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En este vídeo vamos a aprender cómo calcular la suma de los términos de una progresión geométrica que tiene un número finito de términos. Para ello, conviene recordar lo que es una progresión geométrica finita. En una progresión geométrica, cada término se halla multiplicando el término anterior por un mismo número, por ejemplo, la progresión dos, seis, 18, 54, etcétera. Para pasar del primer término al segundo, del segundo al tercer término y del tercero al cuarto término, hay que multiplicar por tres, pues dos por tres es seis, seis por tres es 18 y 18 por tres es 54.
Este número, tres, se conoce como razón, y se denota usualmente con la letra 𝑟. El primer término de cualquier progresión geométrica se denota con la letra 𝑎 o como 𝑎 sub uno. Si multiplicamos esto por la razón 𝑟 obtenemos el siguiente término, el segundo término, 𝑎 sub dos, que es igual a 𝑎𝑟. El tercer término es igual a 𝑎𝑟 al cuadrado. Esta regla continúa, de modo que el término 𝑛-ésimo es igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Y esta es la fórmula general para el término 𝑛-ésimo de una progresión geométrica. Veamos ahora cómo podemos calcular la suma de una progresión geométrica finita.
La suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión geométrica se escribe de la siguiente manera. 𝑆 sub 𝑛 es igual a 𝑎 más 𝑎𝑟 más 𝑎𝑟 al cuadrado, etcétera, hasta los dos últimos términos de 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos dos y 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Llamemos a esta ecuación uno. Si multiplicamos cada uno de los términos de esta ecuación por 𝑟, obtenemos que 𝑟 multiplicado por 𝑆 sub 𝑛 es igual a 𝑎𝑟 más 𝑎𝑟 al cuadrado más 𝑎𝑟 al cubo, y así sucesivamente, de modo que los dos últimos términos son 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno y 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛. Llamamos a esta ecuación dos y seguidamente restamos esta ecuación de la ecuación uno.
En el lado izquierdo, obtenemos 𝑆 sub 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑆 sub 𝑛. Si sacamos el factor común 𝑆 sub 𝑛 obtenemos 𝑆 sub 𝑛 multiplicado por uno menos 𝑟. En el lado derecho, al restar, los términos 𝑎𝑟 se cancelan, e igualmente los términos 𝑎𝑟 al cuadrado. De hecho, todos los términos se cancelan excepto 𝑎 en la ecuación uno y 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 en la ecuación dos. De este modo, el lado derecho se convierte en 𝑎 menos 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛. Estos dos términos tienen un factor común de 𝑎, así que podemos factorizarlo.
Seguidamente, dividimos ambos lados de nuestra ecuación por uno menos 𝑟. Y obtenemos que 𝑆 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛, todo dividido por uno menos 𝑟. Esta fórmula nos permite calcular la suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión geométrica. Veamos ahora algunas cuestiones en las que debemos aplicar esta fórmula para resolverlas.
Una progresión geométrica tiene un primer término de tres y una razón constante de cinco. Halla la suma de los seis primeros términos.
Sabemos que la suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión geométrica, denotada por 𝑆 sub 𝑛, es igual a 𝑎 multiplicado por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛, todo dividido por uno menos 𝑟. El enunciado de este problema nos dice que el primer término 𝑎 es igual a tres. La razón 𝑟 es igual a cinco. Y se nos pide hallar la suma de los seis primeros términos. Así que 𝑛 igual a seis. Al sustituir estos valores, obtenemos que 𝑆 sub seis es igual a tres multiplicado por uno menos cinco elevado a seis, todo dividido por uno menos cinco. Cinco elevado a seis, o cinco a la sexta, es igual a 15625 y uno menos cinco es igual a menos cuatro. Al introducir este cálculo en nuestra calculadora obtenemos 11718. La suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica cuyo primer término es tres y cuya razón constante es cinco, es 11718.
En el siguiente problema se nos pedirá calcular la razón constante 𝑟 y el número de términos 𝑛 antes de calcular la suma de la progresión.
Halla la suma de la progresión geométrica 16, menos 32, 64, etcétera, hasta 256.
Sabemos que la suma de cualquier progresión geométrica denotada por 𝑆 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛, todo dividido por uno menos 𝑟. Si nos fijamos en la progresión vemos que el valor del primer término 𝑎 es 16. El segundo término, que es igual a menos 32, es 𝑎 multiplicado por 𝑟. Si llamamos a estas ecuaciones uno y dos, podemos hallar el valor de 𝑟 dividiendo la ecuación dos por la ecuación uno. En el miembro izquierdo, obtenemos 𝑎𝑟 dividido por 𝑎, y en el miembro derecho menos 32 dividido por 16. Como 𝑎 no es igual a cero, podemos cancelar esto en el lado izquierdo. Y menos 32 dividido por 16 es menos dos.
Este valor de 𝑟 tiene sentido ya que, si multiplicamos el primer término, 16, por menos dos, obtenemos el segundo término, menos 32. Y también sirve para pasar del segundo término al tercero. Menos 32 multiplicado por menos dos es 64. Sabemos que el término 𝑛-ésimo o término general de cualquier progresión geométrica denotada por 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Para calcular 𝑛, sustituimos nuestros valores de 𝑎 y 𝑟 y el término 𝑛-ésimo por 256. De esta forma obtenemos la ecuación 256 igual a 16 multiplicado por menos dos elevado a 𝑛 menos uno. Dividimos ambos lados por 16 de modo que 16 es igual a menos dos elevado a 𝑛 menos uno.
Sabemos que menos dos a la cuarta o menos dos elevado a cuatro es 16. Esto significa que 𝑛 menos uno debe ser igual a cuatro. Sumamos uno en ambos lados de esta ecuación, y obtenemos un valor de 𝑛 igual a cinco. Ahora ya conocemos los valores de 𝑎, 𝑟 y 𝑛. La suma de los primeros cinco términos es, por lo tanto, 16 multiplicado por uno menos menos dos a la quinta, todo dividido por uno menos menos dos. Esto se simplifica a 16 multiplicado por uno más 32, todo dividido por tres. Escribiendo esto en nuestra calculadora, obtenemos una respuesta de 176. Así que la suma de la progresión geométrica 16, menos 32, 64, etcétera, hasta 256, es 176.
En la siguiente cuestión se nos pide hallar el número de términos de una progresión geométrica.
El número de términos de una progresión geométrica en la que el primer término es 729, el último término es uno y la suma de todos los términos es 1093, es [espacio en blanco].
Se nos dice que el primer término de nuestra progresión 𝑎 sub uno o 𝑎 es 729. El último término 𝑎 sub 𝑛 es igual a uno. Sabemos que 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. También se nos dice que la suma de todos los términos 𝑆 sub 𝑛 es igual a 1093, donde 𝑆 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛, todo dividido por uno menos 𝑟. Nuestro objetivo en esta cuestión es hallar 𝑛, el número de términos.
Sustituyendo el valor de 𝑎, obtenemos que 729 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno es igual a uno. Dividimos ambos lados de esta ecuación por 729, y obtenemos que 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno es igual a uno partido por 729. Si usamos las propiedades de las potencias, podemos reescribir el lado izquierdo como 𝑟 elevado a 𝑛 partido por 𝑟 elevado a uno, pues 𝑥 elevado a 𝑝 menos 𝑞 es igual a 𝑥 elevado a 𝑝 dividido por 𝑥 elevado a 𝑞. Seguidamente multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 𝑟, y obtenemos que 𝑟 sub 𝑛 es igual a uno partido por 729 𝑟.
Hagamos algo de espacio para escribir la segunda fórmula. Tenemos 729 multiplicado por uno menos uno partido por 729 𝑟, todo dividido por uno menos 𝑟 igual a 1093. Desarrollamos los paréntesis del numerador en el lado izquierdo, y obtenemos 729 menos 𝑟. Si multiplicamos por uno menos 𝑟, obtenemos que 729 menos 𝑟 es igual a 1093 multiplicado por uno menos 𝑟. Una vez más, desarrollamos los paréntesis, y obtenemos 1093 menos 1093𝑟. Restamos 729 y sumamos 1093𝑟 en ambos lados de la ecuación, y obtenemos que 1092𝑟 es igual a 364. Seguidamente dividimos ambos lados por 1092, y obtenemos 𝑟 igual a un tercio. Ahora podemos sustituir esto en nuestra fórmula para hallar el valor de 𝑛.
Un tercio elevado a 𝑛 es igual a uno partido por 729 multiplicado por un tercio. Sabemos que tres elevado a seis es 729. Esto significa que un tercio elevado a seis es uno partido por 729. Así que reescribimos el lado derecho de nuestra ecuación como un tercio a la sexta multiplicado por un tercio. Una vez más, usando las propiedades de las potencias, sumamos los exponentes. Seis más uno es siete. Como un tercio elevado a 𝑛 es igual a un tercio elevado a siete, entonces 𝑛 debe ser igual a siete. El número de términos de la progresión geométrica en la que el primer término es 729, el último término es uno y la suma de todos los términos es 1093, es siete.
En nuestra última cuestión se nos pide hallar la suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión geométrica.
Halla la suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que 𝑎 sub cinco es igual a menos ocho multiplicado por 𝑎 sub dos y que 𝑎 sub cuatro más 𝑎 sub seis es igual a menos 64.
Sabemos que el término 𝑛-ésimo o término general de una progresión geométrica 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Por lo tanto, el quinto término de la progresión será igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la cuarta, y el segundo término 𝑎 sub dos será igual a 𝑎𝑟. Asimismo, el cuarto término será igual a 𝑎𝑟 al cubo, y el sexto término 𝑎 sub seis será igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a cinco. Así que ya podemos reescribir nuestras dos ecuaciones.
En primer lugar, tenemos que 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la cuarta es igual a menos ocho 𝑎𝑟. Como tanto 𝑎 como 𝑟 no pueden ser iguales a cero, podemos dividir por 𝑎 y 𝑟. Y obtenemos que 𝑟 al cubo es igual a menos ocho. Calculamos la raíz cúbica en ambos lados de esta ecuación y obtenemos que 𝑟 es igual a menos dos. Seguidamente sustituimos este valor de 𝑟 en la segunda ecuación. 𝑎𝑟 al cubo más 𝑎𝑟 a la quinta es igual a menos 64. Menos dos al cubo es menos ocho. Así que el primer término es menos ocho 𝑎. Menos dos a la quinta es igual a menos 32. Nuestra ecuación se convierte en menos ocho 𝑎 más menos 32𝑎 igual a menos 64.
El lado izquierdo se simplifica a menos 40𝑎. Ahora dividimos por menos 40 y obtenemos que 𝑎 es igual a ocho partido por cinco u ocho quintos. Que es igual a 1.6. Ahora que ya conocemos el valor de 𝑟, el valor de 𝑎 y sabemos que el valor de 𝑛 es siete, podemos calcular la suma de los siete primeros términos de la progresión. Para ello, vamos a hacer uso de la fórmula 𝑆 sub 𝑛 igual a 𝑎 multiplicado por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛, todo dividido por uno menos 𝑟. Por lo tanto, 𝑆 sub siete es igual a 1.6 u ocho quintos multiplicado por uno menos menos dos elevado a siete, todo dividido por uno menos menos dos. Escribiendo esto en la calculadora obtenemos una respuesta de 344 quintos. Que, en forma decimal, es igual a 68.8. La suma de los primeros siete términos de una progresión geométrica en la que 𝑎 sub cinco es igual a menos ocho multiplicado por 𝑎 sub dos y 𝑎 sub cuatro más 𝑎 sub seis es igual a menos 64, es 344 quintos o 68.8.
Veamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Hemos aprendido que una progresión geométrica tiene un primer término 𝑎 y una razón 𝑟. Y que cada término se halla multiplicando el término anterior por la razón. El término 𝑛-ésimo o término general de una progresión geométrica 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Y la suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión geométrica, denotada por 𝑆 sub 𝑛, es igual a 𝑎 multiplicado por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛 dividido por uno menos 𝑟. Además, hemos visto que podemos usar estas fórmulas para calcular la suma de los términos de una progresión geométrica finita.
