Vídeo: Rectas paralelas y transversales

En este vídeo vamos a aprender cómo identificar y nombrar pares de ángulos en rectas paralelas: ángulos correspondientes, ángulos alternos internos y externos, y ángulos colaterales internos. Y cómo hallar ángulos que faltan en figuras, incluyendo problemas en los que hay que plantear y resolver ecuaciones algebraicas.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a explorar configuraciones que consisten en rectas paralelas y rectas transversales. O, más específicamente, vamos a analizar los ángulos que forman y las relaciones que existen entre ellos. Ahora bien, recordemos que las rectas paralelas nunca se encuentran, no importa cuánto se extiendan. Siempre mantienen la misma distancia entre sí. Una recta transversal es aquella que interseca dos rectas en dos puntos distintos. Por lo tanto, en estos diagramas de rectas paralelas que tenemos aquí, a los que luego se les han añadido las rectas verde y naranja, vemos que estas rectas son transversales, pues cortan las rectas paralelas en dos puntos. Esta recta transversal forma ocho ángulos. Así que tenemos ocho ángulos aquí. Y lo que nos interesa es conocer las relaciones que existen entre determinados pares de ángulos.

Hay cuatro tipos distintos de ángulos que vamos a analizar. Vamos a nombrarlos, y luego vamos a determinar el tipo de relación que existe entre ellos. El primer tipo de ángulos que vamos a ver son los llamados ángulos correspondientes. Ahora bien, la forma de reconocerlos es saber que son ángulos que básicamente ocupan la misma posición en los dos puntos donde la transversal corta las rectas paralelas. Se trata, por ejemplo, de estos dos ángulos marcados en rojo. Ambos se encuentran por encima de las paralelas y a la derecha de la transversal. Del mismo modo, estos ángulos marcados en verde. Están en la misma posición en los dos sitios donde la recta transversal corta las paralelas. Así que son otro par de ángulos correspondientes. Ocurre lo mismo con los dos ángulos marcados en azul o con los dos ángulos marcados en naranja. Por lo tanto, hay, de hecho, cuatro pares de ángulos correspondientes en el diagrama.

El dato clave sobre estos ángulos correspondientes es que son iguales entre sí. Así que estos dos ángulos rojos son iguales entre sí, estos dos ángulos azules son iguales entre sí, y así sucesivamente. Por lo tanto, los ángulos correspondientes son iguales, o congruentes, que es otra forma de decir lo mismo. El segundo tipo de ángulos que vamos a ver son los ángulos alternos internos. Los ángulos alternos internos son como estos de aquí. La palabra alternos se refiere a que los ángulos están en lados opuestos de la transversal, e internos se refiere a que los ángulos están dentro de las rectas paralelas. Otro ejemplo de estos ángulos es el par que hemos marcado en azul aquí. Un dato clave sobre estos ángulos es que los ángulos alternos internos también son congruentes, es decir, iguales, entre sí. Así que este es el segundo tipo de ángulos.

El tercer tipo de ángulos que vamos a ver son los ángulos colaterales internos. Un ejemplo son estos dos ángulos de aquí. La palabra colaterales se refiere a que los ángulos están en el mismo lado de la recta transversal, es decir, uno al lado del otro. Y la palabra internos quiere decir que los ángulos se encuentran dentro de las rectas paralelas. De nuevo, podemos ver que otro par de ángulos colaterales internos son estos que hemos marcado en azul aquí. Un dato importante sobre estos ángulos es que no son iguales entre sí. De hecho, podemos ver que uno es un ángulo agudo y el otro es un ángulo obtuso, así que es evidente que no son iguales. Pero, en vez de eso, son suplementarios, lo que significa que la suma de estos dos ángulos es ciento ochenta grados. Así que este es el tercer tipo de ángulos. Los ángulos colaterales internos son suplementarios entre sí.

El último tipo de ángulos que vamos a ver aquí son aquellos conocidos como ángulos alternos externos. Tal vez hayas podido deducir, correctamente, que la palabra alternos se refiere a que los ángulos se encuentran en lados opuestos de la transversal, y la palabra externos se refiere a que los ángulos están fuera de las rectas paralelas. Por lo tanto, este ángulo y este otro ángulo de aquí son ángulos alternos externos. Y el par que hemos marcado en azul es otro ejemplo. Un hecho clave sobre este tipo de ángulos es que son también un ejemplo de ángulos iguales, o congruentes, entre sí. Y este es el cuarto tipo de ángulos que vamos a ver.

Ahora bien, es conveniente saber los nombres específicos de los distintos pares de ángulos. Y también es conveniente acordarse de si son congruentes o suplementarios. Si alguna vez nos cuesta decidir si dos ángulos son congruentes o suplementarios, conviene que nos fijemos en el tipo de ángulos que son. Si ambos son, por ejemplo, ángulos agudos, entonces serán congruentes. Ocurre lo mismo si ambos son ángulos obtusos. Sin embargo, si uno es obtuso y el otro es agudo, entonces no pueden ser iguales. Por lo tanto, serán ángulos suplementarios en este contexto, es decir, si su ángulo está formado por una transversal en rectas paralelas. Resolvamos el primer problema sobre esto.

A continuación tenemos un diagrama y se nos pide que hallemos la medida del ángulo 𝐴, que está aquí marcado. Y, más arriba, tenemos indicado un ángulo de ciento veinte grados.

Hay diversas maneras de resolver este problema. Así que vamos a usar dos métodos distintos para poder ver así algunos de los diferentes caminos que podemos tomar. Si nos fijamos en los ángulos que están marcados, estos dos ángulos de aquí, vemos que no entran en ninguna de las categorías que hemos mencionado anteriormente, lo que significa que vamos a necesitar dos pasos en nuestro cálculo, o quizás más, en vez de solo un paso, pues no podemos identificarlos inmediatamente como un tipo de ángulo determinado. Muy bien, vamos con el primer método; vamos a fijarnos en este ángulo de aquí primero, y lo vamos a nombrar con la letra 𝐵. Ahora, si nos fijamos en el diagrama y recordamos los distintos nombres que teníamos para los distintos pares de ángulos, podemos ver que este ángulo 𝐵 es correspondiente al ángulo de ciento veinte grados, pues ambos están en la misma posición pero en dos puntos distintos donde la transversal corta las rectas paralelas.

Por lo tanto, si recordamos lo que dijimos anteriormente, que, si dos ángulos son correspondientes, entonces son congruentes entre sí, eso quiere decir que la medida del ángulo 𝐵 debe ser 120 grados. Así que la primera fase del cálculo ha sido escribir la medida del ángulo 𝐵 y argumentar por qué esto es así. Ahora vemos que, para hallar el ángulo 𝐴, no necesitamos usar las propiedades de los ángulos en rectas paralelas. Solo necesitamos usar una propiedad más básica de dos ángulos que forman una línea recta, que dice que los ángulos suman ciento ochenta grados, es decir, son ángulos suplementarios. Por lo tanto, si sabemos que el ángulo 𝐵 mide 120 grados, podemos hallar el ángulo 𝐴 restándolo de 180. Y así obtenemos la medida del ángulo 𝐴, ciento ochenta grados menos 120 grados, que es sesenta grados. Y nuestro argumento para explicar esto es la propiedad de la suma de los ángulos que forman una línea recta. Así que esta es una de las maneras de calcular este ángulo.

Otro enfoque es calcular este ángulo primero, y vamos a llamarlo ángulo 𝐶. Ahora bien, el ángulo 𝐶 se encuentra en una posición especial en relación con el ángulo de 120 grados. Y, de nuevo, no necesitamos las propiedades de los ángulos en rectas paralelas. Es una propiedad general de los ángulos, que dice que el ángulo 𝐶 es opuesto por el vértice a ese ángulo. Y cuando dos ángulos son opuestos por el vértice, son congruentes, lo que significa que el ángulo 𝐶 debe ser también de 120 grados. Así que este es el primer paso de nuestro cálculo. Ahora bien, si nos fijamos en el ángulo 𝐶 y en el ángulo 𝐴, podemos ver que forman un tipo específico de pares de ángulos que ya hemos visto anteriormente. Estos ángulos están dentro de las rectas paralelas y en el mismo lado de la transversal, así que son ángulos colaterales internos. Y si recordamos la propiedad básica de los ángulos colaterales internos, esta dice que son suplementarios, es decir, suman 180 grados.

Así que podemos calcular la medida del ángulo 𝐴 restando la medida del ángulo 𝐶 a 180. Así que, de nuevo, obtenemos 60 grados para el ángulo 𝐴. Y recordemos que, como dijimos, la razón de esto es que son ángulos colaterales internos. Así que podemos ver que los cálculos que debemos hacer son idénticos en ambos métodos, pero el razonamiento es distinto dependiendo de qué ángulo intermedio usamos. Y hay otras formas que también podríamos haber utilizado para resolver este problema. Hay muchos métodos distintos que podemos utilizar para resolver un problema de este tipo.

En el siguiente problema se nos da un diagrama de nuevo en el que hay rectas paralelas y una transversal, y se nos pide que hallemos el valor de 𝑥. Y, si nos fijamos en el diagrama, podemos ver que 𝑥 se usa para expresar la abertura de dos de estos ángulos de aquí.

Y, claro, no sabemos cuánto vale 𝑥. A menudo, en problemas de este tipo, es necesario plantear y resolver una ecuación. Y eso es justo lo que vamos a hacer aquí. Primero tenemos que identificar qué tipo de ángulos tenemos. Si miramos con detenimiento el diagrama, vemos que los dos ángulos que tenemos están dentro de las rectas paralelas y en el mismo lado de la transversal. Por lo tanto, son ángulos colaterales internos. Recordemos que el hecho clave sobre estos ángulos es que son suplementarios, suman 180 grados. Esto significa que ya podemos escribir la ecuación. Si sumamos estos dos ángulos, debemos obtener 180 grados. Y obtenemos, pues, esta ecuación aquí, cuatro 𝑥 menos 10 más dos 𝑥 más 10 es igual a 180.

Ahora solo tenemos que resolver la ecuación. Si nos fijamos en el lado izquierdo, vemos que tenemos cuatro 𝑥 más dos 𝑥, que es seis 𝑥 y tenemos menos 10 más 10, que se cancelan entre sí. Así que nos quedamos con seis 𝑥 igual a 180. El último paso para resolver esta ecuación es dividir ambos lados por seis. Así obtenemos que 𝑥 es igual a 30, que es nuestra respuesta a este problema. Por lo tanto, en este problema tan solo hemos tenido que fijarnos bien en el diagrama, identificar el tipo de ángulos que se nos han dado, utilizar una de sus propiedades, que decía que eran suplementarios, y por último plantear y resolver una ecuación para hallar el valor de 𝑥.

Vale, este es el último problema que vamos a hacer.

Se nos da un diagrama y se nos pide que calculemos la medida del ángulo 𝐶𝐷𝐸.

Si observamos el diagrama, podemos ver que este es el ángulo formado cuando vamos de 𝐶 a 𝐷 a 𝐸, así que es este ángulo de aquí que hemos marcado en verde. Puede que quieras echar un vistazo tú mismo al diagrama para determinar qué enfoque quieres tomar. No podemos ver de forma inmediata cómo vamos a calcular el ángulo 𝐶𝐷𝐸. Así que vamos a echar un vistazo y pensar, ¿hay otros ángulos que podamos calcular directamente? Enseguida nos damos cuenta de que 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrilátero y que conocemos tres de sus ángulos. Sabemos que los ángulos de un cuadrilátero suman 360 grados, lo que significa que podemos calcular este último ángulo, 𝐵𝐴𝐷, usando esta propiedad.

Y así es como vamos a empezar. La medida de este ángulo, 𝐵𝐴𝐷, es 360 menos 85 menos 140 menos 50. Así obtenemos que este ángulo tiene 85 grados. Y, como hemos dicho, la razón que está detrás de esto es que los ángulos en un cuadrilátero suman 360 grados. Veamos ahora cómo esto nos ayuda a calcular el ángulo 𝐶𝐷𝐸. Bueno, tenemos un par de rectas paralelas en el diagrama. Lo sabemos por las flechas que tienen marcadas. Puede que nos sea útil alargar estas dos rectas un poco más. Una vez hecho esto, podemos ver mejor lo que está pasando. Y nos damos cuenta de que hay una relación entre este ángulo de aquí y el de 85 grados que acabamos de calcular, el que está en azul.

Si observamos el diagrama con detenimiento, veremos que son ángulos alternos internos. Y, por lo tanto, deben ser congruentes entre sí. Puede que te ayude inclinar un poco la cabeza. O, si estás usando una tableta o algo similar, inclina la pantalla para que puedas verlo mejor. Entonces, lo que esto nos dice es que la medida del ángulo 𝐴𝐷𝐹, siendo 𝐹 el punto hasta el que he alargado esta recta paralela, es también 85 grados, pues, como ya hemos dicho, son ángulos alternos internos. Así que podemos escribir estos 85 grados también en el diagrama. Ahora, como punto aparte, cabe comentar que, el hecho de que haya dos ángulos de 85 grados en este cuadrilátero es una coincidencia. No siempre se da el caso de que esto sea así.

Ahora, por fin, podemos hallar la medida del ángulo 𝐶𝐷𝐸. Y lo que vemos en este lado del diagrama es que, estos tres ángulos, el ángulo azul, el ángulo de cincuenta grados, y el ángulo verde forman una línea recta. Y, por lo tanto, la suma de estos tres ángulos debe ser 180 grados. Así que podemos hallar la medida del ángulo 𝐶𝐷𝐸 haciendo 180 menos 50 menos 85. Y, haciendo esto, obtenemos que este ángulo mide 45 grados, y la razón de esto es que, como sabemos, la suma de los ángulos en una línea recta es 180 grados.

En este problema no hemos podido calcular directamente la medida del ángulo que se nos ha pedido. Hemos calculado otros ángulos del diagrama primero, luego hemos usado las propiedades de los ángulos en rectas paralelas para hallar la medida del ángulo que se nos ha pedido en un inicio.

Resumiendo, hemos visto cuatro tipos distintos de ángulos en rectas paralelas que debemos saber identificar y nombrar. Y hemos aprendido cómo aplicar las propiedades de este tipo de ángulos para calcular ángulos que faltan en distintas figuras.

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