Vídeo: Multiplicar polinomios por monomios

En este vídeo vamos a aprender, por medio de ejemplos de creciente complejidad, cómo usar la propiedad distributiva para multiplicar polinomios (expresiones que tienen más de un término, como 2𝑥 − 7) por monomios (expresiones que tienen un solo término, como 3).

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Transcripción del vídeo

Multiplicar polinomios por monomios. Podemos ver que esto es un monomio, pues tenemos un tres. Eso es lo que quiere decir «monomio», un solo término. Y lo estamos multiplicando por un polinomio que está dentro del paréntesis, y que significa, básicamente, más de un término. Bien, para operar aquí lo que vamos a hacer es aplicar la propiedad distributiva, según la cual 𝑎 por (abre paréntesis) 𝑏 más 𝑐 (cierra paréntesis) es igual a 𝑎𝑏 más 𝑎𝑐. A lo que nos referimos es a que vamos a tomar el tres, o la 𝑎, y lo vamos a multiplicar por el primer término. En este caso es tres por dos 𝑥. Y luego le añadimos tres por el segundo término. Y tenemos tres por menos siete. Ahora tenemos que simplificar esto. Sabemos que tres por dos es seis, y luego ponemos una 𝑥 detrás, pues hay una 𝑥 ahí también. Así que seis 𝑥, y luego, tres por menos siete es menos veintiuno. Ha sido fácil, lo que hemos hecho aquí es tomar el monomio y multiplicarlo por el primer término del paréntesis, y luego lo hemos sumado a la multiplicación del monomio por el segundo término del paréntesis.

Veamos otro ejemplo. En este ejemplo podemos ver que hay un par de cosas distintas. En primer lugar, el monomio que está fuera del paréntesis no es una constante. Tiene una variable y es negativo. En segundo lugar, podemos ver que la expresión que está dentro del paréntesis tiene tres términos. Bueno, en realidad esto no importa, pues vamos a usar el mismo método para desarrollar los paréntesis. Vamos a usar la propiedad distributiva. Lo primero que debemos hacer es tomar el monomio y multiplicarlo por el primer término. A continuación, lo sumamos al producto del monomio menos cinco 𝑥 por el segundo término. ¡Ten cuidado! No te olvides del signo menos que está delante del dos, pues el signo que está delante del término es el que está vinculado a ese término. Así que tenemos menos cinco 𝑥 por menos dos 𝑥. Y luego tenemos que multiplicar por el último término, así que tenemos menos cinco 𝑥 por menos ocho.

Bien, vamos a simplificar. Tenemos menos cinco. Lo multiplicamos por tres. Obtenemos menos quince, y sabemos que 𝑥 por 𝑥 al cuadrado es lo mismo que hacer 𝑥 por 𝑥 por 𝑥. Así que tenemos menos quince 𝑥 elevado a tres o 𝑥 al cubo. Vamos a fijarnos ahora en los signos de los siguientes términos. Tenemos dos números negativos que se están multiplicando. Así que se cancelan. Y obtenemos un número positivo. Ahora tenemos cinco por dos, que es diez, y luego 𝑥 por 𝑥, que es 𝑥 al cuadrado. Así que sumamos diez 𝑥 al cuadrado.

Fijémonos de nuevo en los signos. Primero, tenemos un número negativo multiplicado por otro número negativo, cuyo producto es un número positivo. Luego, tenemos cinco por ocho, que es cuarenta. Y luego tenemos una 𝑥, así que sumamos cuarenta 𝑥. Ya lo tenemos. Ya hemos desarrollado completamente este paréntesis. Hemos multiplicado este monomio por este polinomio. En el siguiente ejemplo vamos a ver qué pasa cuando tenemos la variable 𝑦 además de la 𝑥.

Ahora tenemos cinco 𝑥 al cuadrado todo multiplicado por tres 𝑦 más dos 𝑥 más 𝑥𝑦. De nuevo, podemos ver que tenemos algunas 𝑥s y algunas 𝑦s, aunque podríamos tener cualquier variable. Vamos a seguir el mismo método de todos modos. Vamos a multiplicar el primer término por un monomio. Así que tenemos cinco 𝑥 al cuadrado por tres 𝑦. Y, luego, lo añadimos al monomio multiplicado por el segundo término, así que tenemos cinco 𝑥 al cuadrado por dos 𝑥. Por último, tenemos cinco 𝑥 al cuadrado por 𝑥𝑦.

Vamos a operar término a término. Y vamos a ocuparnos de los números primero. Tenemos cinco por tres. Sabemos que eso es quince. Y luego 𝑥 al cuadrado por 𝑦, así que tenemos quince 𝑥 al cuadrado 𝑦. Luego, para el siguiente, hacemos cinco por dos, que es diez. Si nos fijamos en la 𝑥, vemos que tenemos 𝑥 al cuadrado, que es 𝑥 por 𝑥, y luego la multiplicamos por otra 𝑥. De este modo, obtenemos diez 𝑥 al cubo o diez 𝑥 elevado a tres. Luego, para el último, solo tenemos un cinco, pues es cinco por uno. Si nos fijamos en las potencias de 𝑥, vemos que tenemos cinco 𝑥 elevado a tres y luego 𝑦. Ya lo tenemos. Ya hemos resuelto este problema también. Lo que hemos hecho ha sido multiplicar el monomio por cada uno de los términos. Veamos un último ejemplo.

Bueno, antes de resolver este problema, es conveniente que nos detengamos un momento a pensar en cuál va a ser el primer paso a la hora de multiplicar este monomio. Espero que no hayas pensado en hacer dos más tres, pues no es correcto sumar dos más tres primero y luego multiplicar el resultado por el resto. Es dos más el tres multiplicado por todo. Así que el dos está solo y hay que sumarlo al final. Por lo tanto, lo que vamos a hacer, y lo que deberías hacer tú también en estos casos, es escribir primero el término que está solo, para así evitarte la tentación de operar con él.

Bien, ahora tenemos una multiplicación sencilla que hacer para luego agrupar los términos. Tenemos tres multiplicado por el primer término: esto es tres por 𝑥 al cuadrado, luego tres por dos 𝑥, y luego tres por menos siete. Operamos término a término y escribimos el dos de nuevo, sin hacer nada con él. Y vamos a añadir tres por 𝑥 al cuadrado, que es tres 𝑥 al cuadrado. Tenemos tres por dos 𝑥, y tres por dos es seis, así que tenemos seis 𝑥. Luego tenemos tres por menos siete, y tres por siete es veintiuno. Fíjate que hay un signo negativo delante, pues un número positivo por uno negativo es uno negativo. Así que tenemos menos veintiuno.

En este caso aún no hemos terminado, pues todavía tenemos términos semejantes que debemos agrupar. Lo que vamos a hacer es sumar dos a menos veintiuno. Y obtenemos tres 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos diecinueve. Y eso es todo. Ya hemos terminado. Recuerda que debes tener cuidado cuando hay un término más un monomio multiplicado por un polinomio, porque puedes equivocarte al operar. Asegúrate de que no lo sumas primero, o en este caso, digas dos 𝑥 más tres todo multiplicado por 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos siete, o lo que es peor, que hagas un binomio multiplicado por un polinomio. Esta es una expresión mucho más difícil de calcular, y vas a perder mucho tiempo haciendo algo que no te va a ayudar nada a mejorar tu nota. Así que ten cuidado. Presta atención a los paréntesis para asegurarte de que sabes exactamente lo que estás haciendo.

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