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Vídeo de la lección: Ecuaciones logarítmicas con una sola base Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver una ecuación que tiene logaritmos con la misma base aplicando las propiedades de las potencias y de los logaritmos.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver una ecuación que tiene logaritmos con la misma base aplicando las propiedades de las potencias y de los logaritmos. Pero antes de nada vamos a repasar cómo funcionan los logaritmos. Esta es la forma general de una ecuación logarítmica, y está compuesta de varios elementos. Tenemos el símbolo «log», que significa «logaritmo». Y decimos que el logaritmo en base 𝑏 de un valor 𝑥 es igual a 𝑘. La ecuación logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 igual a 𝑘 es matemáticamente equivalente a la ecuación 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑘. Hallar el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 es lo mismo que preguntar qué exponente de 𝑏 es igual a 𝑥, que vemos que aquí es 𝑘. Si 𝑏 elevado a 𝑘 es igual a 𝑥, entonces el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 es igual a 𝑘.

Para poder resolver cuestiones en las que hay más de un logaritmo, pero donde estos tienen todos la misma base, vamos a tener que repasar algunas propiedades de los logaritmos. Empecemos con la regla del producto. Si tenemos un logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 por 𝑦, podemos reescribirlo como la suma del logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 y el logaritmo en base 𝑏 de 𝑦.

La regla del cociente es parecida. En este caso, si tenemos el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 dividido por 𝑦, podemos expresarlo como la resta del logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 y el logaritmo en base 𝑏 de 𝑦. A continuación está la regla de la potencia. Si tenemos el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝, podemos reescribirlo como 𝑝 multiplicado por el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥. Seguidamente tenemos el logaritmo de la base. Esto es el logaritmo en base 𝑏 de 𝑏, y es igual a uno.

Recuerda que hallar el logaritmo equivale a preguntar a qué exponente ha de elevarse 𝑏 para obtener 𝑏. 𝑏 elevado a uno es 𝑏. Así que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑏 es igual a uno. Y la última propiedad que va a sernos realmente útil cuando operemos con logaritmos con la misma base es esta. Si el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑦, entonces 𝑥 es igual a 𝑦.

Veamos un ejemplo en el que hay que operar con logaritmos que tienen la misma base.

Halla 𝑥 de modo que el logaritmo en base seis de 𝑥 más el logaritmo en base seis de tres sea igual a tres.

Lo primero que vemos aquí es que tenemos dos logaritmos con una base de seis. Cuando trabajamos con problemas como este, lo primero que hacemos es simplificar la ecuación aplicando las propiedades de los logaritmos. En esta ecuación estamos sumando dos logaritmos que tienen la misma base, por lo que nos acordamos de la regla del producto, que dice que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 más el logaritmo en base 𝑏 de 𝑦 es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 por 𝑦. Esto significa que podemos combinar estos dos logaritmos multiplicando los valores que están dentro del logaritmo. De esta forma, obtenemos el logaritmo en base seis de tres por 𝑥, de tres 𝑥, de modo que el logaritmo en base seis de tres 𝑥 es igual a tres.

En este punto ya no podemos simplificar más. Así que vamos a reescribir el logaritmo en forma exponencial. Recordemos que, si el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 es igual a 𝑘, entonces 𝑥 es igual a 𝑏 elevado a 𝑘. La base 𝑏 se convierte en la base de la ecuación exponencial. El tres es el exponente, que está igualado al valor que tomamos del logaritmo. Como seis al cubo es 216, tenemos tres 𝑥 igual a 216. Seguidamente dividimos ambos lados de la ecuación por tres, y obtenemos que 𝑥 es igual a 72.

El procedimiento que hemos seguido aquí ha sido simplificar y luego reescribir la ecuación en forma exponencial. Como ves, ha sido un problema muy sencillo. Pero cuando hacemos problemas como este, verás que pasaremos una gran parte del tiempo simplificando y reorganizando.

Veamos algunos ejemplos en los que aplicaremos estas técnicas.

Sabiendo que el logaritmo en base 12 de 𝑣 más tres es igual a uno, halla el valor de 𝑣.

Vamos a enfocar este problema de dos maneras. La primera consiste en reescribir este logaritmo en forma exponencial. Si tenemos que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 es igual a 𝑘, podemos reescribir esta ecuación como 𝑏 elevado a 𝑘 igual a 𝑥. En este caso, eso es 12 elevado a uno igual a 𝑣 más tres. 12 elevado a uno es 12. Seguidamente restamos tres de ambos lados de la ecuación. Y obtenemos que nueve es igual a 𝑣 o, como se escribe normalmente, 𝑣 es igual a nueve.

Pero, ¿hay otra manera de enfocar este problema? Bueno, si tenemos que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑏 es igual a uno, podemos reescribir uno en la forma logaritmo en base 12 de 12, pues el logaritmo en base 12 de 12 es igual a uno. Y como estamos operando con dos logaritmos que tienen la misma base y forman una igualdad, podemos decir que 𝑣 más tres es igual a 12. Restamos tres de ambos lados de nuevo, y obtenemos que 𝑣 es igual a nueve. Como puedes ver, ambas formas de reorganizar la ecuación son perfectamente válidas para despejar 𝑣.

Veamos otro ejemplo.

Determina el conjunto de soluciones de la ecuación logaritmo en base ocho de 𝑥 menos seis más logaritmo en base ocho de 𝑥 más seis igual a logaritmo en base ocho de 64 para todos los números reales.

Si nos fijamos en la ecuación que nos han dado, podemos ver que se están sumando dos logaritmos que tienen la misma base, lo que significa que podemos utilizar la regla del producto, que dice que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 más el logaritmo en base 𝑏 de 𝑦 es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 por 𝑦. Pero hay que tener mucho cuidado aquí. En estos logaritmos, el valor de 𝑥, el argumento del primer logaritmo, es 𝑥 menos seis, y el valor de 𝑦, el argumento del segundo logaritmo, es 𝑥 más seis. Esto quiere decir que vamos a obtener el logaritmo en base ocho de 𝑥 menos seis por 𝑥 más seis, que es igual al logaritmo en base ocho de 64.

Para asegurarnos de que estamos operando correctamente con lo que está dentro del logaritmo, vamos a usar el método PEIÚ. O, de otro modo, podemos darnos cuenta de que esta es una diferencia de cuadrados. O sea, tenemos una identidad del tipo 𝑥 más 𝑎 por 𝑥 menos 𝑎 igual a 𝑥 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado. En nuestro caso, esto es 𝑥 al cuadrado menos seis al cuadrado, que es 36. Hemos obtenido, pues, que el logaritmo en base ocho de 𝑥 al cuadrado menos 36 es igual al logaritmo en base ocho de 64. Y una vez que tenemos un solo logaritmo a cada lado del signo igual, y sabiendo que tienen la misma base, podemos decir que 𝑥 al cuadrado menos 36 es igual a 64.

Para resolver esta ecuación sumamos 36 a ambos lados. Y vemos que 𝑥 al cuadrado es igual a 100. Si aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, obtenemos 𝑥 igual a más o menos 10. Pero aquí conviene hacer algunas comprobaciones. Como el valor de 𝑥 está dentro de un logaritmo, y sabemos que no podemos calcular el logaritmo de un número negativo, si sustituyéramos menos 10 por 𝑥, estaríamos tratando de hallar el logaritmo de un número negativo, y esto no es posible. Por lo tanto, 𝑥 no puede ser igual a menos 10. En cambio, si sustituimos el valor más 10, estamos calculando el logaritmo de valores positivos. Así que el único valor posible de 𝑥 es 10. El conjunto de las soluciones es, por tanto, 10.

En el siguiente ejemplo, vamos a considerar una ecuación en la que hay logaritmos con raíces cuadradas.

Halla el conjunto solución del logaritmo en base ocho de la raíz cuadrada de nueve 𝑥 menos 26 más el logaritmo en base ocho de la raíz cuadrada de 𝑥 más uno igual al logaritmo en base ocho de 128 menos dos, en el conjunto de los números reales.

Si nos fijamos en la ecuación, vemos que hay tres términos que son logaritmos en base ocho. Pero uno de los términos es una constante. Así que vamos a considerar primero el lado derecho de la ecuación, el que tiene la constante. Tenemos varias opciones de resolver esto, pero en este caso vamos a tener que tirar de ingenio.

Una forma de resolver esto es expresar dos como logaritmo en base ocho. Para hacerlo, recordamos el hecho de que logaritmo en base 𝑏 de 𝑏 es uno. Y eso significa que podemos reescribir la constante dos como dos multiplicado por logaritmo en base ocho de ocho. Eso sería dos por uno. También recordamos que, si tenemos una constante multiplicada por un logaritmo en base 𝑏 de 𝑥, eso es lo mismo que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝. Esto significa que la constante dos puede reescribirse como logaritmo en base ocho de ocho al cuadrado, que de hecho nos viene de perlas. Así que vamos a bajar este logaritmo en base ocho de 128.

Ahora, si tenemos logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 menos logaritmo en base 𝑏 de 𝑦, podemos reescribir esto como 𝑏 de 𝑥 dividido por 𝑦. Y esto significa que podemos reescribir el logaritmo en base ocho de 128 menos el logaritmo en base ocho de ocho al cuadrado como el logaritmo en base ocho de 128 partido por ocho al cuadrado. Ocho al cuadrado es 64. 128 entre 64 es dos, de forma que hemos simplificado el logaritmo en base ocho de 128 menos dos al logaritmo en base ocho de dos.

Ahora vamos a considerar el miembro izquierdo de la ecuación. Ambos términos son logaritmo en base ocho. Pero estamos calculando el logaritmo de la raíz cuadrada de ambos. Así que nos facilitará mucho las cosas reescribir las raíces cuadradas como potencias de exponente un medio. Una vez que lo hacemos, podemos bajar el exponente de un medio, de modo que ahora tenemos un medio por el logaritmo en base ocho de nueve 𝑥 menos 26 más un medio por el logaritmo en base ocho de 𝑥 más uno. Y como un medio es un factor de ambos términos, podemos extraerlo.

Ahora, dentro de estos corchetes, tenemos dos logaritmos con la misma base que se están sumando. Y eso significa que podemos usar la regla que dice que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 más el logaritmo en base 𝑏 de 𝑦 es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 por 𝑦. De esta forma, tenemos logaritmo en base ocho de nueve 𝑥 menos 26 por 𝑥 más uno. Desarrollamos y obtenemos nueve 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 menos 26𝑥 menos 26. Nueve 𝑥 menos 26𝑥 es menos 17𝑥.

Ahora ya tenemos una expresión mucho más sencilla con la que podemos operar. Pero no está del todo en la forma que queremos, pues aún tenemos este término de un medio. Así que vamos a poner este un medio como exponente otra vez. Hemos obtenido, pues, el logaritmo en base ocho de nueve 𝑥 al cuadrado menos 17𝑥 menos 26 elevado a un medio. Enseguida entenderás por qué nos conviene hacer esto. De esta forma, ahora tenemos el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑦, y sabemos que esto implica que 𝑥 es igual a 𝑦, lo que significa que nueve 𝑥 al cuadrado menos 17𝑥 menos 26 elevado a un medio es igual a dos.

Podemos deshacernos del exponente de un medio elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, y obtenemos nueve 𝑥 al cuadrado menos 17𝑥 menos 26 igual a cuatro. Si restamos cuatro de ambos lados, obtenemos la ecuación de segundo grado nueve 𝑥 al cuadrado menos 17𝑥 menos 30 igual a cero. Y podemos descomponerla en factores para calcular 𝑥.

Ahora no estamos aplicando ninguna propiedad de los logaritmos. Solo estamos factorizando para resolver una ecuación cuadrática. Así que vamos a hallar los términos que se multiplican. Los términos más 10 y menos 3 que se están multiplicando dan como resultado menos 30. Y menos 27 más 10 es menos 17. Igualamos ambos factores a cero, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos diez novenos o que 𝑥 es igual a tres.

No obstante, por las propiedades de los logaritmos sabemos que no podemos calcular el logaritmo de un número negativo. Si tratamos de sustituir menos diez novenos en nueve 𝑥 menos 26, obtendremos un valor negativo. Por lo que menos diez novenos no es una solución válida de 𝑥. Si usamos el mismo método y sustituimos el valor tres, vemos que nueve por tres menos 26 es positivo. Y si sustituimos tres en 𝑥 más uno, también obtenemos un valor positivo. El conjunto solución de 𝑥 es, por lo tanto, tres.

En el último ejemplo vamos a resolver una ecuación logarítmica donde la incógnita es la base del logaritmo.

Halla el conjunto de soluciones de logaritmo en base 𝑥 de cinco más logaritmo en base 𝑥 de 40 menos dos por logaritmo en base 𝑥 de cuatro igual a dos más logaritmo en base 𝑥 de ocho, en el conjunto de los números reales.

En primer lugar, vamos a escribir la ecuación. Y aunque podemos hacer uso de varias técnicas, vamos a empezar a operar de izquierda a derecha. Así que tenemos el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 más el logaritmo en base 𝑏 de 𝑦, que es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 por 𝑦, lo que significa que podemos combinar los dos primeros términos para obtener logaritmo en base 𝑥 de cinco por 40, o sea, logaritmo en base 𝑥 de 200. Y ahora bajamos el resto de la ecuación.

No necesitamos hacer mucho para poder combinar el logaritmo en base 𝑥 de 200 y dos por el logaritmo en base 𝑥 de cuatro. Podemos aplicar la propiedad que dice que 𝑝 por el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝, lo que significa que dos por el logaritmo en base 𝑥 de cuatro es igual al logaritmo en base 𝑥 de cuatro al cuadrado. Y estamos restando dos logaritmos que tienen la misma base. Sabemos que cuando ese es el caso, dividimos sus argumentos. El logaritmo en base 𝑥 de 200 menos el logaritmo en base 𝑥 de cuatro al cuadrado es igual al logaritmo en base 𝑥 de 200 partido por 16.

Parece que ya hemos terminado con el lado izquierdo de la ecuación. Así que ahora vamos a pasar este logaritmo en base 𝑥 de ocho al lado izquierdo de la ecuación restando logaritmo en base 𝑥 de ocho de ambos lados. De esta forma obtenemos logaritmo en base 𝑥 de 200 partido por 16 menos logaritmo en base 𝑥 de ocho. Hacemos uso de la propiedad del cociente de nuevo, de modo que tenemos logaritmo en base 𝑥 de 200 partido entre 16 dividido por ocho. Sabemos que dividir entre ocho es lo mismo que multiplicar por un octavo. Y al efectuar esta simplificación, obtenemos logaritmo en base 𝑥 de 25 partido por 16 igual a dos.

Ahora queremos pasar esto de forma logarítmica a forma exponencial. Si tenemos logaritmo en base 𝑏 de 𝑥 igual a 𝑘, podemos reescribirlo como 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑘. Así que tenemos 25 partido por 16 igual a 𝑥 al cuadrado. Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, y obtenemos que 𝑥 es igual a más o menos cinco cuartos, pues la raíz cuadrada de 25 es cinco y la raíz cuadrada de 16 es cuatro. Pero como estamos buscamos los valores que están en el conjunto de los números reales, 𝑥 no puede ser menos cinco partido por cuatro. No podemos utilizar una base negativa aquí, pues obtendríamos una solución imaginaria. Así que 𝑥 solo puede valer cinco cuartos, por lo que el conjunto de soluciones es cinco cuartos.

Antes de finalizar vamos a repasar los puntos clave que hemos aprendido en este vídeo. Hemos visto que, para resolver una ecuación en la que todos los logaritmos tienen la misma base, hay que reorganizar y simplificar la ecuación aplicando las propiedades de los logaritmos. Y esto suele bastar para obtener las soluciones. A veces también conviene pasar, en algún punto, la ecuación de la forma logarítmica a la forma exponencial.

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