Vídeo de la lección: Módulo de un número complejo Matemáticas • Duodécimo grado

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo calcular el módulo de un número complejo. Vamos a analizar lo que queremos decir con el término «módulo» antes de derivar una fórmula general que podemos usar para todos los casos. Después vamos a considerar las propiedades del módulo en relación con las operaciones con números complejos, como la suma, la multiplicación y la división, antes de resolver ecuaciones simples que incluyen el módulo de un número complejo.

Hemos visto que podemos representar números complejos en un plano. Este es el plano complejo, también llamado plano de Argand, por el matemático aficionado que lo descubrió a principios del siglo XIX. Podemos usarlo para graficar un número complejo de la forma 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖, cuya parte real es 𝑎 y cuya parte imaginaria es 𝑏. Para hacer esto, ubicamos la parte real 𝑎 en el eje real. Ese es el eje horizontal. Y luego nos movemos hacia arriba o hacia abajo — es decir, en el eje imaginario, el eje vertical — para ubicar la parte imaginaria 𝑏. Por lo tanto, nuestro número complejo puede representarse mediante el punto 𝑎, 𝑏, como se muestra.

Añadimos una línea recta para conectar este punto con el origen. Y vemos que podemos calcular información adicional. Podemos calcular la longitud de este segmento. Llamamos a esta longitud módulo del número complejo. Y se representa como se muestra. Pero ¿cómo calculamos la longitud de este segmento? Bien, podemos hacer un triángulo rectángulo con este lado como hipotenusa. La base de este triángulo mide 𝑎 unidades de longitud. Y la altura del triángulo mide 𝑏 unidades de longitud.

Es un triángulo rectángulo. Por tanto, podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa. Sabemos que, para un triángulo rectángulo con lados de longitudes 𝑎, 𝑏 y 𝑐, siendo 𝑐 la hipotenusa, 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado. Dijimos que la longitud de la hipotenusa en nuestro triángulo es el módulo de 𝑧. Es decir, el módulo de 𝑧 cuadrado debe ser igual a 𝑎 cuadrado más 𝑏 cuadrado. Vamos a resolver esto para el módulo de 𝑧 hallando la raíz cuadrada de ambos lados. Y vemos que hemos obtenido una fórmula para el módulo de un número complejo 𝑧 igual 𝑎 más 𝑏𝑖. Es la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado.

Esto a veces se llama el valor absoluto de 𝑧. Y, por supuesto, dado que representa una longitud, sabemos que el módulo de 𝑧 siempre será mayor que cero. Ahora, de hecho, a menudo también se llama la magnitud del número complejo debido a la interpretación geométrica de un número complejo como vector. Ahora vamos a considerar un ejemplo de la aplicación de esta fórmula.

¿Cuál es el módulo del número complejo tres más siete 𝑖?

La definición del módulo de un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖 es la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. 𝑎 es la parte real del número complejo, mientras que 𝑏 es la parte imaginaria. Comparemos esta fórmula con nuestro número complejo tres más siete 𝑖. Este número complejo tiene una parte real de tres y una parte imaginaria de siete. No confundas esto con siete 𝑖. La parte imaginaria es esencialmente el coeficiente de 𝑖. Podemos sustituir estos valores en la fórmula del módulo. Y obtenemos la raíz cuadrada de tres al cuadrado más siete al cuadrado. Tres al cuadrado es nueve y siete al cuadrado es 49. Por consiguiente, el módulo es la raíz cuadrada de 58.

Por lo general, intentaríamos simplificar este número irracional. Sin embargo, no hay factores de 58 que también sean números cuadrados. Así que hemos terminado; está en su forma más simple. Y diremos simplemente que el módulo del número complejo tres más siete 𝑖 es la raíz cuadrada de 58.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver la relación entre el módulo de un número complejo y el módulo de su conjugado. A medida que avanzamos, ve si puedes recordar la relación entre la representación de un número complejo y la de su conjugado en el plano de Argand.

Considera el número complejo 𝑧 igual a menos cuatro más 𝑖 raíz de cinco. Primero: Calcula el módulo de 𝑧. Segundo: Calcula el módulo del conjugado de 𝑧. Tercero: Calcula el producto de 𝑧 por su conjugado.

En el primer apartado, nos han dado un número complejo. Y nos piden que hallemos su módulo. Recordemos que, para un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, el módulo es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. 𝑎 es la parte real del número complejo mientras que 𝑏 es la parte imaginaria. Apliquemos esta fórmula a nuestro número complejo, menos cuatro más 𝑖 raíz de cinco.

Su parte real es menos cuatro y su parte imaginaria es la raíz cuadrada de cinco. Reemplazamos estos valores en la fórmula para el módulo, y vemos que el módulo de 𝑧 es igual a raíz cuadrada de menos cuatro al cuadrado más raíz cuadrada de cinco al cuadrado. Menos cuatro al cuadrado es 16. Y raíz cuadrada de cinco al cuadrado es cinco. Y hallamos que el módulo de 𝑧 es igual a raíz cuadrada de 21.

En el segundo apartado, nos piden hallar el módulo del complejo conjugado de 𝑧. Para hallar el conjugado, cambiamos el signo de la parte imaginaria. En este ejemplo, el conjugado de 𝑧 es menos cuatro menos 𝑖 raíz de cinco. Esta vez la parte real de nuestro número es menos cuatro. Y la parte imaginaria es menos raíz de cinco. Reemplazamos estos valores en la fórmula del módulo, y vemos que el módulo del conjugado es la raíz cuadrada de menos cuatro al cuadrado más la raíz negativa de cinco al cuadrado. Y, por supuesto, menos cuatro al cuadrado es, una vez más, 16. Y menos raíz de cinco al cuadrado es cinco. Así que el módulo del conjugado de 𝑧 es también raíz de 21.

En el tercer apartado, nos piden hallar el producto de 𝑧 con su conjugado. Sabemos que el conjugado de 𝑧 es menos cuatro menos 𝑖 raíz de cinco. Así que el producto de 𝑧 con su conjugado es menos cuatro más 𝑖 raíz de cinco multiplicado por menos cuatro menos 𝑖 raíz de cinco. Y podemos usar la manipulación algebraica de binomios para hallar el producto. Podemos usar el método de la cuadrícula o el método de PEIÚ. Echemos un vistazo al método de la cuadrícula.

Comenzamos multiplicando menos cuatro por menos cuatro, que es 16. Después multiplicamos menos cuatro por 𝑖 raíz de cinco. Y obtenemos menos cuatro 𝑖 raíz de cinco. Y podríamos haberlo escrito en diferente orden. Pero hemos decidido escribir la raíz cuadrada de cinco al final de este término para que esté claro que no estamos hallando la raíz cuadrada de 𝑖. A continuación, multiplicamos 𝑖 raíz de cinco por menos cuatro. Y obtenemos cuatro 𝑖 raíz de cinco. Y cuando multiplicamos los dos términos que nos quedan, obtenemos menos 𝑖 al cuadrado multiplicado por la raíz cuadrada de cinco al cuadrado.

Por supuesto, la raíz cuadrada de cinco al cuadrado es simplemente cinco. E 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Así que tenemos menos menos uno multiplicado por cinco. Y esto se simplifica a cinco. A continuación, agrupamos los términos semejantes. Y notamos que, al hacerlo, sumamos cuatro 𝑖 raíz de cinco y menos cuatro 𝑖 raíz de cinco. Y obtenemos cero. Y nuestra expansión se convierte en seis [16] más cinco, que es igual a 21. Así que el producto de nuestro número complejo con su conjugado es 21.

En este ejemplo, hemos visto, no solo que el módulo de un número complejo es igual al módulo de su conjugado, sino también que el cuadrado del módulo de un número complejo es igual al producto de un número complejo con su conjugado. Anteriormente te sugerí que pensaras en la relación entre la representación de un número complejo y la de su conjugado en el plano de Argand.

Y si pensamos en ello, vemos que el resultado del segundo apartado tiene mucho sentido. Representa una reflexión sobre el eje de las 𝑥, o sea, el eje real. Y, por lo tanto, podemos ver que la longitud del segmento que une 𝑧 con el origen tiene exactamente la misma longitud del segmento que une el complejo conjugado de 𝑧 con el origen. Y esto nos confirma que el módulo de 𝑧 debe ser igual al módulo del conjugado de 𝑧. A continuación, vamos a ver la relación entre la suma y el módulo de un número complejo.

Considera dos números complejos, 𝑤 igual a menos uno más siete 𝑖 y 𝑧 igual a cinco menos tres 𝑖. Primera parte: Calcula el módulo de 𝑤 más el módulo de 𝑧 con dos cifras decimales.

Existen dos partes más de esta pregunta que no consideraremos en este momento. La primera parte nos pide hallar el módulo de 𝑤 y el módulo de 𝑧. Y después hallar la suma de estos dos valores. Recuerda que la definición de los módulos de un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖 es la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Si comparamos esto con nuestro primer número complejo 𝑤, podemos ver que 𝑎, la parte real, es menos uno. Y vemos que 𝑏, la parte imaginaria, es siete.

De modo que el módulo de 𝑤 viene dado por la raíz cuadrada de menos uno al cuadrado más siete al cuadrado. Menos uno al cuadrado es uno y siete al cuadrado es 49. Así que el módulo de 𝑤 es la raíz cuadrada de 50. Y, de hecho, vamos a evaluar nuestra respuesta con dos cifras decimales. Por lo tanto, realmente no importa si escribimos esto en su forma más simple o no. Pero si lo hacemos, veremos que el módulo de 𝑤 es cinco raíz de dos.

Vamos a repetir este proceso para el módulo de 𝑧. La parte real de 𝑧, que es 𝑎, es cinco. Y la parte imaginaria es menos tres. Así que el módulo de 𝑧 es la raíz cuadrada de cinco al cuadrado más menos tres al cuadrado. Eso es la raíz cuadrada de 25 más nueve que es la raíz de 34. Por lo tanto, la suma de estos dos números es cinco raíz de dos más raíz de 34 que es 12.9020 etcétera. Redondeado a dos cifras decimales es 12.90.

Segunda parte: Calcula el módulo de 𝑧 más 𝑤 con dos cifras decimales.

Esta vez, necesitamos sumar los números complejos primero y después hallar el módulo de su suma. Para sumar dos números complejos, sumamos sus partes reales y después sus partes complejas separadamente. Esto es un poco como reducir términos semejantes. Cinco más menos uno es cuatro y menos tres más siete es cuatro. De modo que tenemos cuatro más cuatro 𝑖. La parte real de este número es cuatro. Y la parte imaginaria también es cuatro. Por lo tanto, el módulo es la raíz cuadrada de cuatro al cuadrado más cuatro al cuadrado, que es la raíz cuadrada de 32. Y, si evaluamos esto en la calculadora, hallaremos que el módulo de la suma de estos dos números complejos es 5.66, redondeado a dos cifras decimales.

Tercera parte: ¿Cuál de las siguientes relaciones satisfacen 𝑤 y 𝑧? a) El módulo de 𝑤 más el módulo de 𝑧 es igual al módulo de 𝑧 más 𝑤. b) El módulo de 𝑤 más el módulo de 𝑧 es mayor o igual que el módulo de 𝑧 más 𝑤. c) Es menor o igual que el módulo de 𝑧 más 𝑤. d) Es igual a dos veces el módulo de 𝑧 más 𝑤. e) La raíz cuadrada del módulo de 𝑤 más el módulo de 𝑧 es igual al módulo de 𝑧 más 𝑤.

Es evidente que estos dos números no son iguales. Así que podemos eliminar la opción a directamente. De hecho, vemos que el módulo de 𝑤 más el módulo de 𝑧 es en realidad mayor que el módulo de 𝑧 más 𝑤. Por lo que parece que la opción b es la correcta. Vamos a revisar las otras tres. Vemos claramente que c no puede ser correcta. Además, si duplicamos el módulo de 𝑧 más 𝑤, obtenemos 11.32. Así que d tiene que ser incorrecta. Y si hallamos la raíz cuadrada de la suma de sus módulos, es 3.59, lo que demuestra que es también es incorrecta. Por lo tanto, la respuesta correcta es b.

Este resultado es válido para todos los números complejos. Podemos decir que para dos números complejos cualesquiera 𝑧 uno y 𝑧 dos, la suma de sus módulos siempre será mayor o igual que el módulo de su suma.

¿Y qué hay de la multiplicación y la división? Echemos un vistazo a la relación entre multiplicación y división y el módulo de un número complejo.

Considera los números complejos 𝑧 igual a tres menos cuatro 𝑖 y 𝑤 igual a menos 15 más ocho 𝑖. Primera parte: Halla el módulo de 𝑧 y el módulo de 𝑤.

Hay otras dos partes en esta pregunta que vamos a considerar en un momento. Recuerda que para un número complejo 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖, el módulo de 𝑧 es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Si comparamos esto con nuestro primer número complejo, vemos que tiene una parte real de tres y una parte imaginaria b de menos cuatro. El módulo de 𝑧 será, pues, la raíz cuadrada de tres al cuadrado más menos cuatro al cuadrado. La raíz cuadrada de tres al cuadrado más menos cuatro al cuadrado es la raíz cuadrada de 25, que es simplemente cinco. 𝑤 tiene una parte real de menos 15 y una parte imaginaria de ocho. Por lo tanto, el módulo de 𝑤 es la raíz cuadrada de menos 15 al cuadrado más ocho al cuadrado. Esto es la raíz cuadrada de 289, que es 17.

Segunda parte: Calcula el módulo de 𝑧𝑤. ¿Cómo se compara esto con el módulo de 𝑧 multiplicado por el módulo de 𝑤?

Esta vez, necesitamos calcular el producto de los números complejos 𝑧 y 𝑤. Podemos utilizar la manipulación algebraica de binomios para calcular tres menos cuatro 𝑖 multiplicado por menos 15 más ocho 𝑖. Podemos usar el método de la cuadrícula o el método PEIÚ. Echemos un vistazo al método PEIÚ.

Comenzamos multiplicando el primer término en cada paréntesis. Eso es menos 45. Cuando multiplicamos los términos externos, tres multiplicado por ocho 𝑖 es 24𝑖. Menos cuatro 𝑖 multiplicado por menos 15 es 60𝑖. Y cuando multiplicamos los dos últimos términos, obtenemos menos 32𝑖 al cuadrado. Pero, por supuesto, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Por tanto, menos 32𝑖 al cuadrado es lo mismo que 32. Y vemos que el producto de 𝑧𝑤 es menos 13 más 84𝑖. Y esto significa que el módulo de su producto es la raíz cuadrada de menos 13 al cuadrado más 84 al cuadrado, que es 85.

Para comparar esto con el producto de los módulos que hemos calculado anteriormente, multiplicamos los dos módulos y obtenemos cinco multiplicado por 17, que también es 85. Así que podemos decir que el módulo de 𝑧𝑤 es igual al módulo de 𝑧 multiplicado por el módulo de 𝑤. Dejemos algo de espacio y vayamos a la tercera parte.

Calcula el módulo de 𝑧 dividido por 𝑤. ¿Cómo se compara esto con el módulo de 𝑧 dividido por el módulo de 𝑤?

Esta vez, necesitamos calcular 𝑧 dividido por 𝑤. Que es tres menos cuatro 𝑖 dividido por menos 15 más ocho 𝑖. Al igual que para racionalizar el denominador de una fracción que tiene un radical como parte del denominador, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador de esta fracción por el conjugado del denominador. Para hallar el conjugado, cambiamos el signo de la parte imaginaria. Así que el conjugado aquí es menos 15 menos ocho 𝑖. Y una vez más, multiplicamos normalmente.

En el numerador, tenemos menos 45 menos 24𝑖 más 60𝑖 más 32𝑖 al cuadrado, que se convierte en menos 32 porque 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y, simplificando, obtenemos menos 77 más 36𝑖 como nuestro numerador. En el denominador, obtenemos 225 más 120𝑖 menos 120𝑖 menos 64𝑖 al cuadrado, que es 289. El módulo es la raíz cuadrada de menos 77 sobre 289 al cuadrado más 36 sobre 289 al cuadrado. Y podemos simplificar esto sacando el factor común de 289 al cuadrado. Y al hacerlo, nos queda uno sobre 289 — porque tuvimos que hallar la raíz cuadrada — multiplicado por la raíz cuadrada de 5929 más 1296. Se convierta en 85 sobre 289. Lo que se simplifica a cinco diecisieteavos.

Y, si nos fijamos bien, nos daremos cuenta de que, si dividimos el módulo de 𝑧 por el módulo de 𝑤, obtendremos cinco diecisieteavos también. Y vemos que el módulo de 𝑧 dividido por el módulo de 𝑤 es lo mismo que el módulo de 𝑧 dividido por 𝑤.

Terminaremos discutiendo un breve ejemplo de cómo las propiedades que hemos visto pueden ayudarnos a resolver ecuaciones que involucran el módulo.

Si 𝑧 es igual a uno sobre el conjugado de 𝑧, en donde 𝑧 es un número complejo, ¿cuál es el módulo de 𝑧?

Para resolver esta ecuación, comenzaremos por hallar el módulo de ambos lados. Y sabemos que el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de sus respectivos módulos. El lado derecho de esta ecuación se convierte en el módulo de uno dividido por el módulo del conjugado de 𝑧. Pero sabemos que el módulo de uno es uno. Y también sabemos que el módulo de un número complejo 𝑧 es igual al módulo del complejo conjugado de 𝑧. Es decir, que el módulo de 𝑧 es igual a uno dividido por el módulo de 𝑧. Vamos a multiplicar ambos lados de esta ecuación por el módulo de 𝑧. Y después vamos a hallar la raíz cuadrada de ambos lados.

Normalmente hallaríamos la raíz cuadrada positiva y negativa. Pero el módulo representa una longitud y, por lo tanto, siempre debe ser positivo. Por tanto, podemos decir que el módulo de 𝑧 es igual a la raíz cuadrada de uno, que es simplemente uno.

En este video, hemos visto que podemos hallar el módulo de un número complejo calculando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y de la parte imaginaria de ese número. Y esto representa la distancia de 𝑧 al origen. Y hemos aprendido varias propiedades del módulo de 𝑧. Y, de hecho, vamos a mencionar una más. Y es que podemos extender a potencias la propiedad de la multiplicación y demostrar que el módulo de 𝑧 elevado a 𝑛 es igual al módulo de 𝑧 elevado a 𝑛.