Transcripción del vídeo
Criterio de la integral
En este video, vamos a aprender cómo usar el criterio de la integral para determinar si una serie de términos no negativos es convergente o divergente. Vamos a ver una variedad de ejemplos de cómo usar este criterio. Comencemos enunciando el criterio de la integral. El criterio de la integral para series nos dice que si tenemos 𝑓 de 𝑥, que es una función continua, positiva y decreciente en el intervalo entre 𝑘 e ∞, y 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛; entonces, primero, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente, la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛, también lo es. Y segundo, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es divergente, la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, también lo es.
Recordemos que si una integral o suma es convergente, es finita. Y si es divergente, es infinita. En otras palabras, lo que estamos haciendo con este criterio es usar la convergencia de una integral con un límite infinito para determinar la convergencia de una serie. Cuando obtenemos nuestra función 𝑓 de 𝑥, es muy importante que se cumplan estas tres condiciones. Las dos primeras, continua y positiva, suelen ser fáciles de comprobar. Sin embargo, es probable que tengamos que hacer algo de trabajo extra para verificar que 𝑓 de 𝑥 es decreciente en el intervalo entre 𝑘 e ∞. Veamos primero intuitivamente por qué este criterio funciona y fijémonos para ello en los siguientes gráficos.
Supongamos que tenemos la serie sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛, de modo que la función 𝑓 de 𝑛, que es igual a 𝑎 𝑛, es continua, positiva y decreciente en el intervalo entre 𝑘 e ∞. Podemos dibujar la gráfica de 𝑓 de 𝑥, que se verá más o menos así. Podemos señalar 𝑘, 𝑘 más uno, 𝑘 más dos, etcétera en nuestro eje 𝑥. Tenemos dos posibilidades para 𝑓 de 𝑥. En un caso, la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente. Si este es el caso, podemos dibujar barras en nuestro gráfico para representar los términos de nuestra serie. Estas barras que hemos dibujado aquí miden uno de ancho y 𝑓 de 𝑥 de alto. Por lo tanto, el área de cada una de estas barras es 𝑓 de 𝑥.
Para la primera barra, 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑘. Y sabemos que 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛, por lo que el área de esta barra es 𝑎 𝑘. De igual modo, el área de la barra siguiente es 𝑎 𝑘 más uno. Y el área de la barra siguiente es 𝑎 𝑘 más dos, etcétera. Ahora bien, si sumamos el área de cada una de estas barras hasta ∞, obtendremos nuestra serie. Pero cada una de estas barras está por debajo de nuestra curva, 𝑓 de 𝑥. Y el área debajo de la curva está representada por esta integral. Así que podemos ver que la suma de nuestra serie debe ser más pequeña que nuestra integral. Como nuestra integral es convergente, nuestra serie también debe ser convergente.
Consideremos el otro caso, cuando nuestra integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es divergente. Si este es el caso, podemos dibujar barras en nuestro gráfico para representar nuestra serie de la siguiente manera. Aquí, hemos dibujado las barras de forma ligeramente diferente. Pero, dado que las barras todavía tienen un ancho de uno y un alto de 𝑓 de 𝑥, las áreas de las barras siguen siendo los términos en nuestra serie. Y así, la suma del área de estas barras será igual a nuestra serie.
Esta vez la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es divergente. Y podemos ver que las barras que representan nuestra serie sobresalen por encima de la curva 𝑓 de 𝑥. Así que tienen un área total mayor que la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Como esta integral es divergente, nuestra serie también debe ser divergente. Ahora que sabemos cómo funciona el criterio de la integral para series, veamos algunos ejemplos.
Determina si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑒 a la menos 𝑛 converge o diverge.
Podemos intentar determinar la convergencia de esta serie utilizando el criterio de la integral. El criterio de la integral nos dice que si tenemos una función, 𝑓 de 𝑥, que es continua, positiva y decreciente en el intervalo entre 𝑘 e ∞ y 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛. Entonces, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente, la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también es convergente. Y si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es divergente, la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛, también lo es. La serie cuya convergencia queremos hallar es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑒 a la menos 𝑛. Por lo tanto, 𝑎 𝑛 es igual a 𝑒 a la menos 𝑛. Como 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛, obtenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑒 a la menos 𝑥. Como estamos haciendo la sumatoria desde 𝑛 igual a cero, 𝑘 es igual a cero.
El siguiente paso es verificar si 𝑓 es una función continua, positiva y decreciente en el intervalo entre cero e ∞. 𝑒 a la menos 𝑥 también se puede escribir como uno sobre 𝑒 a la 𝑥. 𝑒 a la 𝑥 es positivo para cualquier valor de 𝑥. Por lo tanto, uno sobre 𝑒 a la 𝑥 también es positivo. Con esto, hemos comprobado la condición de que 𝑓 de 𝑥 sea positiva en nuestro intervalo. Y uno sobre 𝑒 a la 𝑥 es continuo porque 𝑒 a la 𝑥 no puede ser igual a cero en ningún valor. Por lo tanto, también hemos satisfecho esta condición. Y finalmente, dado que 𝑒 a la 𝑥 es una función creciente para todo 𝑥, uno sobre 𝑒 a la 𝑥 es una función decreciente para todo 𝑥. Y así, hemos comprobado que se cumple la última condición en 𝑓 de 𝑥.
Por lo tanto, podemos usar el criterio de la integral. Necesitamos hallar la convergencia de la integral desde cero hasta ∞ de 𝑒 a la menos 𝑥 con respecto a 𝑥. Podemos usar el hecho de que la integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a uno sobre 𝑎 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más 𝑐. En nuestro caso, 𝑎 es igual a menos uno, y uno sobre menos uno es simplemente menos uno. Cuando integramos 𝑒 a la menos 𝑥, obtenemos menos 𝑒 a la menos 𝑥. Y esto está entre nuestros dos límites, que son cero e ∞.
Como nuestro límite superior es infinito, necesitamos hallar el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de menos 𝑒 a la menos 𝑥. Y no debemos olvidarnos de restar menos 𝑒 a la menos cero. Al intentar evaluar este límite, podemos considerar lo que sucede cuando 𝑥 se hace más y más grande. A medida que 𝑥 se hace más grande, menos 𝑥 se vuelve más y más negativo. Por lo tanto, 𝑒 a la menos 𝑥 se aproxima más y más a cero.
Así que podemos decir que este límite es igual a cero. Tenemos además 𝑒 a la menos cero, que es simplemente 𝑒 elevado a cero. Cualquier valor elevado a cero es uno. Y los dos signos negativos delante del término se cancelan entre sí, dándonos un signo positivo. Partiendo de esto, podemos decir que la integral de cero a ∞ de 𝑒 a la menos 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a uno. Por lo tanto, hemos hallado que nuestra integral es convergente. Y usando el criterio de la integral, podemos decir que la sumatoria desde 𝑛 es igual a cero hasta ∞ de 𝑒 a la menos 𝑛 es convergente.
Pasemos a otro ejemplo.
Usa el criterio de la integral para determinar si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 converge o diverge.
Comencemos recordando el criterio de la integral. Este nos dice que si 𝑓 es una función continua, positiva y decreciente en el intervalo entre 𝑘 e ∞, y 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛. Entonces, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente, la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también converge. Y, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es divergente, también lo es la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛. En nuestro caso, nuestra serie es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛. Por lo tanto, 𝑎 𝑛 es igual a uno sobre 𝑛. Usando el hecho de que 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛, podemos decir que 𝑓 de 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥.
Debemos verificar que 𝑓 de 𝑥 es una función continua, positiva y decreciente en el intervalo entre 𝑘 e ∞. Teniendo en cuenta que nuestra sumatoria va desde 𝑛 igual a uno, 𝑘 debe ser igual a uno. Comencemos comprobando la continuidad de nuestra función en este intervalo. La única discontinuidad de 𝑓 de 𝑥 ocurre cuando 𝑥 es igual a cero. Sin embargo, cero no está en nuestro intervalo entre uno e ∞. Por lo tanto, esta función debe ser continua entre uno e ∞. En este intervalo, 𝑥 siempre es positivo. Así que, uno sobre 𝑥 también debe ser positivo. Y así hemos comprobado esa condición. Además, si 𝑥 comienza en uno y se hace más y más grande, uno sobre 𝑥 se hará más y más pequeño. Por lo que podemos decir que esta es una función decreciente en nuestro intervalo.
Una vez que hemos comprobado que se satisfacen estas tres condiciones, podemos usar el criterio de la integral. Tenemos que determinar si la integral desde uno hasta ∞ de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente o divergente. Sabemos que la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥. Por lo tanto, el logaritmo neperiano de 𝑥 es una primitiva de uno sobre 𝑥. Por lo tanto, nuestra integral es igual al logaritmo neperiano de 𝑥 entre uno e ∞. Cuando usamos el límite de ∞, debemos tomar el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ del logaritmo neperiano de 𝑥. Después, para nuestro límite inferior de uno, simplemente restamos el logaritmo natural de uno.
A continuación, vamos a evaluar este límite sabiendo que el logaritmo neperiano es una función creciente. A medida que 𝑥 se hace más grande, el logaritmo neperiano de 𝑥 también se hace más grande. Por lo tanto, podemos decir que este límite también es igual a ∞. Tenemos además que el logaritmo neperiano de uno es igual a cero. Sin embargo, independientemente de lo que valga este término, esto no afectará nuestra respuesta de ∞. Y esto nos dice que nuestra integral es divergente. Y usando el criterio de la integral, podemos decir que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 también es divergente.
Cuando usamos el criterio de la integral, no es necesario que 𝑓 de 𝑥 disminuya para todo 𝑥 en nuestro intervalo entre 𝑘 e ∞. Todo lo que necesitamos es que 𝑥 sea decreciente para todo valor de 𝑥 mayor o igual que alguna constante 𝑐, donde 𝑐 es mayor o igual que 𝑘. Vamos a ver cómo se puede hacer esto en el siguiente ejemplo.
Determina si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 converge o diverge.
Vamos a usar el criterio de la integral para comprobar esta convergencia. El criterio de la integral nos dice que si tenemos una función 𝑓 de 𝑥 que es continua, positiva y decreciente en el intervalo entre 𝑘 e ∞, y 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛. Entonces, en primer lugar, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente, también lo es la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛. Y, en segundo lugar, si la integral desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es divergente, también lo será la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛. Nuestra serie es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Así que podemos decir que 𝑎 𝑛 es igual a la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Como 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛, 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥 sobre 𝑥.
También tenemos que 𝑘 es igual a uno. Necesitamos verificar si 𝑓 de 𝑥 es continua, positiva y decreciente en el intervalo entre uno e ∞. En primer lugar, para la continuidad necesitamos que el interior de la raíz cuadrada, el logaritmo neperiano de 𝑥, no sea negativo. Si el logaritmo neperiano de 𝑥 ha de ser mayor o igual a cero, esto significa que 𝑥 debe ser mayor o igual a uno. Como nuestro valor de 𝑘 es uno, estamos viendo el intervalo entre uno e ∞. Por lo tanto, 𝑥 siempre es mayor o igual que uno. Y así, el numerador de nuestra función es continuo. La única otra discontinuidad puede ocurrir si el denominador de nuestra fracción es igual a cero. Sin embargo, 𝑥 siempre es mayor o igual que uno, por lo que 𝑥 no puede ser igual a cero. De modo que nuestra función es continua en el intervalo.
A continuación, debemos verificar si nuestra función es positiva en este intervalo. La función raíz cuadrada en el numerador siempre es positiva, ya que es una raíz cuadrada positiva. Y el denominador siempre es positivo, porque 𝑥 es mayor o igual que uno. Por lo tanto, hemos comprobado esta condición. Ahora debemos verificar que nuestra función es decreciente entre uno e ∞. Esto es bastante difícil de verificar sin usar la derivada. Podemos hallar los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 de 𝑥 es decreciente derivando 𝑓 con respecto a 𝑥. Esto nos dará 𝑓 prima de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 es un cociente. Por lo tanto, podemos usar la regla del cociente. La regla del cociente nos dice que la derivada de 𝑢 sobre 𝑣 es igual a 𝑣 multiplicado por la derivada de 𝑢 menos 𝑢 multiplicado por la derivada de 𝑣, todo sobre 𝑣 al cuadrado.
En nuestro caso, 𝑢 es igual a la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥 y 𝑣 es igual a 𝑥. Derivar d𝑣 sobre d𝑥 es bastante sencillo. Derivamos 𝑥 y obtenemos uno. Cuando derivamos la raíz cuadrada del logaritmo natural de 𝑥, necesitamos usar la regla de la cadena. Lo que nos será más fácil de hacer si reescribimos 𝑢. Y podemos reescribirlo como el logaritmo natural de 𝑥 elevado a un medio.
Para hallar d𝑢 sobre d𝑥, multiplicamos por el exponente, disminuimos el exponente en uno y finalmente multiplicamos por la derivada del interior de la función. Esa es la derivada del logaritmo natural de 𝑥. Y esto es simplemente igual a uno sobre 𝑥. Ahora, d𝑢 sobre d𝑥 y d𝑣 sobre d𝑥 son simplemente 𝑢 prima y 𝑣 prima. Y estos pueden ser sustituidos en la fórmula de la regla del cociente. Obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑥 multiplicado por un medio por uno sobre 𝑥 por el logaritmo neperiano de 𝑥 elevado a menos un medio menos la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥, todo sobre 𝑥 al cuadrado.
Estamos buscando los valores de 𝑥 para los que 𝑓 es decreciente. Esto significa que 𝑓 prima de 𝑥 es negativa. El denominador de 𝑓 prima de 𝑥, que es 𝑥 al cuadrado, siempre es positivo ya que el cuadrado siempre es positivo. Por lo tanto, los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 prima es negativa son aquellos para los que el numerador de la fracción es negativo. Es decir, cuando la raíz cuadrada del logaritmo natural de 𝑥 es mayor que 𝑥 multiplicado por un medio por uno sobre 𝑥 multiplicado por el logaritmo natural de 𝑥 a la menos un medio. Aquí, podemos cancelar una 𝑥 con esta otra 𝑥.
También podemos reescribir el logaritmo neperiano de 𝑥 elevado a menos un medio como uno sobre la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥. Por lo tanto, el lado derecho de nuestra desigualdad se convierte en uno sobre dos por la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥. Podemos multiplicar ambos lados por la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥. Obtenemos que 𝑓 de 𝑥 es decreciente para aquellos valores de 𝑥 para los que el logaritmo neperiano de 𝑥 es mayor que un medio. Usando una calculadora, hallamos que estos son aquellos valores de 𝑥 que son mayores que 1.648, etcétera. En consecuencia, nuestra función no es decreciente en la totalidad de nuestro intervalo.
Sin embargo, podemos reescribir nuestra serie. Podemos sacar el primer término de nuestra serie para que nuestra serie sea igual a la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de uno sobre uno más la sumatoria desde 𝑛 igual a dos hasta ∞ de la raíz cuadrada del logaritmo natural de 𝑛 sobre 𝑛. Como el logaritmo natural de uno es igual a cero, este término es simplemente cero. Y esta nueva sumatoria que hemos hallado es, de hecho, igual en valor a la sumatoria original. Sin embargo, estamos sumando a partir de 𝑛 igual a dos. Por lo tanto, nuestro valor de 𝑘 cambia a dos. Además, tenemos que 𝑓 de 𝑥 es decreciente para todo 𝑥 mayor que 1.648. Con esto, hemos comprobado la última condición para usar el criterio de la integral y podemos, pues, usar la prueba de la integral. Por lo tanto, hagamos eso ahora.
Necesitamos averiguar si la integral desde dos hasta ∞ de la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥 sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente o divergente. Para resolver esta integral, podemos usar una sustitución 𝑢. Probemos con 𝑢 igual a la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de 𝑥. Al reordenar esto, obtenemos que 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑢 al cuadrado. Podemos derivar 𝑥 con respecto a 𝑢 para hallar que d𝑥 sobre d𝑢 es igual a dos 𝑢𝑒 elevado a 𝑢 al cuadrado. Una igualdad equivalente es d𝑥 es igual a dos 𝑢𝑒 elevado a 𝑢 al cuadrado d𝑢. Si 𝑥 es igual a dos, 𝑢 es igual a la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de dos. Y si 𝑥 es igual a ∞, 𝑢 también es igual a ∞. Ahora estamos listos para realizar nuestra sustitución.
Podemos comenzar sustituyendo los límites de nuestra integral, que será la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de dos e ∞. Entonces, tenemos que la raíz cuadrada del algoritmo natural de 𝑥 es 𝑢. Y 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑢 al cuadrado. Finalmente, necesitamos reemplazar d𝑥. Ahora hemos completado nuestra sustitución por 𝑢. Podemos cancelar el 𝑒 elevado a 𝑢 al cuadrado en el denominador con el otro 𝑒 elevado a 𝑢 al cuadrado. Y nuestra integral se convierte en la integral desde la raíz cuadrada del logaritmo neperiano desde dos hasta ∞ de dos 𝑢 al cuadrado d𝑢.
Podemos integrar esto incrementando el exponente de 𝑢 en uno y dividiéndolo por el nuevo exponente. Ahora tenemos dos tercios de 𝑢 al cubo entre nuestros dos límites. Sustituyendo en nuestros límites, obtenemos esto. Y aunque el segundo término aquí es constante, el límite cuando 𝑢 tiende a ∞ de dos tercios de 𝑢 al cubo es infinito. Resulta, por lo tanto, que esta integral es divergente. Y según el criterio de la integral, nuestra serie desde 𝑛 igual a dos hasta ∞ diverge. Como esta serie es igual en valor a la de la pregunta, hemos encontrado nuestra solución, y es que nuestra serie es divergente.
Hemos cubierto una variedad de ejemplos. Recapitulemos algunos puntos clave del video.
Puntos clave
El criterio de la integral nos dice que si 𝑓 es una función continua, positiva y decreciente en el intervalo entre 𝑘 y ∞, y 𝑓 de 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛. Entonces, en primer lugar, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es convergente, también lo es la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛. Y, en segundo lugar, si la integral desde 𝑘 hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es divergente, también lo es la sumatoria desde 𝑛 igual a 𝑘 hasta ∞ de 𝑎 𝑛. A veces, nuestra función puede no ser decreciente en todo el intervalo entre 𝑘 e ∞, pero aún podemos usar el criterio de la integral siempre que 𝑓 de 𝑥 disminuya para todos los valores de 𝑥 mayores o iguales a 𝑐, siendo 𝑐 una constante, con 𝑐 mayor o igual que 𝑘.
