcular las coordenadas del vector AB, restamos las coordenadas del punto A de las del punto B. En esta cuestión, el vector AB es igual a menos 18, menos tres menos menos 18, menos dos. Menos 18 menos menos 18 es lo mismo que menos 18 más 18. Que es igual a cero. Menos tres menos menos dos es menos uno. Por lo tanto, el vector AB es cero, menos uno. El vector CB es igual al punto B menos el punto C. Esto es menos 18, menos tres menos menos ocho, 𝑘. Que es menos 10, menos tres menos 𝑘.

Sabemos que, si dos vectores son perpendiculares, el producto escalar es cero. Esto significa que el producto escalar de AB y CB es igual a cero. Cero multiplicado por menos 10 más menos uno multiplicado por menos tres menos 𝑘 es igual a cero. Esto se simplifica a cero es igual a tres más 𝑘. Restamos tres de ambos miembros de la ecuación, y obtenemos 𝑘 igual a menos tres. El valor de 𝑘 es menos tres, lo que significa que 𝐶 tiene coordenadas menos ocho, menos tres.

Si hacemos que las coordenadas del punto 𝐷 sean 𝑥, 𝑦, entonces el vector DC es igual a menos ocho, menos tres menos 𝑥, 𝑦. Esto es igual a menos ocho menos 𝑥, menos tres menos 𝑦. Como los vectores AB y DC tienen el mismo módulo, dirección y sentido, son iguales. Esto significa que cero debe ser igual a menos ocho menos 𝑥. Menos uno debe ser igual a menos tres menos 𝑦. Resolviendo la primera ecuación, obtenemos que 𝑥 es igual a menos ocho. Y resolviendo la segunda ecuación, obtenemos que 𝑦 vale menos dos. Por lo tanto, las coordenadas del punto 𝐷 son menos ocho, menos dos.

En el siguiente problema vamos a considerar un triángulo.

En el triángulo 𝐴𝐵𝐶, el punto 𝐷 se encuentra en el segmento 𝐵𝐶, de manera que la razón de 𝐵𝐷 a 𝐷𝐶 es de dos a tres. Sabiendo que tres por el vector AB más dos por el vector AC es igual a 𝑘 por el vector AD, halla el valor de 𝑘.

Comenzaremos considerando el triángulo 𝐴𝐵𝐶. Sabemos que el punto 𝐷 se encuentra en 𝐵𝐶 y que la razón de 𝐵𝐷 a 𝐷𝐶 es dos a tres. Esto significa que el vector BD es dos quintos del vector BC. Consideremos ahora la ecuación que se nos ha dado. Tres veces el vector AB más dos veces el vector AC es igual a 𝑘 veces el vector AD. Sabemos que el vector AC es igual a AB más BC. Esto significa que el lado izquierdo de la ecuación puede reescribirse como tres AB más dos AB más BC. Desarrollamos los paréntesis y obtenemos dos AB más dos BC. Si agrupamos los términos semejantes, obtenemos cinco AB más dos BC.

Consideremos ahora el miembro derecho de la ecuación. El vector AD es igual a AB más BD. Por lo tanto, el lado derecho es igual a 𝑘 multiplicado por AB más BD. Sabemos que BD es igual a dos quintos de BC. Seguidamente desarrollamos los paréntesis. Esto nos da 𝑘 multiplicado por el vector AB más dos quintos de 𝑘 multiplicado por el vector BC. Ahora igualamos los coeficientes. Cinco debe ser igual a 𝑘. Dos debe ser igual a dos quintos de 𝑘. Dividimos ambos lados de la ecuación por dos quintos, y obtenemos 𝑘 igual a cinco. El valor de 𝑘 para el que tres multiplicado por el vector AB más dos multiplicado por el vector AC es igual a 𝑘 multiplicado por el vector AD es cinco.

En la siguiente cuestión vamos a considerar las propiedades de un cuadrado.

𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado en el que las coordenadas de los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son uno, menos ocho; tres, menos 10; y cinco, menos ocho, respectivamente. Usa vectores para determinar las coordenadas del punto 𝐷 y el área del cuadrado.

Sabemos que un cuadrado tiene cuatro lados de igual longitud y que los ángulos son todos rectos. Sabemos que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Esto significa que, en este caso, el vector AB es igual al vector DC. Sabemos que las coordenadas del vector AB son iguales a las coordenadas del punto B menos las coordenadas del punto A. En esta cuestión, tenemos que restar el punto uno, menos ocho del punto tres, menos 10. Tres menos uno es igual a dos, y menos 10 menos menos ocho es igual a menos dos.

Hacemos lo mismo con el vector DC, donde las coordenadas del punto 𝐷 son 𝑥, 𝑦. Tenemos que restar 𝑥, 𝑦 de cinco, menos ocho. Esto nos da cinco menos 𝑥 y menos ocho menos 𝑦. Como los vectores AB y DC son iguales, podemos igualar las componentes. Dos es igual a cinco menos 𝑥, y menos dos es igual a menos ocho menos 𝑦. Estas ecuaciones pueden reorganizarse para obtener que 𝑥 es igual a cinco menos dos y que 𝑦 es igual a menos ocho más dos. Cinco menos dos es tres, y menos ocho más dos es menos seis. Por lo tanto, las coordenadas del punto 𝐷 son tres, menos seis.

En la segunda parte del enunciado se nos pide calcular el área del cuadrado. Para hacerlo, necesitamos hallar la longitud de uno de los lados. Es lo mismo que la magnitud del vector. La magnitud (o módulo) de cualquier vector AB es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Hacemos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada una de las componentes. En este problema, el módulo de AB es igual a la raíz cuadrada de dos al cuadrado más menos dos al cuadrado. Dos al cuadrado y menos dos al cuadrado es en ambos casos cuatro. Por lo tanto, la magnitud del vector AB es igual a la raíz cuadrada de ocho. Esto significa que la longitud de cada lado del cuadrado es la raíz cuadrada de ocho.

Sabemos que, para calcular el área de un cuadrado, elevamos al cuadrado la longitud del lado, en este caso, la raíz de ocho al cuadrado. Como el cuadrado y la raíz cuadrada son operaciones inversas, resulta que el área del cuadrado es ocho unidades cuadradas.

En el último problema vamos a considerar un trapecio.

El trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷 tiene vértices 𝐴: cuatro, 14; 𝐵: cuatro, menos cuatro; 𝐶: menos 12, menos cuatro; y 𝐷: menos 12, nueve. Sabiendo que el vector AB es paralelo al vector DC y que el vector AB es perpendicular al vector CB, calcula el área del trapecio.

Veamos la información que se nos da sobre el trapecio. Sabemos que el vector AB es paralelo al vector DC. También sabemos que el vector AB es perpendicular al vector CB. Esto significa que forman ángulos rectos. Por lo tanto, el vector DC también forma un ángulo recto con el vector CB. Sabemos que el área de un trapecio se calcula usando la fórmula 𝑎 más 𝑏 partido por dos multiplicado por ℎ, donde 𝑎 y 𝑏 son los lados paralelos y ℎ es la altura perpendicular. Tenemos que hallar la longitud de los lados 𝐴𝐵 y 𝐷𝐶 y la altura perpendicular 𝐶𝐵.

Para calcular la longitud de los lados, tenemos que calcular la magnitud de los vectores. Comenzaremos calculando la magnitud de AB. Es igual a la raíz cuadrada de cuatro menos cuatro al cuadrado más menos cuatro menos 14 al cuadrado. Cuatro menos cuatro es cero. Y menos cuatro menos 14 es menos 18. Al elevar al cuadrado esto obtenemos 324, y hallando luego la raíz cuadrada de la respuesta obtenemos 18. El módulo del vector AB es 18. Vamos a repetir este procedimiento para calcular la magnitud del vector DC. Es igual a la raíz cuadrada de menos 12 menos menos 12 al cuadrado más menos cuatro menos nueve al cuadrado. Esto nos da una respuesta de 13.

Como la magnitud de AB es mayor que la magnitud de DC, podemos ver que nuestro diagrama no está dibujado a escala. Así que vamos a etiquetarlo así, como se muestra. El vector AB sigue siendo paralelo al vector DC y el vector AB es perpendicular al vector CB. Ahora podemos añadir las longitudes a nuestro diagrama. Tenemos que calcular el módulo del vector BC. Usando el mismo método, hallamos que es 16. Ya tenemos las longitudes de los lados paralelos y la longitud de la altura perpendicular del trapecio. Por lo tanto, el área es igual a 13 más 18 dividido por dos multiplicado por 16. 13 más 18 es 31. Multiplicamos 31 medios por 16 y obtenemos 248. Por lo tanto, el área del trapecio es 248 unidades cuadradas.

Para terminar este vídeo vamos a resumir los principales puntos que hemos tratado. En este vídeo hemos visto que podemos usar las operaciones con vectores y las propiedades de los vectores para resolver problemas de figuras geométricas. Hemos usado el hecho de que dos vectores son paralelos si son múltiplos escalares entre sí. El vector A es igual a 𝑘 multiplicado por el vector B. También usamos el hecho de que dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero. También vimos que, si el vector A tiene componentes 𝑥, 𝑦, entonces la magnitud del vector A es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Esto nos permite resolver problemas de áreas de cuadrados, trapecios, rectángulos y triángulos.

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