Vídeo: El criterio de d’Alembert o criterio del cociente

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar si una serie es convergente o divergente aplicando el criterio de d’Alembert o criterio del cociente.

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Transcripción del vídeo

El criterio de d’Alembert

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar el carácter de una serie, esto es, si es convergente o divergente, aplicando el criterio de d’Alembert o criterio del cociente. Y veremos varios ejemplos del funcionamiento de este criterio. Vamos a comenzar considerando la siguiente serie.

Esta serie puede representar cualquier serie. Vamos a definir el límite de la razón de los términos consecutivos de esta serie de la siguiente manera. Decimos que este límite es igual a 𝐿 y que 𝐿 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. Este límite es fundamental a la hora de formular el criterio de d’Alembert. Si tenemos una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, y 𝐿 es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛, este criterio nos dice. En primer lugar que, si 𝐿 es menor que uno, la serie es absolutamente convergente. En segundo lugar que, si 𝐿 es mayor que uno, la serie es divergente. Y, en tercer lugar, que, si 𝐿 es igual a uno, el criterio del cociente no es concluyente, es decir, no nos muestra el carácter de la serie.

Observa que, si la condición número uno se satisface y 𝐿 es menor que uno, lo que queremos decir al afirmar que la serie es absolutamente convergente es que tanto la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 como la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 convergen. Esto es distinto de la convergencia condicional, que implica que solo la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 converge. De esta forma vemos que la convergencia que vamos a estudiar en este vídeo, la convergencia absoluta, es un tipo más fuerte de convergencia. Fíjate en que, si se cumple la condición número tres, esto es, si 𝐿 es igual a uno, y decimos que el criterio del cociente no es concluyente, esto significa que la serie puede ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. En ese caso, debemos aplicar otro criterio de convergencia para determinar su carácter.

Veamos un ejemplo de aplicación del criterio del cociente.

Considera la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo sobre tres 𝑛 factorial. Determina si la serie converge o diverge.

Vamos a aplicar el criterio del cociente de d’Alembert para determinar si la serie es convergente o divergente. Para una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, y 𝐿 siendo igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛, este criterio nos dice, primero, que si 𝐿 es menor que uno, entonces la serie es absolutamente convergente. Segundo que, si 𝐿 es mayor que uno, la serie es divergente. Y, por último, que si 𝐿 es igual a uno, entonces el criterio del cociente de d’Alembert no es concluyente, no nos sirve. En nuestro caso tenemos que 𝑎 𝑛 es igual a 𝑛 al cubo sobre tres 𝑛 factorial. Y está claro que este término tres 𝑛 factorial en el denominador es lo mismo que tres por 𝑛 factorial. Así que el símbolo factorial afecta solo a la 𝑛 y no al tres.

Ahora vamos a ver a qué equivale 𝑎 𝑛 más uno. Para ello sustituimos la 𝑛 en el término 𝑎 𝑛 por 𝑛 más uno. Y obtenemos que 𝑎 𝑛 más uno es igual a 𝑛 más uno al cubo sobre tres por 𝑛 más uno factorial. Muy bien, ya podemos hallar 𝐿. Tenemos que 𝐿 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. Sustituimos 𝑎 𝑛 más uno y uno sobre 𝑎 𝑛. Ahora simplificamos.

Primero cancelamos el factor tres. A continuación reescribimos 𝑛 más uno factorial como 𝑛 más uno por 𝑛 factorial. De esta forma podemos escribir nuestro límite como el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 más uno al cubo por 𝑛 factorial sobre 𝑛 más uno por 𝑛 factorial por 𝑛 al cubo. Así que cancelamos el término 𝑛 factorial en el numerador y en el denominador. También podemos cancelar un factor 𝑛 más uno en el denominador con uno de los factores 𝑛 más uno en el numerador. Por lo tanto, obtenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 más uno al cuadrado sobre 𝑛 al cubo.

Ahora desarrollamos el paréntesis que está elevado al cuadrado en el numerador. Como puedes ver aquí, el mayor exponente de 𝑛 en el numerador es 𝑛 al cuadrado y el mayor exponente de 𝑛 en el denominador es 𝑛 al cubo. Como estamos calculando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ y el mayor exponente de 𝑛 en el denominador es mayor que el mayor exponente de 𝑛 en el numerador, deducimos que este límite será igual a cero. Lo que hemos hallado es que el valor de 𝐿 para esta serie es cero y cero es menor que uno. Por lo tanto, si nos fijamos en las condiciones del criterio de d’Alembert, vemos que hemos probado la primera condición. Y, por lo tanto, hemos hallado la solución al problema, que es que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo sobre tres 𝑛 factorial es absolutamente convergente.

Veamos un segundo ejemplo.

Verdadero o falso: la serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 al cuadrado más uno es convergente por el criterio del cociente de d’Alembert.

Para comprobar esta afirmación, debemos aplicar el criterio del cociente a esta serie. El criterio de d’Alembert dice que, para la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, y 𝐿 definido como el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. En primer lugar que, si 𝐿 es menor que uno, la serie converge absolutamente. En segundo lugar que, si 𝐿 es mayor que uno, la serie diverge. Y, en tercer lugar que, si 𝐿 es igual a uno, entonces este criterio no es concluyente.

En esta serie tenemos que 𝑎 𝑛 es igual a uno sobre 𝑛 al cuadrado más uno. Por lo tanto, 𝑎 𝑛 más uno es igual a uno sobre 𝑛 más uno al cuadrado más uno, que, una vez hemos desarrollado el paréntesis, es uno sobre 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más dos. Muy bien, ya podemos hallar 𝐿. Tenemos que 𝐿 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. Sustituimos las expresiones de 𝑎 𝑛 y 𝑎 𝑛 más uno y obtenemos que este límite es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 al cuadrado más uno sobre 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más dos.

Ahora dividimos el numerador y el denominador de la fracción por 𝑛 al cuadrado. Hacemos esto porque queremos hallar el límite en el infinito de una función racional. Y 𝑛 al cuadrado es la potencia de mayor exponente que tenemos en la fracción. Así que tenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de uno más uno sobre 𝑛 al cuadrado todo partido por uno más dos sobre 𝑛 más dos sobre 𝑛 al cuadrado. A continuación usamos la propiedad de los límites que dice que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre 𝑛 es igual a cero. Por consiguiente, cualquier término dentro de nuestro límite que sea uno sobre 𝑛 o uno sobre 𝑛 al cuadrado, tenderá a cero cuando 𝑛 tiende a ∞.

De esta forma nuestro límite se convierte en el valor absoluto de uno más cero sobre uno más cero más cero. Esto es igual a uno. Hemos hallado que 𝐿 es igual a uno. Si nos fijamos en el criterio de d’Alembert, vemos que se satisface la tercera condición. Así que el criterio de d’Alembert no es concluyente. No nos dice si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. Así que la afirmación es falsa.

En el siguiente ejemplo vamos a aprender cómo aplicar el criterio de d’Alembert para comprobar la convergencia de una serie que contiene constantes desconocidas.

Considera la serie sumatorio desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛, donde 𝑎 𝑛 es igual a 𝑏 elevado a 𝑛 sobre 𝑛 más 𝑐 factorial para enteros 𝑏 y 𝑐, los cuales son ambos mayores que uno. Primero, calcula el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. Segundo, determina si la serie es convergente o divergente.

En primer lugar se nos pide que hallemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. El problema nos da el valor de 𝑎 𝑛, que es igual a 𝑏 elevado a 𝑛 sobre 𝑛 más 𝑐 factorial. Así que podemos decir que 𝑎 𝑛 más uno es igual a 𝑏 elevado a 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝑐 factorial. Sustituimos 𝑎 𝑛 y 𝑎 𝑛 más uno en nuestro límite. Y obtenemos que nuestro límite es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 más uno. Eso es 𝑏 elevado a 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝑐 factorial por uno sobre 𝑎 𝑛. Que es 𝑛 más 𝑐 factorial sobre 𝑏 elevado a 𝑛.

Enseguida nos damos cuenta de que podemos cancelar algunos términos aquí. Tenemos el término 𝑏 elevado a 𝑛 más uno en el numerador de la fracción de la izquierda. Así que lo cancelamos con el término 𝑏 elevado a 𝑛 en el denominador de la fracción de la derecha. Al hacerlo, nos queda 𝑏 en el numerador de la fracción de la izquierda. Ahora reescribimos 𝑛 más uno más 𝑐 factorial. 𝑛 más uno más 𝑐 factorial es igual a 𝑛 más 𝑐 más uno factorial. Que es igual a 𝑛 más 𝑐 más uno por 𝑛 más 𝑐 factorial. Vamos a sustituir esto en la fracción de nuestro límite.

Tenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑏 por 𝑛 más 𝑐 factorial sobre 𝑛 más 𝑐 más uno por 𝑛 más 𝑐 factorial. Estos factores 𝑛 más 𝑐 factorial en el numerador y en el denominador se cancelan. Y obtenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑏 sobre 𝑛 más 𝑐 más uno. Estamos calculando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞. Todos los demás términos de la fracción son constantes. Como 𝑛 aparece solo en el denominador de la fracción, el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de esta fracción será igual a cero. Esto se debe a que a medida que 𝑛 aumenta y tiende a ∞, la fracción que tiene una 𝑛 en el denominador se aproximará cada vez más a cero. Así que diremos que este límite es igual a cero. Como hemos hallado el valor del límite, hemos resuelto la primera parte del enunciado. Hagamos ahora la segunda parte.

Para resolver la segunda parte del problema vamos a hacer uso de la solución que hemos obtenido en la primera parte para determinar si la serie es convergente o divergente. Como en la primera parte hemos calculado el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛, ahora debemos aplicar el criterio del cociente. Para una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, y con 𝐿 igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛, el criterio del cociente dice en primer lugar que, si 𝐿 es menor que uno, la serie es absolutamente convergente. En segundo lugar que, si 𝐿 es mayor que uno, la serie es divergente. Y, en tercer lugar que, si 𝐿 es igual a uno, el criterio del cociente no es concluyente.

Probablemente, lo primero en lo que nos fijamos es en que el criterio del cociente se aplica a series de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞. Sin embargo, nuestra serie va desde 𝑛 igual a cero hasta ∞. No te preocupes, no importa. Podemos seguir aplicando el criterio de d’Alembert. Esto se debe a que la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a 𝑎 cero más la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛. Así que podemos aplicar el criterio del cociente a la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛. En nuestro caso 𝑎 cero es igual a uno sobre 𝑐 factorial, donde 𝑐 es un número entero mayor que uno. Así que deducimos que 𝑎 cero es una constante. Por lo tanto, el resultado del criterio del cociente de d’Alembert en la serie desde 𝑛 igual a uno también puede aplicarse a la serie desde 𝑛 igual a cero.

Vamos a aplicar el criterio de d’Alembert. En la primera parte hallamos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛 es igual a cero. Así que 𝐿 es igual a cero. Y cero es menor que uno. De esta forma hemos probado que se cumple la primera parte del criterio del cociente. Y el criterio de d’Alembert dice que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 converge absolutamente. También sabemos que 𝑎 cero es finito. Así que concluimos que la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es absolutamente convergente.

Veamos un último ejemplo.

Considera la serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por dos 𝑛 factorial partido entre tres elevado a tres 𝑛. Determina si la serie converge o diverge.

Vamos a averiguar si esta serie es convergente o divergente aplicando el criterio del cociente. Para una serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, y 𝐿 siendo igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛, este criterio dice en primer lugar que, si 𝐿 es menor que uno, la serie converge absolutamente. En segundo lugar que, si 𝐿 es mayor que uno, entonces la serie diverge. Y, en tercer lugar que, si 𝐿 es igual a uno, el criterio del cociente no es concluyente.

Si observamos la serie que se nos ha dado en el problema, podemos ver que 𝑎 𝑛 es igual a menos uno elevado a 𝑛 por dos 𝑛 factorial sobre tres elevado a tres 𝑛. De esta forma obtenemos que 𝑎 𝑛 más uno es igual a menos uno elevado a 𝑛 más uno por dos por 𝑛 más uno factorial sobre tres elevado a tres por 𝑛 más uno. Esto puede reescribirse como menos uno elevado a 𝑛 más uno por dos 𝑛 más dos factorial sobre tres elevado a tres 𝑛 más tres.

Podemos hallar el valor de 𝐿 tomando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. Sustituimos las expresiones de 𝑎 𝑛 más uno y 𝑎 𝑛, y obtenemos que 𝐿 es igual a esto. Vamos a cancelar algunos términos. Cancelamos un factor de menos uno elevado a 𝑛 y nos quedamos con menos uno en el numerador. Y cancelamos un factor de tres elevado a tres 𝑛 para obtener tres al cubo en el denominador. Ahora tenemos que 𝐿 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de menos uno por dos 𝑛 más dos factorial sobre tres al cubo por dos 𝑛 factorial.

En primer lugar, como este es un valor absoluto, nos deshacemos del término menos uno. Y sacamos dos de los términos de dos 𝑛 más dos factorial. Reescribimos dos 𝑛 más dos factorial como dos 𝑛 más dos por dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 factorial. Sustituimos esto en el numerador de nuestro límite y vemos que podemos cancelar un factor de dos 𝑛 factorial en la parte de arriba y en la parte de abajo. De esta forma obtenemos que 𝐿 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de dos 𝑛 más dos por dos 𝑛 más uno sobre tres al cubo.

Aquí, las 𝑛 solo aparecen en el numerador del límite. Por lo tanto, a medida que 𝑛 aumenta, el numerador de la fracción también aumentará. Así que diremos que este límite es igual a ∞. Hemos hallado que 𝐿 es igual a ∞, que es claramente mayor que uno. Hemos obtenido, pues, la segunda parte del criterio del cociente, lo que nos da la solución al problema. Que es que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por dos 𝑛 factorial sobre tres elevado a tres 𝑛 diverge.

Hemos visto varios ejemplos de aplicación del criterio de d’Alembert para determinar si una serie converge absolutamente o diverge. También hemos visto cómo, en ocasiones, el criterio del cociente no nos sirve para determinar la convergencia o divergencia de una serie. Vamos a repasar algunos puntos clave del vídeo.

Puntos clave

El criterio del cociente de d’Alembert: supongamos que tenemos una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛. Hacemos 𝐿 igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛. En primer lugar, si 𝐿 es menor que uno, la serie converge absolutamente. En segundo lugar, si 𝐿 es mayor que uno, la serie diverge. Y en tercer lugar, si 𝐿 es igual a uno, el criterio del cociente no es concluyente. Si el criterio de d’Alembert no es concluyente, debemos aplicar otro criterio de convergencia para averiguar si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente, o divergente.

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