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Vídeo de la lección: Los números reales Matemáticas • Octavo grado

En este video, vamos a aprender cómo distinguir entre números racionales y números irracionales, y cómo representar números reales en la recta numérica.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo distinguir entre números racionales y números irracionales, y cómo representar los números reales en la recta numérica. Vamos a empezar a comenzar explicando lo que significa que un número es real y que un número es racional.

Se puede decir que, si piensas en un número, va a ser un número real. De hecho, todos los números de la recta numérica son números reales. Esto incluye los enteros. O sea, los números enteros, como el número cuatro. Un número como tres sobre dos también es un número real. Debemos agregar a nuestra recta numérica números como el número 𝜋, que es aproximadamente 3.14. Y también hemos de incluir números negativos, como menos tres. Cualquier número que podamos poner en nuestra recta numérica pertenece al conjunto de los números reales.

Los únicos números que no incluimos en este conjunto son ∞ y menos ∞, y los números imaginarios. Esto de «números imaginarios» puede sonar un poco tonto, pero se trata de un grupo de números que incluyen la raíz cuadrada de menos uno. Luego podemos separar el conjunto de los números reales en varios grupos. Los dos subconjuntos en los que estamos interesados son los números racionales y los números irracionales. Estos subconjuntos son ambos de números reales, pero son conjuntos mutuamente excluyentes. Es decir, un número no puede ser racional e irracional. Es de un tipo o del otro.

Un diagrama que representa esto puede ser más o menos así. Tenemos el conjunto de los números reales, el cual está formado por los números racionales y los números irracionales. Los números enteros están incluidos en el conjunto de los números racionales, y, incluidos aún dentro de estos, están los números naturales. Estos, además, son el número cero junto con los números de conteo, uno, dos tres, etc.

Un número racional es un número real que se puede escribir como 𝑎 sobre 𝑏, siendo 𝑎 y 𝑏 números enteros, por ejemplo, dos quintos o 0.3 periódico, que es, por supuesto, un tercio. Hay algunos números que pueden no parecer racionales, por ejemplo, 0.142857 periódico. Pero, de hecho, este número decimal es equivalente a un séptimo. Y dado que un séptimo es una fracción formada por dos enteros, es un número racional. De hecho, cualquier decimal periódico se puede escribir como el cociente de dos números enteros. Es decir, los decimales periódicos son todos números racionales.

Un número irracional es justamente lo contrario de esto. Es un número que no es racional. Algunos ejemplos importantes de este tipo de números son 𝜋 y la raíz cuadrada de dos. Ahora que tenemos nuestras definiciones, veamos cómo aplicarlas.

¿Es 0.456 un número racional o irracional?

Comencemos recordando la definición de un número racional. Un número racional es el que puede ser escrito en la forma 𝑎 sobre 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son enteros. Son números enteros. Un número irracional es un número que no puede ser escrito en esta forma. Así que fijémonos bien en el número que nos han dado. 0.456 es un decimal exacto. Veamos si podemos escribirlo como una fracción. Vemos que el número tiene cuatro décimas, cinco centésimas y seis milésimas. Esto significa que podemos escribirlo como la suma de cuatro décimos, cinco centésimos y seis milésimos. Y sabemos, además, que podemos sumar fracciones cuando sus denominadores son iguales.

Creemos un común denominador de 1000. Para obtener esto vamos a multiplicar el numerador y el denominador de nuestra primera fracción por 100 y el de nuestra segunda fracción por 10. Cuatro décimos equivalen a cuatrocientos milésimos. Y cinco centésimos es lo mismo que cincuenta milésimos. Y una vez que los denominadores son iguales, simplemente sumamos los numeradores. 400 más 50 más seis es igual a 456. Y, por lo tanto, 0.456 es igual a cuatrocientos cincuenta y seis milésimos.

También podemos simplificar esto a 57 sobre 125. Pero esto no es necesario en absoluto. Todo lo que realmente necesitamos demostrar es que podemos escribir nuestro número como una fracción cuyo denominador y numerador son ambos números enteros. Como ya hemos demostrado que 0.456 puede ser escrito como el cociente de dos números enteros, 456 y 1000, podemos decir que 0.456 es un número racional. Así que la respuesta es sí.

De hecho, es fácil darse cuenta de que esto se puede generalizar sin mucha dificultad y que cualquier decimal exacto puede ser escrito de esta forma. Todos los decimales exactos son, por lo tanto, números racionales. Ahora sabemos, pues, que los decimales exactos y los decimales periódicos son racionales. Vamos a ver qué sucede si combinamos números racionales e irracionales.

¿Es 𝜋 sobre tres un número racional o irracional?

Comenzamos recordando la definición de número racional. Es un número que se puede escribir en la forma 𝑎 sobre 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son enteros. O sea, números enteros. Una vez que tenemos esta definición, podemos decir que un número irracional es uno que no es racional. En otras palabras, no se puede escribir de esta forma. Buscamos determinar si 𝜋 dividido por tres es racional o irracional.

Sabemos que 𝜋 es un ejemplo de un número irracional. Es uno de los más conocidos. Así que, de hecho, estamos preguntándonos qué sucede si dividimos un número irracional por un entero. Pues sigue siendo irracional. No hay forma de escribir 𝜋 dividido por tres en la forma 𝑎 sobre 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son números enteros. Tres es un número entero, 𝜋 no lo es. Por lo tanto, es irracional. 𝜋 dividido por tres es un número irracional.

En realidad, podemos generalizar esto. Podemos decir que multiplicar o dividir un número irracional por un número racional distinto de cero da como resultado un número irracional. Por supuesto si el número racional es igual a cero y lo multiplicamos por un número irracional, obtendremos cero, que es racional. Así que es muy importante especificar que estamos multiplicando nuestro número irracional por un número racional no nulo.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a practicar cómo identificar un número irracional en una lista.

¿Cuál de los siguientes números es irracional? ¿Es (A) la raíz cúbica de 70, (B) la raíz cúbica de 64, (C) 59, (D) la raíz cuadrada de 144 sobre 81, o (E) 109.5?

Comencemos recordando lo que queremos decir cuando decimos que un número es irracional. Para que un número sea racional, debemos poder escribirlo en la forma 𝑎 sobre 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son enteros. Son números enteros. Y si un número no se puede escribir de esta forma, no es racional. Y decimos que es irracional.

Para determinar cuál de nuestros números es irracional, vamos a analizarlos uno por uno. Comencemos por la raíz cúbica de 70. Si hacemos una lista de los números cúbicos que conocemos, veremos que tres al cubo es 27, cuatro al cubo es 64, y cinco al cubo es 125. Ninguno de los números del lado derecho es igual a 70. Y esto nos dice que la raíz cúbica de 70 no es un número entero o, en este caso, racional. Está en algún lugar entre cuatro y cinco. Probablemente está más cerca de cuatro ya que 70 es solo un poco mayor que 64.

Pero en lugar de tratar de averiguar exactamente a qué es igual la raíz cúbica de 70, vamos a fijarnos ahora en los cuatro números restantes. La raíz cúbica de 64, es decir (B), sí está en nuestra lista de números cúbicos. La raíz cúbica de 64 es cuatro. Podemos escribirlo como cuatro o cuatro sobre uno, lo que significa que es un número racional. Y podemos descartar (B) de nuestra lista. Veamos ahora (C). 59 es lo mismo que 59 sobre uno. Y, por supuesto, tanto el 59 como el uno son enteros. Es decir, números enteros. De modo que descartamos (C). También es racional.

Pero ¿qué sucede con (D)? Pues bien, una de las reglas para hallar la raíz cuadrada es que podemos obtener la raíz cuadrada de una fracción hallando por un lado la raíz cuadrada del numerador y por otro lado la raíz cuadrada del denominador. La raíz cuadrada de 144 es 12, y la raíz cuadrada de 81 es nueve. Esto significa que la raíz de 144 sobre 81 es racional. Está escrito en la forma 𝑎 sobre 𝑏. 𝑎 es 12 y 𝑏 es nueve. Ambos son números enteros. ¿Qué pasa con la opción (E)? Bueno, este es un decimal exacto. Y, como hemos dicho antes, todos los decimales exactos son números racionales. Por tanto, no puede ser irracional. Y no vamos a considerar esta opción.

Y así, mediante una combinación de hallar el cubo de algunos números y de descartar de una u otra forma las otras opciones, hemos hallado que la respuesta es (A). El número irracional es la raíz cúbica de 70.

Hemos mencionado antes el tema de cómo podríamos estimar el valor en forma decimal de las raíces. Veamos ahora un ejemplo que incluye este proceso.

¿Cuál de los siguientes es un número irracional que se halla entre tres y cuatro?

Sabemos que un número racional se puede escribir en la forma 𝑎 sobre 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son enteros. Es decir, son números enteros. Y un número es irracional si no se puede escribir de esta forma. Vamos a comenzar trabajando con los números en nuestra lista e identificando cuáles son racionales. Comencemos con (A), el número 3.9. 3.9 es un decimal exacto. Y, de hecho, todos los decimales exactos son racionales. En este ejemplo, 3.9 se puede escribir como 39 sobre 10. Tanto 39 como 10 son números enteros, y, por lo tanto, 3.9 es racional.

Ahora vamos a considerar al mismo tiempo la raíz cuadrada de 19, la raíz cuadrada de 13, y la raíz cuadrada de siete. Si hacemos un listado de los primeros números cuadrados, tenemos uno al cuadrado, que es uno, y luego cuatro, nueve, 16 y 25. Ninguno de estos está en la lista. Y esto significa que, cuando hallamos la raíz cuadrada de 19, 13 y siete, no solamente obtenemos un número no entero, obtenemos un número decimal que no es exacto ni periódico. Ese número decimal es, por lo tanto, irracional. Pero volveremos a este tema en un momento.

Antes de hacerlo, veamos (D). Siete sobre dos ya está en la forma que nos conviene. Tiene la forma 𝑎 sobre 𝑏. 𝑎 es siete y 𝑏 es dos. Y ambos son números enteros. Y podemos tachar (D) de nuestra lista. Sabemos, pues, que tanto (A) como (D) son números racionales. Así que podemos volver a nuestras raíces cuadradas.

El uso de una recta numérica aquí podría ayudarnos. Tenemos uno al cuadrado, que es uno. La raíz cuadrada de uno es uno. Sabemos que dos al cuadrado es igual a cuatro, por lo que la raíz cuadrada de cuatro es dos. Vemos que tres al cuadrado es igual a nueve, por lo que la raíz cuadrada de nueve es tres. De manera similar, la raíz cuadrada de 16 es cuatro. Y la raíz cuadrada de 25 es cinco. También podemos decir a la inversa que uno al cuadrado es uno, dos al cuadrado es cuatro, y así sucesivamente.

Tenemos la raíz cuadrada de 19. Así que debemos hallar este valor en nuestra recta numérica. 19 está aquí. Observa que 19 se encuentra entre el resultado de cuatro al cuadrado y cinco al cuadrado. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 19 es mayor que la raíz cuadrada de 16 pero menor que la raíz cuadrada de 25. Que es lo mismo que decir que la raíz cuadrada de 19 es mayor que cuatro y menor que cinco.

Repitamos este proceso con la raíz cuadrada de 13. 13 está aquí. Se encuentra entre el resultado de tres al cuadrado y de cuatro al cuadrado, lo que significa, por supuesto, que la raíz cuadrada de 13 debe ser mayor que tres y menor que cuatro. Hagamos esto ahora para la raíz cuadrada de siete. Siete está aquí. Está entre el resultado de dos al cuadrado y tres al cuadrado. Y, por supuesto, esto significa que la raíz cuadrada de siete debe estar entre dos y tres. Es mayor que dos y menor que tres.

Queremos hallar el número irracional que se encuentra entre tres y cuatro. Y, por supuesto, acabamos de demostrar que se trata de la raíz cuadrada de 13. Así que, de nuestra lista, el número irracional que se encuentra entre tres y cuatro es la raíz cuadrada de 13. Es (C) .

En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo usar las reglas de los radicales para comparar el tamaño de algunos números irracionales.

Determina cuál tiene un valor mayor: ¿es dos raíz de tres o tres raíz de dos?

Hay dos formas de responder a esto. Un método es estimar el valor de las raíces cuadradas primero y luego multiplicarlos por dos y por tres, respectivamente. Sin embargo, es mucho más fácil y claro reorganizar el radical. Veamos cómo se hace esto. Comenzamos recordando que dos es igual al cuadrado de cuatro. Y, si tomamos nuestro primer número, dos raíz de tres, podemos escribirlo como el cuadrado de cuatro por la raíz cuadrada de tres. Pero, por supuesto, para los números reales 𝑎 y 𝑏, la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por la raíz cuadrada de 𝑏 es lo mismo que la raíz cuadrada de 𝑎𝑏.

Esto significa que dos raíz de tres es lo mismo que la raíz cuadrada de cuatro por tres, o sea, raíz de 12. Repitamos este proceso con nuestro segundo número. Eso es tres raíz de dos. Esta vez, utilizamos que tres es igual a la raíz cuadrada de nueve. Así que vamos a reescribir tres raíz de dos como la raíz cuadrada de nueve por la raíz de dos. Esto es igual a la raíz cuadrada de nueve por dos, que es la raíz cuadrada de 18.

Comparemos ahora los tamaños de estos dos números. Tenemos la raíz cuadrada de 12 y la raíz cuadrada de 18. Como 18 es mayor que 12, la raíz cuadrada de 18 es mayor que la raíz cuadrada de 12. Así que la raíz cuadrada de 18 tiene un valor más grande que la raíz cuadrada de 12, lo cual significa que tres raíz de dos tiene un valor más grande que dos raíz de tres. La respuesta es, por lo tanto, tres raíz de dos.

En este video, hemos aprendido que un número racional es un número real que puede ser escrito como 𝑎 sobre 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son enteros. Esto incluye los números decimales exactos y los periódicos. Estos son ejemplos de números racionales. Un número irracional es lo contrario de esto. O sea, es un número que no es racional. Y algunos ejemplos importantes de este tipo de números son 𝜋, y aquellas raíces cuadradas en las que el número dentro del radical no es un número cuadrado.

Hemos visto que, si representamos estos conjuntos en un diagrama de Venn, hemos de mostrar que son mutuamente excluyentes. No hay superposición. Si un número es racional, no es irracional, y si es irracional no es racional. Y estos dos subconjuntos de números constituyen el conjunto de los números reales. Hemos visto que si multiplicamos o dividimos un número irracional por un número racional obtenemos un número irracional. Y hemos visto que podemos aproximar el valor de los números irracionales que son raíces cuadradas fijándonos en los números cuadrados que están a su derecha y a su izquierda en la recta numérica.

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