Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo calcular la tasa de variación media entre dos valores de 𝑥 de una función, y cómo calcular la tasa de variación instantánea usando límites. Además, vamos a ver cómo la tasa de variación media está relacionada con la pendiente de una recta, lo cual usaremos para obtener una fórmula que nos ayudará a calcular la tasa de variación media de una función, y seguidamente veremos las aplicaciones de esta fórmula. Decimos que la tasa de variación media de una función 𝑓 de 𝑥 en un intervalo entre dos puntos dados por 𝑎, 𝑓 de 𝑎 y 𝑏, 𝑓 de 𝑏 es la pendiente de la recta secante que conecta esos dos puntos.
Sabemos también que la fórmula para calcular la pendiente de una recta viene dada por el cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥. Bien, en este caso, el cambio en 𝑦 vendría dado por la diferencia entre el valor de la función en 𝑏 y el valor de la función en 𝑎. Es decir, 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎, mientras que el cambio en 𝑥 es simplemente 𝑏 menos 𝑎. Por lo tanto, la pendiente de nuestra recta secante —y la tasa de variación media de nuestra función— está dada por 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido por 𝑏 menos 𝑎. Pero en realidad queremos definir el segundo punto, es decir, 𝑏, 𝑓 de 𝑏, en términos del primer punto.
Supongamos que la distancia horizontal entre estos dos puntos es ℎ. En ese caso, 𝑏 es igual a 𝑎 más ℎ, y, por lo tanto, 𝑓 de 𝑏 es igual a 𝑓 de 𝑎 más ℎ. La tasa de variación media se expresa ahora como 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 partido por ℎ. La tasa de variación media de la función a veces se denomina 𝐴 de ℎ. Esta última fórmula es la que vamos a ver principalmente en este vídeo. Veamos pues cómo podemos aplicarla a un problema sencillo relacionado con la tasa de variación media.
Determina la función de tasa de variación media 𝐴 de ℎ para 𝑓 de 𝑥 igual a cuatro 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más dos, en 𝑥 igual a uno.
Como hemos visto, la tasa de variación media de una función 𝑓 de 𝑥 entre dos puntos definidos por 𝑎, 𝑓 de 𝑎 y 𝑎 más ℎ, 𝑓 de 𝑎 más ℎ es 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎, todo partido por ℎ. Vemos en esta cuestión que 𝑓 de 𝑥 ya está definida. Es cuatro 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más dos. Queremos hallar la tasa de variación media para 𝑓 de 𝑥, en 𝑥 igual a uno. Así que hacemos 𝑎 igual a uno. No conocemos el valor de ℎ, pero no pasa nada. El problema nos pide que derivemos una función que nos permita calcular la tasa de variación media para cualquier valor de ℎ. Empecemos, pues, calculando qué es 𝑓 de 𝑎 más ℎ.
Hemos dicho que 𝑎 es igual a uno, así que en realidad queremos hallar 𝑓 de uno más ℎ. Volvemos a nuestra función 𝑓 de 𝑥, y cada vez que vemos una 𝑥, la sustituimos por uno más ℎ. Así que 𝑓 de uno más ℎ es cuatro por uno más ℎ al cuadrado más tres por uno más ℎ más dos. Vamos a desarrollar los paréntesis. Uno más ℎ todo al cuadrado es uno más dos ℎ más ℎ al cuadrado, y tres por uno más ℎ es tres más tres ℎ. Desarrollamos los paréntesis y obtenemos cuatro más ocho ℎ más cuatro ℎ al cuadrado. Por último, agrupamos los términos semejantes y obtenemos cuatro ℎ al cuadrado más 11ℎ más nueve.
Ahora calculamos 𝑓 de 𝑎. Sabemos que es 𝑓 de uno. Este es un poco más sencillo de calcular que 𝑓 de uno más ℎ. Solo tenemos que sustituir 𝑥 por uno. Y obtenemos cuatro por uno al cuadrado más tres por uno más dos. Esto es igual a nueve. Ya estamos listos para sustituir todo en la fórmula de la tasa de variación media. Tenemos 𝑓 de uno más ℎ menos 𝑓 de uno, todo partido por ℎ. Nueve menos nueve es cero, y dividimos por ℎ. Podemos simplificar esto a cuatro ℎ más 11. De esta forma, obtenemos que la función de tasa de variación media 𝐴 de ℎ, para 𝑓 de 𝑥 igual a cuatro 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más dos, en 𝑥 igual a uno, es cuatro ℎ más 11.
Bien, pero, ¿qué significa esto en realidad? Volvamos a la gráfica. Si nos dan cualquier otro punto en la gráfica, esta función nos sirve para calcular la pendiente de la recta secante entre ese punto y el punto de abscisa 𝑥 igual a uno. Esto, al mismo tiempo, nos proporciona la tasa de variación media de la función. Ahora bien, en vez de usar esta fórmula, podemos usar la de la tasa de variación media para una función dada 𝑓 de 𝑥 que sabemos viene dada por 𝑓 de 𝑥 más ℎ menos 𝑓 de 𝑥, todo partido por ℎ. Si hacemos esto, obtenemos una función que podemos usar para cualquier 𝑥 y ℎ. Veamos ahora un ejemplo en el que se nos pide calcular la tasa de variación media en un intervalo dado.
Calcula la tasa de variación media de 𝑓 de 𝑥 igual a raíz cuadrada de dos 𝑥 menos uno cuando 𝑥 varía de cinco a 5.62.
Recuerda que la tasa de variación media de una función 𝑓 de 𝑥 cuando varía de 𝑥 igual a 𝑎 a 𝑥 igual a 𝑎 más ℎ es 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎, todo partido por ℎ. En esta cuestión se nos dice que 𝑓 de 𝑥 es la raíz cuadrada de dos 𝑥 menos uno, y que 𝑥 varía de cinco a 5.62. Así que hacemos 𝑎 igual a cinco, y ℎ igual a la cantidad en la que 𝑥 varía. Así que es 5.62 menos cinco, que es 0.62. Una vez que hemos hallado todo esto, lo único que nos falta es sustituir cada valor en la fórmula. Queremos hallar 𝐴 de ℎ, que es 𝐴 de 0.62. Es la tasa de variación media de nuestra función cuando 𝑥 varía en 0.62. Y esto es igual a 𝑓 de cinco más 0.62 menos 𝑓 de cinco, todo partido por 0.62. Y simplificamos esto a 𝑓 de 5.62 menos 𝑓 de cinco partido por 0.62.
Ahora tenemos que calcular 𝑓 de 5.62 y 𝑓 de cinco. Podemos hallar 𝑓 de 5.62 sustituyendo 𝑥 por 5.62. Así que es la raíz cuadrada de dos por 5.62 menos uno. Esa es la raíz cuadrada de 10.24, que es 3.2. 𝑓 de cinco es la raíz cuadrada de dos por cinco menos uno, que es la raíz cuadrada de nueve, que ya sabemos es tres. 𝐴 de 0.62 es, por lo tanto, 3.2 menos tres partido por 0.62, que es 10 sobre 31. Cuando 𝑥 varía de cinco a 5.62, la tasa de variación media de la función 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de dos 𝑥 menos uno, es 10 sobre 31.
Lo bueno de esta fórmula es que funciona muy bien para situaciones de la vida real, sobre todo en física, por ejemplo para describir el movimiento. Podemos aplicar la fórmula a una función de desplazamiento para así calcular la tasa de variación media del desplazamiento, por ejemplo, y obtener, de esta forma, la función de velocidad. También podemos usarla en problemas de geometría, como vamos a ver a continuación.
Una lámina en forma de triángulo equilátero se expande conservando su forma. Calcula la tasa de variación media de su área cuando la longitud de sus lados varía de 12 centímetros a 14 centímetros.
En este problema nos piden calcular la tasa de variación media del área del triángulo equilátero. Para una función 𝑓 de 𝑥 que varía de 𝑥 igual a 𝑎 a 𝑥 igual a 𝑎 más ℎ, la tasa de variación media viene dada por 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 partido por ℎ. Pero, ¿qué es 𝑓 de 𝑥 aquí? Recuerda que queremos calcular la tasa de variación del área. Así que necesitamos una función que describa el área del triángulo. Dibujemos pues el triángulo. Vamos a denotar la longitud de los lados como 𝑥 o 𝑥 centímetros. Esta es nuestra variable. Sabemos que el triángulo es equilátero, por lo que sus ángulos interiores miden todos 60 grados. Por lo tanto, podemos usar la fórmula que dice que el área de un triángulo es un medio por 𝑎𝑏 por seno de 𝐶. Así que en este caso, la función del área es un medio por 𝑥 por 𝑥 por seno de 60.
Sabemos que seno de 60 grados es igual a la raíz cuadrada de tres partido por dos. Y esto se convierte en la raíz cuadrada de tres partido por cuatro por 𝑥 al cuadrado. El problema nos dice que la longitud del lado pasa de 12 centímetros a 14 centímetros. Así que hacemos 𝑎 igual a 12, y luego ℎ es la cantidad por la que 𝑥 varía; es 14 menos 12, que es dos. Ahora ya podemos sustituir todos los datos que tenemos en la fórmula de la tasa de variación. Es 𝐴 de ℎ, así que aquí es 𝐴 de dos, y esto es igual a 𝑓 de 12 más dos menos 𝑓 de 12 todo partido por dos. Simplificamos 𝑓 de 12 más dos a 𝑓 de 14.
Ahora tenemos que calcular 𝑓 de 14 menos 𝑓 de 12. Es raíz cuadrada de tres partido entre cuatro por 14 al cuadrado menos raíz cuadrada de tres partido de cuatro por 12 al cuadrado. Estos valores se pueden calcular sustituyendo 𝑥 igual a 14 y 𝑥 igual a 12 en la función. Sacamos la raíz de tres sobre cuatro, la dividimos entre dos y obtenemos raíz de tres partido por ocho. 14 al cuadrado es 196 y 12 al cuadrado es 144. Así que esto se convierte en raíz de tres partido por ocho por 52. Seguidamente simplificamos dividiendo por cuatro para obtener 13 raíz de tres partido por dos. De esta forma, obtenemos que la tasa de variación media del área es 13 raíz de tres partido por dos. Y debemos decir que es 13 raíz de tres partido por dos centímetros cuadrados.
Veamos ahora el procedimiento contrario.
La tasa de variación media de 𝑓 cuando 𝑥 varía de dos a 2.6 es menos 1.67. Si 𝑓 de dos es menos 13, ¿cuánto es 𝑓 de 2.6?
Recuerda que la tasa de variación media de una función 𝑓 cuando 𝑥 varía de 𝑎 a 𝑎 más ℎ viene dada por 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ. Pero en esta cuestión no sabemos qué es 𝑓 de 𝑥. Pero sí vemos que 𝑥 varía de dos a 2.6. Así que hacemos 𝑎 igual a dos. Y ℎ es la cantidad por la que 𝑥 varía. Es 2.6 menos dos, que es 0.6. Queremos calcular la tasa de variación media de la función, que es 𝐴 de ℎ, o sea, 𝐴 de 0.6. De esta forma, si aplicamos nuestra fórmula obtenemos que es 𝑓 de dos más 0.6 menos 𝑓 de dos, todo sobre 0.6. Esto se simplifica a 𝑓 de 2.6 menos 𝑓 de dos partido por 0.6.
Pero se nos dice que esto es igual a menos 1.67, y que 𝑓 de dos es menos 13. Así que vemos que menos 1.67 debe ser igual a 𝑓 de 2.6 menos menos 13 partido por 0.6. Para calcular 𝑓 de 2.6, tal y como nos pide el problema, tenemos que resolver esta ecuación para 𝑓 de 2.6. Empezamos multiplicando ambos lados por 0.6. Y obtenemos 1.002 en la izquierda. Luego, a la derecha tenemos 𝑓 de 2.6 menos menos 13, que es 𝑓 de 2.6 más 13. Seguidamente restamos 13 en ambos lados, y hallamos que 𝑓 de 2.6 es menos 14.002. Si redondeamos la respuesta al entero más cercano, obtenemos que 𝑓 de 2.6 es menos 14.
Volvamos ahora a la gráfica del principio. Y pensemos en lo que sucede a medida que ℎ se hace más pequeño. A medida que ℎ disminuye, la pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la curva en el punto 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Esto significa que, en vez de calcular la tasa de variación media en un intervalo dado, lo que estamos haciendo es calcular la tasa de variación en ese punto exacto. La llamamos tasa de variación instantánea de la función. Y como se calcula haciendo que ℎ disminuya, la definimos como el límite cuando ℎ tiende a cero de la tasa de variación media. La tasa de variación instantánea de una función 𝑓 de 𝑥 en un punto 𝑥 igual a 𝑎 es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 todo partido por ℎ. Veamos cómo funciona esto.
Calcula la tasa de variación instantánea de 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 en 𝑥 igual a 𝑥 uno, el cual es mayor que cero.
Como ya sabes, la tasa de variación instantánea de una función 𝑓 de 𝑥 en un punto 𝑥 igual a 𝑎 se calcula tomando el límite cuando ℎ tiende a cero de la tasa de variación media de la función. Ese es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 todo partido por ℎ. En este caso, sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥, y queremos calcular la tasa de variación instantánea en 𝑥 igual a 𝑥 uno. Así que hacemos 𝑎 igual a 𝑥 uno. Y sustituimos todo lo que sabemos en la fórmula. Queremos calcular el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 uno más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 uno todo partido por ℎ. Tenemos que hallar el límite cuando ℎ tiende a cero de la raíz cuadrada de 𝑥 uno más ℎ menos la raíz cuadrada de 𝑥 uno todo partido por ℎ.
No podemos calcular esto con el método de sustitución directa. Si lo hacemos, acabamos dividiendo por cero, y sabemos que eso es indefinido. Por lo tanto, en vez de eso, multiplicamos el numerador y el denominador de la función por el conjugado del numerador, por la raíz cuadrada de 𝑥 más uno más ℎ más la raíz cuadrada de 𝑥 uno. En el denominador tenemos ℎ por raíz cuadrada de 𝑥 uno más ℎ más raíz cuadrada de 𝑥 uno. Y en el numerador tenemos raíz cuadrada de 𝑥 uno más ℎ por raíz cuadrada de 𝑥 uno más ℎ, que es 𝑥 uno más ℎ. Seguidamente multiplicamos la raíz cuadrada de 𝑥 uno más ℎ por la raíz cuadrada de 𝑥 uno, y menos raíz cuadrada de 𝑥 uno por raíz cuadrada de 𝑥 uno más ℎ. Calculamos la suma y obtenemos cero.
Ahora, lo único que nos queda por hacer es multiplicar menos raíz cuadrada de 𝑥 uno por raíz cuadrada de 𝑥 uno. Y obtenemos menos 𝑥 uno. 𝑥 uno menos 𝑥 uno es cero. A continuación dividimos por ℎ. Y obtenemos el límite cuando ℎ tiende a cero de uno partido por raíz cuadrada de 𝑥 uno más ℎ más raíz cuadrada de 𝑥 uno. Ahora ya podemos calcular esto cuando ℎ tiende a cero. Tenemos uno partido por raíz cuadrada de 𝑥 uno más raíz cuadrada de 𝑥 uno, que es uno partido entre dos por raíz cuadrada de 𝑥 uno. La tasa de variación instantánea de la función 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 es, por lo tanto, uno partido entre dos por raíz cuadrada de 𝑥 uno.
En este vídeo hemos aprendido que la tasa de variación media de una función 𝑓 de 𝑥 en un intervalo determinado por dos puntos dados como 𝑎, 𝑓 de 𝑎 y 𝑎 más ℎ, 𝑓 de 𝑎 más ℎ es la pendiente de la recta secante que conecta esos dos puntos. Normalmente la denotamos como 𝐴 de ℎ, y viene dada por 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎, todo partido por ℎ. Además, hemos visto que la tasa de variación instantánea de una función se calcula haciendo que ℎ tienda a cero. Es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝐴 de ℎ, o sea, de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎, todo partido por ℎ.
