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Vídeo de la lección: Reducción de ángulos al primer giro y al primer cuadrante Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar valores de las funciones trigonométricas en ángulos arbitrarios expresándolos en términos de sus valores en ángulos en el primer cuadrante o en el primer giro.

17:49

Transcripción del vídeo

Reducción de ángulos al primer giro y al primer cuadrante

En este vídeo vamos a aprender cómo expresar los valores de las funciones trigonométricas en ángulos arbitrarios en términos de sus valores en ángulos en el primer cuadrante o en el primer giro.

Para ello, vamos a hablar un poco sobre el significado geométrico de las funciones trigonométricas. Es decir, el significado geométrico del seno y del coseno de un ángulo. Para hablar de esto podríamos empezar con triángulos rectángulos. Pero para profundizar aún más en estas funciones, necesitamos usar la circunferencia unitaria o trigonométrica. Esta circunferencia tiene radio uno y centro en el origen. Vamos a usarla para explicar el significado geométrico de las funciones trigonométricas. Dibujemos, por ejemplo, el ángulo de 150 grados en posición normal (estándar). Recordemos que, para dibujar un ángulo en posición normal, tenemos que dibujarlo desde el semieje 𝑥 positivo medido en sentido antihorario si el ángulo es positivo y en sentido horario si es negativo.

El punto de intersección entre el lado terminal de nuestro ángulo y la circunferencia unitaria nos dice el valor del seno y el coseno en este ángulo. La coordenada 𝑥 es el valor del coseno de este ángulo, y la coordenada 𝑦 es el valor del seno de este ángulo. Así que las coordenadas de nuestro punto de intersección son coseno de 150 grados, seno de 150 grados. Y para determinar estos valores tenemos que hallar cuánto valen estas coordenadas. Para ello, primero hemos de recordar que los ángulos en una recta suman 180 grados. Así que podemos hallar el valor del siguiente ángulo. Este ángulo mide 30 grados, ya que, cuando se suma a 150 grados, da 180 grados.

A continuación, trazamos una recta vertical desde el punto de intersección hasta el eje de las 𝑥, y construimos un triángulo rectángulo. Para ver mejor lo que estamos haciendo, vamos a dibujar este triángulo rectángulo fuera de la circunferencia. En primer lugar, vemos que la hipotenusa de este triángulo rectángulo es un radio de la circunferencia. Y como esta es la circunferencia trigonométrica, su radio es igual a uno. Así que la hipotenusa de nuestro triángulo es uno. Seguidamente vemos que la base y la altura de este triángulo rectángulo están dadas por las coordenadas 𝑥 e 𝑦, respectivamente, del punto de intersección.

Recordemos, sin embargo, que las longitudes nunca pueden ser negativas. Y como estamos en el segundo cuadrante, nuestra coordenada 𝑥 será negativa, mientras que nuestra coordenada 𝑦 será positiva. Así que, para estar más seguros, vamos a tomar el valor absoluto de ambas coordenadas. Es decir, vamos a tomar el valor no negativo. Seguidamente, para hallar los valores de estas expresiones, aplicamos trigonometría a nuestro triángulo rectángulo. Marcamos nuestros lados con respecto al ángulo de 30 grados, y podemos ver que el valor absoluto de seno de 150 grados es el lado opuesto a nuestro ángulo y el valor absoluto del coseno de 150 grados es el lado contiguo de nuestro ángulo.

Ahora ya podemos hallar expresiones para estos valores. Primero, recordemos que el seno de un ángulo agudo es igual al cociente entre la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En nuestro triángulo rectángulo, el cateto opuesto tenía una longitud de valor absoluto de seno de 150 grados y la hipotenusa tenía una longitud de uno. Así que el cociente de estos dos valores es igual al seno de 30 grados. Sabemos que dividir por uno no cambia el valor y que 30 grados es un ángulo notable. Debemos saber de memoria el valor el seno de 30 grados. Es igual a un medio. De hecho, podemos demostrar esto usando triángulos equiláteros.

Pero aún no hemos acabado. Solo hemos demostrado que esto es igual al valor absoluto del seno de 150 grados. Lo que hemos hallado aquí es una longitud en nuestro triángulo rectángulo. Hemos hallado que la longitud de este lado en nuestro triángulo rectángulo es un medio. El seno de 150 grados es la coordenada 𝑦 de nuestro punto de intersección. Como esto está en el segundo cuadrante, sabemos que es positiva. Así que tomamos el valor positivo. Hemos demostrado que el seno de 150 grados es igual a un medio.

Vamos a aplicar el mismo método para hallar el coseno de 150 grados. Esta vez, tenemos que tomar el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa. Usando trigonometría, obtenemos que el coseno de 30 grados es igual al valor absoluto del coseno de 150 grados dividido por uno. Y sabemos que dividir por uno no cambia el resultado. Así que podemos calcular el coseno de 30 grados. Es igual a la raíz cuadrada de tres dividido por dos. Pero ojo, aquí tenemos que andarnos con cuidado. Lo que hemos hallado es la longitud de la base de nuestro triángulo rectángulo, mientras que el coseno de 150 grados es la coordenada 𝑥 del punto de intersección. Y esto tiene un valor negativo. Así que vamos a tener que tomar el valor negativo. Hemos demostrado, pues, que el coseno de 150 grados es igual a menos raíz cuadrada de tres dividido por dos.

Podemos aplicar el mismo método para hallar el valor de las funciones trigonométricas para muchos otros valores distintos. Por ejemplo, si se nos pide que calculemos el seno de menos 405 grados, comenzaríamos dibujando el ángulo menos 405 grados en posición normal, y sabemos que, como el ángulo es negativo, debemos medir nuestro ángulo en el sentido de las agujas del reloj. Sabemos que un giro completo en sentido horario es menos 360 grados. Tenemos que dar una vuelta completa y 45 grados más en el sentido de las agujas del reloj. Esto nos da el siguiente ángulo. Hemos de tener en cuenta que el lado terminal no determina el ángulo de forma única. Por ejemplo, podríamos hacer un ángulo en el sentido de las agujas del reloj con exactamente el mismo lado terminal que menos 405 grados.

Una forma de determinar este valor es sumar múltiplos enteros de 360. Vemos que menos 405 más dos por 360 es 315 grados. Ambos ángulos tienen el mismo lado terminal cuando están situados en posición normal. Queremos usar esto para determinar el seno de menos 405 grados. Recordemos que viene dado por las coordenadas del punto de intersección entre el lado terminal y la circunferencia goniométrica. La coordenada 𝑥 será igual a coseno de menos 405 grados, y la coordenada 𝑦 será igual a seno de menos 405 grados. Queremos determinar el valor de esta coordenada 𝑦 de la misma manera, usando trigonometría.

Trazamos una recta perpendicular desde el punto de intersección hasta el eje de las 𝑥, y obtenemos un triángulo rectángulo. Para facilitarnos las cosas, vamos a dibujar el triángulo fuera de la circunferencia. Una vez más, podemos ver que la hipotenusa de este triángulo rectángulo es un radio de la circunferencia. Y como se trata de la circunferencia goniométrica, sabemos que su radio es uno. Así que la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo es uno. La altura de este triángulo rectángulo será el valor absoluto de la coordenada 𝑦 del punto de intersección. Ese es el valor absoluto del seno de menos 405 grados. Podemos añadir la base a nuestro diagrama; pero no es algo que necesitemos para resolver este problema.

Queremos aplicar trigonometría para hallar un valor para esta expresión. Pero para hacerlo, necesitamos conocer uno de los ángulos. Hay varias formas de hacerlo. Consideremos el valor de 315 grados. Como el lado terminal de estos dos ángulos es el mismo, podemos usar cualquiera de estos dos valores. Y, en general, es más fácil operar con valores positivos entre cero y 360 grados. Podemos ver que uno de los ángulos que faltan en nuestro triángulo se suma para hacer un giro completo con el ángulo de 315 grados. Si llamamos a este ángulo 𝜃, entonces 𝜃 más 315 grados da un giro completo. O sea, es igual a 360 grados.

Seguidamente, resolvemos para 𝜃 restando 315 grados en ambos lados. Obtenemos que 𝜃 es igual a 45 grados. Añadimos este valor a nuestro triángulo rectángulo. A continuación usamos trigonometría de triángulos rectángulos para hallar una expresión para el seno de menos 405 grados. Comenzamos marcando los lados en relación con el ángulo de 45 grados. Y vemos que tenemos la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. Así que vamos a tener que usar la razón seno. Aplicando trigonometría, obtenemos que el seno de 45 grados es igual al valor absoluto del seno de menos 405 grados dividido por uno.

Esta expresión puede simplificarse. Primero, el seno de 45 grados es igual a la raíz cuadrada de dos dividido por dos. Luego, sabemos que dividir por uno no cambiará el valor. Por último, recordemos que esto nos dice la altura de nuestro triángulo rectángulo, pero estamos tratando de hallar el valor de la coordenada 𝑦 del punto de intersección. Aplicando trigonometría, hemos demostrado que la altura de este triángulo rectángulo es raíz de dos sobre dos. Pero estamos en el cuarto cuadrante, por lo que la coordenada 𝑦 es negativa. Así que tenemos que tomar el valor negativo de este valor. Tenemos que el seno de menos 405 grados es igual a menos raíz de dos entre dos.

En este ejemplo, para calcular el seno de menos 405 grados, hemos comenzado hallando un ángulo positivo equivalente entre cero y 360 grados. Y luego hallamos el valor de 𝜃, que es el ángulo agudo que forma el lado terminal con el eje de las 𝑥. De hecho, podemos calcular el seno o el coseno de cualquier ángulo exactamente de la misma manera. Primero hallamos un ángulo equivalente en posición normal que se encuentra en un rango de cero y 360 grados y luego hallamos el ángulo agudo que forma el lado terminal con el eje de las 𝑥. Y estos dos ángulos tienen nombre. Primero, si 𝜃 es un ángulo en posición normal, entonces el ángulo en sentido antihorario entre el lado inicial y el lado terminal del ángulo 𝜃, que es menos que un giro completo, se llama ángulo reducido de 𝜃.

Por ejemplo, hemos demostrado que el ángulo de 315 grados tiene el mismo lado terminal que menos 405 grados en posición normal. Esto significa que 315 grados es el ángulo reducido de menos 405 grados. Y usamos este ángulo para ayudarnos a hallar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de menos 405 grados. Análogamente, si 𝜃 es un ángulo en posición normal, entonces el ángulo agudo que forma el lado terminal del ángulo 𝜃 con el eje de las 𝑥 lo llamamos ángulo de referencia de 𝜃. Por ejemplo, cuando trazamos el ángulo menos 405 grados en posición normal, demostramos que su lado terminal formaba un ángulo de 45 grados con el eje de las 𝑥. Así que decimos que el ángulo de referencia de menos 405 grados es 45 grados. Usamos ambos ángulos, el ángulo reducido y el ángulo de referencia, para ayudarnos a hallar el valor de las funciones trigonométricas en este valor.

Hay cuatro posibilidades para el ángulo reducido y el ángulo de referencia. Y se relacionan con cada uno de los cuatro cuadrantes en el que se puede encontrar el lado terminal de nuestro ángulo. Primero, si el lado terminal se encuentra en el primer cuadrante, entonces el ángulo reducido será un ángulo agudo y será, pues, igual al ángulo de referencia. Si el lado terminal está en el segundo cuadrante, entonces el ángulo principal será obtuso y el ángulo de referencia será 180 grados menos el ángulo principal. Si el lado terminal está en el tercer cuadrante, entonces nuestro ángulo reducido estará entre 180 y 270 grados. Sin embargo, el ángulo de referencia será la diferencia con el ángulo llano. O sea, será el ángulo reducido menos 180 grados. Por último, si el lado terminal está en el cuarto cuadrante, entonces nuestro ángulo reducido estará entre 270 y 360 grados y el ángulo de referencia será el ángulo que falta para la vuelta completa. Será 360 grados menos el ángulo principal.

Veamos un ejemplo de cómo determinar un ángulo reducido.

Dado el ángulo menos dos 𝜋 partido por tres, halla el ángulo reducido.

Nos piden que determinemos el ángulo reducido de menos dos 𝜋 partido por tres. Recordemos que el ángulo reducido es un ángulo en posición normal que tiene el mismo lado terminal que nuestro ángulo y que tiene una medida de entre cero y dos 𝜋. Por lo tanto, para hallar el ángulo principal, vamos a comenzar dibujando el ángulo menos dos 𝜋 partido por tres en posición normal. Sabemos que nuestro ángulo es negativo, así que vamos a tener que medir nuestro ángulo en el sentido de las agujas del reloj desde el semieje 𝑥 positivo. Puede que nos ayude a medir cada uno de los ángulos rectos. Si vamos en el sentido de las agujas del reloj desde el semieje 𝑥 positivo, eso es menos 𝜋 partido por dos, menos 𝜋 y menos tres 𝜋 partido por dos.

Usando los coeficientes o calculando, podemos ver que menos dos 𝜋 partido por tres se encuentra entre menos 𝜋 medios y menos 𝜋. Es decir, su lado terminal se encuentra en el tercer cuadrante. Queremos hallar el ángulo reducido. Debemos recordar que está situado en la posición normal y que está entre cero y dos 𝜋. Así que se mide en el sentido de las agujas del reloj. Y debe tener el mismo lado terminal. Obtenemos el siguiente diagrama. Y junto con la medida de menos dos 𝜋 entre tres, podemos ver que esto da un giro completo. En otras palabras, el ángulo reducido más dos 𝜋 entre tres es igual a dos 𝜋.

Hallamos el ángulo reducido restando dos 𝜋 entre tres de ambos lados de la ecuación. Obtenemos que el ángulo reducido es dos 𝜋 menos dos 𝜋 entre tres, que podemos calcular si observamos que dos 𝜋 es igual a seis 𝜋 entre tres. Restamos dos 𝜋 entre tres, y obtenemos cuatro 𝜋 entre tres, que es nuestra respuesta final. De esta forma hemos hallado que el ángulo reducido de menos dos 𝜋 entre tres es cuatro 𝜋 entre tres.

Veamos ahora un ejemplo en el que usamos el ángulo reducido y el ángulo de referencia para hallar el valor de una función trigonométrica sin una calculadora.

Halla el valor del seno de 11𝜋 partido por seis.

El enunciado nos pide que calculemos el seno de un ángulo dado en radianes. Vemos que 11𝜋 entre seis no es un ángulo agudo, por lo que no podemos resolver este problema haciendo uso de trigonometría de triángulos rectángulos. Recordemos que podemos hallar el valor de las funciones trigonométricas dibujando el ángulo en posición normal y usando el punto de intersección con la circunferencia unitaria. Para ello, hemos de hallar las coordenadas del punto de intersección entre el lado terminal de nuestro ángulo en posición normal y la circunferencia unitaria. Así que comenzamos dibujando nuestro ángulo en posición normal.

Sabemos que se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el semieje 𝑥 positivo. Para determinar en qué lado se encuentra el lado terminal, vamos a sumar los ángulos rectos a nuestro diagrama, y podemos ver que un giro completo nos da dos 𝜋. Si calculamos 11 entre seis, obtendríamos que es igual a 1.83 periódico. Así que está entre tres medios y dos. Multiplicamos esta inecuación por 𝜋, y obtenemos que nuestro ángulo debe estar en el cuarto cuadrante. Esto nos da el siguiente diagrama.

Recordemos que las coordenadas del punto de intersección entre el lado terminal y la circunferencia unitaria nos dan el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo, en este caso, las coordenadas del punto de intersección son el coseno de 11𝜋 entre seis y el seno de 11𝜋 entre seis. Así que tenemos que hallar la coordenada 𝑦 de este punto de intersección. Para hacerlo, vamos a trazar una recta perpendicular desde el punto de intersección hasta el eje de las 𝑥. La longitud de esta recta puede usarse para hallar el valor del seno de 11𝜋 entre seis.

Para ayudarnos a determinar este valor, vamos a aislar este triángulo rectángulo en nuestro diagrama. Queremos determinar la altura de este triángulo rectángulo. Y para ello, calculamos la hipotenusa de nuestro triángulo. Es un radio de la circunferencia. Y como se trata de la circunferencia unitaria, todos los radios tienen una longitud de uno. Sabemos que la altura de nuestro triángulo viene dada por el seno de 11𝜋 entre seis. Pero debemos tener cuidado porque esta coordenada 𝑦 es negativa. Así que, en su lugar, escribiremos esto como el valor absoluto del seno de 11𝜋 entre seis para que sea un valor positivo.

Por último, determinamos uno de los ángulos de nuestro triángulo rectángulo. Podemos ver que, junto con 11𝜋 entre seis, este ángulo da un giro completo, lo que significa que este ángulo tiene una amplitud de dos 𝜋 menos 11𝜋 entre seis. Y si calculamos esto, obtenemos 𝜋 sextos. A este tipo de ángulo lo llamamos de una determinada manera. Es el ángulo de referencia de 11𝜋 entre seis. Es el ángulo agudo que forma el lado terminal con el eje de las 𝑥. Ahora tenemos un ángulo y un lado en nuestro triángulo rectángulo, y queremos determinar el otro lado en nuestro triángulo rectángulo. Y podemos hacerlo usando trigonometría.

Como sabemos, el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa en nuestro triángulo rectángulo. En nuestro caso, esto nos dice que el seno de 𝜋 sextos es igual al valor absoluto del seno de 11𝜋 entre seis, todo dividido por uno. Vamos a calcular esta expresión. Sabemos que dividir por uno no cambia el valor. Y que 𝜋 sextos es un ángulo notable. Sabemos que el seno de 𝜋 sextos es igual a un medio. De hecho, podemos demostrarlo usando triángulos equiláteros. Por lo tanto, hemos demostrado que la altura de nuestro triángulo rectángulo es igual a un medio.

Pero aún no hemos terminado. El enunciado nos ha pedido que calculemos el seno de 11𝜋 sextos, que es la coordenada 𝑦 del punto de intersección entre el lado terminal y la circunferencia unitaria. Por eso es importante que recordemos nuestro signo de valor absoluto. Podemos ver en el diagrama que este punto de intersección tiene una coordenada 𝑦 negativa. Esto significa que tenemos que tomar el valor negativo de nuestra respuesta, lo que nos da que el seno de 11𝜋 sextos es igual a menos un medio, que es nuestra respuesta final. De esta forma, dibujando el ángulo 11𝜋 sextos en posición normal, hallando su ángulo de referencia, que era 𝜋 sextos, y aplicando trigonometría, hemos hallado que el seno de 11𝜋 sextos es igual a menos un medio.

Antes de terminar el vídeo, vamos a hablar un poco más sobre este método. Ten en cuenta que también podemos usar este método para hallar el valor de las funciones trigonométricas recíprocas, por ejemplo, si se nos pide que calculemos la cosecante de 11𝜋 sextos. Recordemos que la cosecante de un ángulo es igual a uno dividido por el seno de ese ángulo. Y sabemos cómo hallar el seno de un ángulo: hallamos el ángulo de referencia y usamos trigonometría. Ya hemos hallado que el seno de 11𝜋 sextos es igual a menos un medio. Luego podemos sustituir este valor para calcular la cosecante de 11𝜋 sextos. Es igual a uno dividido por menos un medio, que se simplifica a menos dos.

Repasemos ahora los puntos principales que hemos visto en este vídeo. En primer lugar vimos que, si 𝜃 es un ángulo en posición normal, entonces el ángulo recorrido en sentido antihorario que tiene el mismo lado terminal que el ángulo 𝜃, y que es menor que un giro completo, se llama ángulo reducido de 𝜃. Esto es útil porque, al tener el mismo lado terminal, el ángulo reducido tendrá el mismo valor que todas las funciones trigonométricas que el ángulo original. También vimos que el ángulo agudo formado entre el lado terminal de 𝜃 y el eje de las 𝑥 se llama ángulo de referencia. Vale la pena señalar aquí que, si el ángulo es cuadrantal —es decir, si tiene su lado terminal en algunos de los cuatro cuadrantes—, entonces el ángulo de referencia es o bien el ángulo nulo o bien el ángulo recto. Por último, vimos que podemos hallar argumentos equivalentes para las funciones trigonométricas dibujando el argumento en posición normal y luego usando su ángulo reducido y su ángulo de referencia.

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