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V铆deo de la lecci贸n: Tasa de variaci贸n media y tasa de variaci贸n instant谩nea Matemáticas • Educación superior

En este v铆deo vamos a aprender c贸mo calcular la tasa de variaci贸n media de una funci贸n entre dos valores de 饾懃, y c贸mo calcular la tasa de variaci贸n instant谩nea usando l铆mites.

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Transcripción del vídeo

En este v铆deo vamos a aprender c贸mo calcular la tasa de variaci贸n media entre dos valores de 饾懃 de una funci贸n, y c贸mo calcular la tasa de variaci贸n instant谩nea usando l铆mites. Adem谩s, vamos a ver c贸mo la tasa de variaci贸n media est谩 relacionada con la pendiente de una recta, lo cual usaremos para obtener una f贸rmula que nos ayudar谩 a calcular la tasa de variaci贸n media de una funci贸n, y seguidamente veremos las aplicaciones de esta f贸rmula. Decimos que la tasa de variaci贸n media de una funci贸n 饾憮 de 饾懃 en un intervalo entre dos puntos dados por 饾憥, 饾憮 de 饾憥 y 饾憦, 饾憮 de 饾憦 es la pendiente de la recta secante que conecta esos dos puntos.

Sabemos tambi茅n que la f贸rmula para calcular la pendiente de una recta viene dada por el cambio en 饾懄 dividido por el cambio en 饾懃. Bien, en este caso, el cambio en 饾懄 vendr铆a dado por la diferencia entre el valor de la funci贸n en 饾憦 y el valor de la funci贸n en 饾憥. Es decir, 饾憮 de 饾憦 menos 饾憮 de 饾憥, mientras que el cambio en 饾懃 es simplemente 饾憦 menos 饾憥. Por lo tanto, la pendiente de nuestra recta secante 鈥攜 la tasa de variaci贸n media de nuestra funci贸n鈥 est谩 dada por 饾憮 de 饾憦 menos 饾憮 de 饾憥 partido por 饾憦 menos 饾憥. Pero en realidad queremos definir el segundo punto, es decir, 饾憦, 饾憮 de 饾憦, en t茅rminos del primer punto.

Supongamos que la distancia horizontal entre estos dos puntos es 鈩. En ese caso, 饾憦 es igual a 饾憥 m谩s 鈩, y, por lo tanto, 饾憮 de 饾憦 es igual a 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩. La tasa de variaci贸n media se expresa ahora como 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥 partido por 鈩. La tasa de variaci贸n media de la funci贸n a veces se denomina 饾惔 de 鈩. Esta 煤ltima f贸rmula es la que vamos a ver principalmente en este v铆deo. Veamos pues c贸mo podemos aplicarla a un problema sencillo relacionado con la tasa de variaci贸n media.

Determina la funci贸n de tasa de variaci贸n media 饾惔 de 鈩 para 饾憮 de 饾懃 igual a cuatro 饾懃 al cuadrado m谩s tres 饾懃 m谩s dos, en 饾懃 igual a uno.

Como hemos visto, la tasa de variaci贸n media de una funci贸n 饾憮 de 饾懃 entre dos puntos definidos por 饾憥, 饾憮 de 饾憥 y 饾憥 m谩s 鈩, 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 es 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥, todo partido por 鈩. Vemos en esta cuesti贸n que 饾憮 de 饾懃 ya est谩 definida. Es cuatro 饾懃 al cuadrado m谩s tres 饾懃 m谩s dos. Queremos hallar la tasa de variaci贸n media para 饾憮 de 饾懃, en 饾懃 igual a uno. As铆 que hacemos 饾憥 igual a uno. No conocemos el valor de 鈩, pero no pasa nada. El problema nos pide que derivemos una funci贸n que nos permita calcular la tasa de variaci贸n media para cualquier valor de 鈩. Empecemos, pues, calculando qu茅 es 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩.

Hemos dicho que 饾憥 es igual a uno, as铆 que en realidad queremos hallar 饾憮 de uno m谩s 鈩. Volvemos a nuestra funci贸n 饾憮 de 饾懃, y cada vez que vemos una 饾懃, la sustituimos por uno m谩s 鈩. As铆 que 饾憮 de uno m谩s 鈩 es cuatro por uno m谩s 鈩 al cuadrado m谩s tres por uno m谩s 鈩 m谩s dos. Vamos a desarrollar los par茅ntesis. Uno m谩s 鈩 todo al cuadrado es uno m谩s dos 鈩 m谩s 鈩 al cuadrado, y tres por uno m谩s 鈩 es tres m谩s tres 鈩. Desarrollamos los par茅ntesis y obtenemos cuatro m谩s ocho 鈩 m谩s cuatro 鈩 al cuadrado. Por 煤ltimo, agrupamos los t茅rminos semejantes y obtenemos cuatro 鈩 al cuadrado m谩s 11鈩 m谩s nueve.

Ahora calculamos 饾憮 de 饾憥. Sabemos que es 饾憮 de uno. Este es un poco m谩s sencillo de calcular que 饾憮 de uno m谩s 鈩. Solo tenemos que sustituir 饾懃 por uno. Y obtenemos cuatro por uno al cuadrado m谩s tres por uno m谩s dos. Esto es igual a nueve. Ya estamos listos para sustituir todo en la f贸rmula de la tasa de variaci贸n media. Tenemos 饾憮 de uno m谩s 鈩 menos 饾憮 de uno, todo partido por 鈩. Nueve menos nueve es cero, y dividimos por 鈩. Podemos simplificar esto a cuatro 鈩 m谩s 11. De esta forma, obtenemos que la funci贸n de tasa de variaci贸n media 饾惔 de 鈩, para 饾憮 de 饾懃 igual a cuatro 饾懃 al cuadrado m谩s tres 饾懃 m谩s dos, en 饾懃 igual a uno, es cuatro 鈩 m谩s 11.

Bien, pero, 驴qu茅 significa esto en realidad? Volvamos a la gr谩fica. Si nos dan cualquier otro punto en la gr谩fica, esta funci贸n nos sirve para calcular la pendiente de la recta secante entre ese punto y el punto de abscisa 饾懃 igual a uno. Esto, al mismo tiempo, nos proporciona la tasa de variaci贸n media de la funci贸n. Ahora bien, en vez de usar esta f贸rmula, podemos usar la de la tasa de variaci贸n media para una funci贸n dada 饾憮 de 饾懃 que sabemos viene dada por 饾憮 de 饾懃 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾懃, todo partido por 鈩. Si hacemos esto, obtenemos una funci贸n que podemos usar para cualquier 饾懃 y 鈩. Veamos ahora un ejemplo en el que se nos pide calcular la tasa de variaci贸n media en un intervalo dado.

Calcula la tasa de variaci贸n media de 饾憮 de 饾懃 igual a ra铆z cuadrada de dos 饾懃 menos uno cuando 饾懃 var铆a de cinco a 5.62.

Recuerda que la tasa de variaci贸n media de una funci贸n 饾憮 de 饾懃 cuando var铆a de 饾懃 igual a 饾憥 a 饾懃 igual a 饾憥 m谩s 鈩 es 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥, todo partido por 鈩. En esta cuesti贸n se nos dice que 饾憮 de 饾懃 es la ra铆z cuadrada de dos 饾懃 menos uno, y que 饾懃 var铆a de cinco a 5.62. As铆 que hacemos 饾憥 igual a cinco, y 鈩 igual a la cantidad en la que 饾懃 var铆a. As铆 que es 5.62 menos cinco, que es 0.62. Una vez que hemos hallado todo esto, lo 煤nico que nos falta es sustituir cada valor en la f贸rmula. Queremos hallar 饾惔 de 鈩, que es 饾惔 de 0.62. Es la tasa de variaci贸n media de nuestra funci贸n cuando 饾懃 var铆a en 0.62. Y esto es igual a 饾憮 de cinco m谩s 0.62 menos 饾憮 de cinco, todo partido por 0.62. Y simplificamos esto a 饾憮 de 5.62 menos 饾憮 de cinco partido por 0.62.

Ahora tenemos que calcular 饾憮 de 5.62 y 饾憮 de cinco. Podemos hallar 饾憮 de 5.62 sustituyendo 饾懃 por 5.62. As铆 que es la ra铆z cuadrada de dos por 5.62 menos uno. Esa es la ra铆z cuadrada de 10.24, que es 3.2. 饾憮 de cinco es la ra铆z cuadrada de dos por cinco menos uno, que es la ra铆z cuadrada de nueve, que ya sabemos es tres. 饾惔 de 0.62 es, por lo tanto, 3.2 menos tres partido por 0.62, que es 10 sobre 31. Cuando 饾懃 var铆a de cinco a 5.62, la tasa de variaci贸n media de la funci贸n 饾憮 de 饾懃 igual a la ra铆z cuadrada de dos 饾懃 menos uno, es 10 sobre 31.

Lo bueno de esta f贸rmula es que funciona muy bien para situaciones de la vida real, sobre todo en f铆sica, por ejemplo para describir el movimiento. Podemos aplicar la f贸rmula a una funci贸n de desplazamiento para as铆 calcular la tasa de variaci贸n media del desplazamiento, por ejemplo, y obtener, de esta forma, la funci贸n de velocidad. Tambi茅n podemos usarla en problemas de geometr铆a, como vamos a ver a continuaci贸n.

Una l谩mina en forma de tri谩ngulo equil谩tero se expande conservando su forma. Calcula la tasa de variaci贸n media de su 谩rea cuando la longitud de sus lados var铆a de 12 cent铆metros a 14 cent铆metros.

En este problema nos piden calcular la tasa de variaci贸n media del 谩rea del tri谩ngulo equil谩tero. Para una funci贸n 饾憮 de 饾懃 que var铆a de 饾懃 igual a 饾憥 a 饾懃 igual a 饾憥 m谩s 鈩, la tasa de variaci贸n media viene dada por 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥 partido por 鈩. Pero, 驴qu茅 es 饾憮 de 饾懃 aqu铆? Recuerda que queremos calcular la tasa de variaci贸n del 谩rea. As铆 que necesitamos una funci贸n que describa el 谩rea del tri谩ngulo. Dibujemos pues el tri谩ngulo. Vamos a denotar la longitud de los lados como 饾懃 o 饾懃 cent铆metros. Esta es nuestra variable. Sabemos que el tri谩ngulo es equil谩tero, por lo que sus 谩ngulos interiores miden todos 60 grados. Por lo tanto, podemos usar la f贸rmula que dice que el 谩rea de un tri谩ngulo es un medio por 饾憥饾憦 por seno de 饾惗. As铆 que en este caso, la funci贸n del 谩rea es un medio por 饾懃 por 饾懃 por seno de 60.

Sabemos que seno de 60 grados es igual a la ra铆z cuadrada de tres partido por dos. Y esto se convierte en la ra铆z cuadrada de tres partido por cuatro por 饾懃 al cuadrado. El problema nos dice que la longitud del lado pasa de 12 cent铆metros a 14 cent铆metros. As铆 que hacemos 饾憥 igual a 12, y luego 鈩 es la cantidad por la que 饾懃 var铆a; es 14 menos 12, que es dos. Ahora ya podemos sustituir todos los datos que tenemos en la f贸rmula de la tasa de variaci贸n. Es 饾惔 de 鈩, as铆 que aqu铆 es 饾惔 de dos, y esto es igual a 饾憮 de 12 m谩s dos menos 饾憮 de 12 todo partido por dos. Simplificamos 饾憮 de 12 m谩s dos a 饾憮 de 14.

Ahora tenemos que calcular 饾憮 de 14 menos 饾憮 de 12. Es ra铆z cuadrada de tres partido entre cuatro por 14 al cuadrado menos ra铆z cuadrada de tres partido de cuatro por 12 al cuadrado. Estos valores se pueden calcular sustituyendo 饾懃 igual a 14 y 饾懃 igual a 12 en la funci贸n. Sacamos la ra铆z de tres sobre cuatro, la dividimos entre dos y obtenemos ra铆z de tres partido por ocho. 14 al cuadrado es 196 y 12 al cuadrado es 144. As铆 que esto se convierte en ra铆z de tres partido por ocho por 52. Seguidamente simplificamos dividiendo por cuatro para obtener 13 ra铆z de tres partido por dos. De esta forma, obtenemos que la tasa de variaci贸n media del 谩rea es 13 ra铆z de tres partido por dos. Y debemos decir que es 13 ra铆z de tres partido por dos cent铆metros cuadrados.

Veamos ahora el procedimiento contrario.

La tasa de variaci贸n media de 饾憮 cuando 饾懃 var铆a de dos a 2.6 es menos 1.67. Si 饾憮 de dos es menos 13, 驴cu谩nto es 饾憮 de 2.6?

Recuerda que la tasa de variaci贸n media de una funci贸n 饾憮 cuando 饾懃 var铆a de 饾憥 a 饾憥 m谩s 鈩 viene dada por 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥 sobre 鈩. Pero en esta cuesti贸n no sabemos qu茅 es 饾憮 de 饾懃. Pero s铆 vemos que 饾懃 var铆a de dos a 2.6. As铆 que hacemos 饾憥 igual a dos. Y 鈩 es la cantidad por la que 饾懃 var铆a. Es 2.6 menos dos, que es 0.6. Queremos calcular la tasa de variaci贸n media de la funci贸n, que es 饾惔 de 鈩, o sea, 饾惔 de 0.6. De esta forma, si aplicamos nuestra f贸rmula obtenemos que es 饾憮 de dos m谩s 0.6 menos 饾憮 de dos, todo sobre 0.6. Esto se simplifica a 饾憮 de 2.6 menos 饾憮 de dos partido por 0.6.

Pero se nos dice que esto es igual a menos 1.67, y que 饾憮 de dos es menos 13. As铆 que vemos que menos 1.67 debe ser igual a 饾憮 de 2.6 menos menos 13 partido por 0.6. Para calcular 饾憮 de 2.6, tal y como nos pide el problema, tenemos que resolver esta ecuaci贸n para 饾憮 de 2.6. Empezamos multiplicando ambos lados por 0.6. Y obtenemos 1.002 en la izquierda. Luego, a la derecha tenemos 饾憮 de 2.6 menos menos 13, que es 饾憮 de 2.6 m谩s 13. Seguidamente restamos 13 en ambos lados, y hallamos que 饾憮 de 2.6 es menos 14.002. Si redondeamos la respuesta al entero m谩s cercano, obtenemos que 饾憮 de 2.6 es menos 14.

Volvamos ahora a la gr谩fica del principio. Y pensemos en lo que sucede a medida que 鈩 se hace m谩s peque帽o. A medida que 鈩 disminuye, la pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la curva en el punto 饾憥, 饾憮 de 饾憥. Esto significa que, en vez de calcular la tasa de variaci贸n media en un intervalo dado, lo que estamos haciendo es calcular la tasa de variaci贸n en ese punto exacto. La llamamos tasa de variaci贸n instant谩nea de la funci贸n. Y como se calcula haciendo que 鈩 disminuya, la definimos como el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de la tasa de variaci贸n media. La tasa de variaci贸n instant谩nea de una funci贸n 饾憮 de 饾懃 en un punto 饾懃 igual a 饾憥 es el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥 todo partido por 鈩. Veamos c贸mo funciona esto.

Calcula la tasa de variaci贸n instant谩nea de 饾憮 de 饾懃 igual a la ra铆z cuadrada de 饾懃 en 饾懃 igual a 饾懃 uno, el cual es mayor que cero.

Como ya sabes, la tasa de variaci贸n instant谩nea de una funci贸n 饾憮 de 饾懃 en un punto 饾懃 igual a 饾憥 se calcula tomando el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de la tasa de variaci贸n media de la funci贸n. Ese es el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥 todo partido por 鈩. En este caso, sabemos que 饾憮 de 饾懃 es igual a la ra铆z cuadrada de 饾懃, y queremos calcular la tasa de variaci贸n instant谩nea en 饾懃 igual a 饾懃 uno. As铆 que hacemos 饾憥 igual a 饾懃 uno. Y sustituimos todo lo que sabemos en la f贸rmula. Queremos calcular el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de 饾憮 de 饾懃 uno m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾懃 uno todo partido por 鈩. Tenemos que hallar el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de la ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s 鈩 menos la ra铆z cuadrada de 饾懃 uno todo partido por 鈩.

No podemos calcular esto con el m茅todo de sustituci贸n directa. Si lo hacemos, acabamos dividiendo por cero, y sabemos que eso es indefinido. Por lo tanto, en vez de eso, multiplicamos el numerador y el denominador de la funci贸n por el conjugado del numerador, por la ra铆z cuadrada de 饾懃 m谩s uno m谩s 鈩 m谩s la ra铆z cuadrada de 饾懃 uno. En el denominador tenemos 鈩 por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s 鈩 m谩s ra铆z cuadrada de 饾懃 uno. Y en el numerador tenemos ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s 鈩 por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s 鈩, que es 饾懃 uno m谩s 鈩. Seguidamente multiplicamos la ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s 鈩 por la ra铆z cuadrada de 饾懃 uno, y menos ra铆z cuadrada de 饾懃 uno por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s 鈩. Calculamos la suma y obtenemos cero.

Ahora, lo 煤nico que nos queda por hacer es multiplicar menos ra铆z cuadrada de 饾懃 uno por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno. Y obtenemos menos 饾懃 uno. 饾懃 uno menos 饾懃 uno es cero. A continuaci贸n dividimos por 鈩. Y obtenemos el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de uno partido por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s 鈩 m谩s ra铆z cuadrada de 饾懃 uno. Ahora ya podemos calcular esto cuando 鈩 tiende a cero. Tenemos uno partido por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno m谩s ra铆z cuadrada de 饾懃 uno, que es uno partido entre dos por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno. La tasa de variaci贸n instant谩nea de la funci贸n 饾憮 de 饾懃 igual a la ra铆z cuadrada de 饾懃 es, por lo tanto, uno partido entre dos por ra铆z cuadrada de 饾懃 uno.

En este v铆deo hemos aprendido que la tasa de variaci贸n media de una funci贸n 饾憮 de 饾懃 en un intervalo determinado por dos puntos dados como 饾憥, 饾憮 de 饾憥 y 饾憥 m谩s 鈩, 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 es la pendiente de la recta secante que conecta esos dos puntos. Normalmente la denotamos como 饾惔 de 鈩, y viene dada por 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥, todo partido por 鈩. Adem谩s, hemos visto que la tasa de variaci贸n instant谩nea de una funci贸n se calcula haciendo que 鈩 tienda a cero. Es el l铆mite cuando 鈩 tiende a cero de 饾惔 de 鈩, o sea, de 饾憮 de 饾憥 m谩s 鈩 menos 饾憮 de 饾憥, todo partido por 鈩.

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