Vídeo: Clasificar un triángulo a partir de las longitudes de sus lados

Un triángulo tiene vértices en los puntos 𝐴 (4, 2); 𝐵 (6, 2); y 𝐶 (5, −1). Primero, calcula las longitudes de los lados del triángulo. Expresa las respuestas como surdos en su forma irreducible. Luego, determina el tipo de triángulo que es 𝐴𝐵𝐶.

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Transcripción del vídeo

Un triángulo tiene vértices en los puntos 𝐴: cuatro, dos; 𝐵: seis, dos; y 𝐶: cinco, menos uno. Primero, calcula las longitudes de los lados del triángulo. Expresa las respuestas como radicales en su forma más sencilla. Luego, determina el tipo de triángulo que es 𝐴𝐵𝐶.

Se nos han dado las coordenadas de los tres vértices de un triángulo. Lo que debemos hacer primero es calcular las longitudes de los lados. Para hacerlo, tenemos que recordar la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre dos puntos en un plano de coordenadas.

La fórmula nos dice que la distancia entre los dos puntos con coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos puede hallarse calculando la raíz cuadrada de 𝑥 dos menos 𝑥 uno al cuadrado más 𝑦 dos menos 𝑦 uno al cuadrado.

Esto es de hecho una aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, en el que la longitud horizontal es 𝑥 dos menos 𝑥 uno y la longitud vertical es 𝑦 dos menos 𝑦 uno.

Vamos a aplicar este teorema para calcular las longitudes de los tres lados de este triángulo. Comencemos con el lado 𝐴𝐵. En realidad, este lado es horizontal puesto que los dos puntos tienen la misma coordenada 𝑦. Por lo tanto, su longitud es la diferencia entre sus coordenadas 𝑥. La diferencia entre seis y cuatro es dos. Por lo tanto, la longitud de 𝐴𝐵 es dos.

Podríamos también aplicar la fórmula de la distancia. Y obtendríamos el mismo resultado. Pero es complicarse la vida innecesariamente. A continuación, calculemos la longitud del lado 𝐴𝐶. Aquí sí vamos a necesitar la fórmula de la distancia.

Si sustituimos las coordenadas de 𝐴 y 𝐶 en la fórmula de la distancia, tenemos que la longitud de 𝐴𝐶 es igual a la raíz cuadrada de cinco menos cuatro al cuadrado más menos uno menos dos al cuadrado. Esto nos da la raíz cuadrada de uno al cuadrado más menos tres al cuadrado.

Uno al cuadrado es uno. Y menos tres al cuadrado es nueve. Así que tenemos la raíz cuadrada de uno más nueve, que es la raíz cuadrada de 10. No podemos simplificar más esta expresión pues 10 no tiene ningún factor cuadrado. Por lo que este radical está en su forma irreductible.

Ahora tenemos que fijarnos en el tercer lado, 𝐵𝐶. Sustituyendo las coordenadas por esos puntos obtenemos la raíz cuadrada de cinco menos seis al cuadrado más menos uno menos dos al cuadrado. Esto es igual a la raíz cuadrada de menos uno al cuadrado más menos tres al cuadrado. Menos uno al cuadrado es uno. Y menos tres al cuadrado es nueve. Así que tenemos la raíz cuadrada de uno más nueve, que, de nuevo, se simplifica a la raíz cuadrada de 10.

Hemos calculado las longitudes de los tres lados del triángulo. 𝐴𝐵 es dos unidades. 𝐴𝐶 es la raíz de 10 unidades. Y 𝐵𝐶 es también la raíz de 10 unidades. Pasemos a la segunda parte: ¿Qué tipo de triángulo es 𝐴𝐵𝐶? Bien, ya sabemos, por los cálculos en la primera parte, que dos de los lados de este triángulo tienen la misma longitud. 𝐴𝐶 es igual a 𝐵𝐶.

Sin embargo, el tercer lado del triángulo, 𝐴𝐵, es distinto. Esto quiere decir que nuestro triángulo tiene dos lados iguales. Y por lo tanto, tiene que ser un triángulo isósceles. Así que vamos a responder ahora a las dos partes del problema. 𝐴𝐵 es igual a dos. 𝐴𝐶 es igual a la raíz de 10. 𝐵𝐶 es también igual a la raíz de 10. Y 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo isósceles.

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