Lesson Video: Integrales indefinidas y problemas de valor inicial

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En este vídeo vamos a aprender cómo hacer uso de la integración para hallar soluciones particulares de problemas de valor inicial con ecuaciones diferenciales de la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales. Ecuaciones, por ejemplo, de la forma 𝑦 prima igual a 𝑓 de 𝑥, o sea, d𝑦 sobre d𝑥 igual a una función de 𝑥. Primero, vamos a ver cómo pueden ayudarnos las integrales a hallar la solución general de estas ecuaciones, y luego vamos a analizar qué ocurre con estas soluciones cuando introducimos una condición inicial.

Vamos a comenzar viendo cómo puede ayudarnos la integración a resolver ecuaciones diferenciales. Aquí tenemos una ecuación diferencial muy sencilla. d𝑦 sobre d𝑥 es igual a tres 𝑥 al cuadrado más cuatro. Es decir, tenemos una función 𝑦 en términos de 𝑥, de la cual sabemos que su derivada con respecto a 𝑥, es tres 𝑥 al cuadrado más cuatro. Y sabemos que la integración y la derivación son procesos inversos. En otras palabras, si integramos esta función, una derivada con respecto a 𝑥, obtendremos la solución general de la ecuación diferencial. Obtenemos la función original 𝑦 junto con una constante de integración 𝑐.

En este caso, 𝑦 es igual a la integral indefinida de tres 𝑥 al cuadrado más cuatro con respecto a 𝑥. Conviene recordar que, para integrar los términos de un polinomio, incrementamos en uno el exponente y dividimos por este nuevo número. Siempre que el exponente no sea igual a menos uno. Así, la integral de tres 𝑥 al cuadrado es tres 𝑥 al cubo dividido por tres. Y la integral de cuatro es cuatro por 𝑥 elevado a uno entre uno. Y, como estamos operando con una integral indefinida, añadimos la constante de integración 𝑐. Simplificamos y obtenemos que 𝑦 es igual a 𝑥 al cubo más cuatro 𝑥 más 𝑐.

Esta es la solución general de nuestra ecuación diferencial. Pero, ¿y su solución particular? Es decir, ¿cómo hallamos el valor de 𝑐? Bueno, necesitamos una condición inicial. Veamos un problema sencillo de valor inicial.

Halla la solución particular de la siguiente ecuación diferencial para la que 𝑦 de cero es igual a 12. d𝑦 sobre d𝑥 es igual a ocho 𝑥 más tres.

Como sabemos, podemos calcular la solución general de la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 igual a ocho 𝑥 más tres aplicando el proceso inverso a la derivación. Vamos a integrar la expresión para d𝑦 sobre d𝑥 con respecto a 𝑥. Así, 𝑦 es igual a la integral indefinida de d𝑦 sobre d𝑥 con respecto a 𝑥. O sea, 𝑦 es igual a la integral de ocho 𝑥 más tres con respecto a 𝑥. Debemos recordar ahora que la integral de un término polinómico de la forma 𝑎𝑥 elevado a 𝑛, donde 𝑎 y 𝑛 son constantes reales y 𝑛 es distinto de menos uno, es 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más una constante de integración 𝑐.

Aumentamos el exponente en uno y dividimos por el nuevo número. Esto quiere decir que la integral de ocho 𝑥 es ocho 𝑥 al cuadrado partido por dos. Y, del mismo modo, la integral de tres es tres 𝑥. Y, puesto que se trata de una integral indefinida, añadimos la constante de integración 𝑐. Así, hemos hallado que la solución general de la ecuación diferencial es 𝑦 igual a cuatro 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más 𝑐.

Volvamos un momento al enunciado de la cuestión. Se nos dice que 𝑦 de cero es igual a 12. Es decir, en la ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 es igual a 12. Vamos a sustituir estos valores en la ecuación para ver qué sucede. Obtenemos que 12 es igual a cuatro por cero al cuadrado más tres por cero más 𝑐. Esta ecuación se simplifica a 12 igual a 𝑐. Estupendo, ya conocemos el valor de nuestra constante. Y, por lo tanto, podemos decir que 𝑦 es igual a cuatro 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más 12.

Esta solución se denomina solución particular. Y 𝑦 de cero igual a 12 es un valor inicial. Estos problemas, en ocasiones, se llaman problemas de valor inicial, pues se trata de hallar una solución particular a partir del valor de la función en un valor particular de 𝑥.

Veamos ahora otro ejemplo.

Calcula la solución de la siguiente ecuación diferencial para la que 𝑦 de cero es igual a uno. d𝑦 sobre d𝑥 menos 𝑥 menos 𝑥 al cuadrado es igual a cero.

En este problema tenemos una ecuación diferencial y un valor inicial. Es decir, cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 es igual a uno. Ahora bien, antes de resolver la ecuación diferencial, tenemos que realizar un paso intermedio. Vamos a reorganizar la ecuación para despejar d𝑦 sobre d𝑥. No parece muy complicado hacerlo. Sumamos 𝑥 y 𝑥 al cuadrado a ambos lados de la ecuación diferencial y obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑥. Recordemos que podemos hallar la solución general de la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑥 mediante el proceso inverso a la derivación. Vamos a integrar con respecto a 𝑥. Así, 𝑦 es igual a la integral de d𝑦 sobre d𝑥 con respecto a 𝑥 o la integral de 𝑥 al cuadrado más 𝑥 con respecto a 𝑥.

Recuerda que, para integrar un término polinómico, aumentamos el exponente en uno y dividimos por el nuevo valor. Así, la integral de 𝑥 al cuadrado es 𝑥 al cubo partido por tres. Y vemos que la integral de 𝑥 es 𝑥 al cuadrado sobre dos. Como estamos operando con integrales indefinidas, sumamos la constante de integración 𝑐. Por lo tanto, 𝑦 es igual a 𝑥 al cubo sobre tres más 𝑥 al cuadrado sobre dos más 𝑐. Muy bien, ya tenemos la solución general de nuestra ecuación diferencial. Sin embargo, aún no hemos utilizado el dato que nos dice que 𝑦 de cero es igual a uno. Vamos a sustituir 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a uno en la solución general. Al hacerlo, obtenemos que uno es igual a cero al cubo sobre tres más cero al cuadrado sobre dos más 𝑐. Esta ecuación se simplifica a uno igual a 𝑐. Así, hemos hallado que 𝑐 es igual a uno. Y la solución particular de la ecuación diferencial es 𝑦 igual a 𝑥 al cubo sobre tres más 𝑥 al cuadrado sobre dos más uno.

Ahora vamos a ver que podemos aplicar el mismo proceso a problemas más complejos.

Halla la función 𝑓 sabiendo que 𝑓 prima de 𝑡 es igual a dos secante de 𝑡 por tangente de 𝑡 más cuatro secante de 𝑡, siendo 𝑡 mayor que menos 𝜋 partido por dos y menor que 𝜋 partido por dos, y sabiendo que 𝑓 de menos 𝜋 partido entre tres es menos dos.

En este problema tenemos, pues, una ecuación diferencial. Que, como sabemos, es una ecuación que contiene derivadas. En este caso es 𝑓 prima de 𝑡. También tenemos un valor inicial. Nos dicen que, cuando 𝑡 es igual a menos 𝜋 tercios, 𝑓 de 𝑡 es igual a menos dos. Queremos hallar la función 𝑓. Y, como sabemos, la integración y la derivación son procesos inversos. Por tanto, la función original 𝑓 de 𝑡 es la integral de 𝑓 prima de 𝑡 con respecto a 𝑡. Esa es la integral de dos secante de 𝑡 por tangente de 𝑡 más cuatro secante de 𝑡 con respecto a 𝑡.

Esta integral parece un poco complicada. Así que primero vamos a desarrollar el paréntesis del integrando. Al hacerlo, obtenemos que la función 𝑓 de 𝑡 es igual a la integral de dos secante de 𝑡 tangente de 𝑡 más ocho secante al cuadrado de 𝑡 con respecto a 𝑡. Simplificamos un poco más haciendo uso de la propiedad que dice que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de la integral de cada una de esas funciones. Así, 𝑓 de 𝑡 es igual a la integral de dos secante de 𝑡 tangente de 𝑡 con respecto a 𝑡 más la integral de ocho secante al cuadrado de 𝑡 con respecto a 𝑡.

Esta ecuación parece muy complicada. Pero no te preocupes, vamos a recordar algunas derivadas. Sabemos que la derivada de secante de 𝑡 con respecto a 𝑡 es tangente de 𝑡 por secante de 𝑡. Y sabemos que la derivada de tangente de 𝑡 con respecto a 𝑡 es secante al cuadrado de 𝑡. Esto significa que la antiderivada de tangente de 𝑡 secante de 𝑡 debe ser secante de 𝑡. Y la antiderivada de secante al cuadrado de 𝑡 debe ser tangente de 𝑡. Por lo tanto, la integral de dos secante de 𝑡 tangente de 𝑡 debe ser dos secante de 𝑡. Y, como vemos, es una integral indefinida. Así que añadimos una constante de integración 𝐴. Por tanto, la integral de ocho secante al cuadrado de 𝑡 debe ser ocho tangente de 𝑡. Y vamos a sumar una segunda constante de integración 𝐵. Combinamos las dos constantes de integración y vemos que 𝑓 de 𝑡 es igual a dos secante de 𝑡 más ocho tangente de 𝑡 más 𝐶.

Esta es la solución general de nuestra ecuación diferencial. Sin embargo, aún no hemos utilizado el dato que dice que, cuando 𝑡 es igual a menos 𝜋 sobre tres, la función vale menos dos. Así que vamos a sustituir estos valores. Al hacerlo, obtenemos que menos dos es igual a dos secante de menos 𝜋 sobre tres más ocho tangente de menos 𝜋 sobre tres más 𝐶. Nos acordamos de que secante de menos 𝜋 sobre tres es uno partido por coseno de menos 𝜋 sobre tres. Por lo tanto, dos secante de menos 𝜋 sobre tres es dos partido por coseno de menos 𝜋 sobre tres, que es cuatro. Del mismo modo, ocho tangente de menos 𝜋 sobre tres es menos ocho raíz de tres. Así que menos dos es igual a cuatro menos ocho raíz de tres más 𝐶.

Restamos cuatro a ambos lados de la ecuación y sumamos ocho raíz de tres también a ambos lados. Así, obtenemos que 𝐶 es igual a ocho raíz de tres menos seis. Y hemos obtenido que la solución particular de la ecuación diferencial es 𝑓 de 𝑡 igual a dos secante de 𝑡 más ocho tangente de 𝑡 más ocho raíz de tres menos seis.

Ahora bien, como mejor podemos ver cómo funciona este proceso es con ejemplos del mundo real. Veamos uno.

La aceleración, 𝑎 metros por segundo al cuadrado, de una partícula a los 𝑡 segundos viene dada por la ecuación 𝑎 igual a menos tres seno de 4𝑡, siendo 𝑡 mayor o igual que cero. La velocidad inicial de la partícula es tres metros por segundo y la posición inicial de la partícula es menos dos metros. Halla una ecuación para la posición, 𝑠, de la partícula a los 𝑡 segundos.

En primer lugar, conviene recordar la relación entre la aceleración, la velocidad y la posición. Supongamos que tenemos una función para la posición, 𝑠, en términos de 𝑡. La velocidad de un objeto es la tasa de variación de su posición con respecto al tiempo. Y cuando consideramos la tasa de variación, estamos pensando en la derivada. Por lo tanto, podemos decir que 𝑣 es igual a d𝑠 sobre d𝑡. Asimismo, la aceleración se define como la tasa de variación de la velocidad con respecto al tiempo. Así que la aceleración es d𝑣 sobre d𝑡. Y como 𝑣 es la primera derivada de 𝑠 con respecto al tiempo, podemos decir que la aceleración se define como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.

En esta cuestión se nos ha dado una expresión para la aceleración en función del tiempo. Para poder hallar una expresión para el desplazamiento, vamos a tener que realizar el proceso inverso a la derivación. Vamos a integrar la expresión para la aceleración con respecto al tiempo. Así, obtendremos la expresión para la velocidad. Luego, integraremos de nuevo para hallar la expresión para la posición. Bien, vamos a empezar integrando la expresión de la aceleración. Sabemos que 𝑣 es igual a la integral de menos tres seno de cuatro 𝑡 con respecto a 𝑡. Recordemos que podemos sacar el factor constante para centrarnos en integrar la función con respecto a 𝑡. Así, podemos decir que la integral de menos tres seno de cuatro 𝑡 con respecto a 𝑡 es menos tres por la integral de seno de cuatro 𝑡 con respecto a 𝑡.

Ahora escribimos el resultado general de la integral de seno de 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥. Es menos uno sobre 𝑎 coseno de 𝑎𝑥. Esto significa que la integral de seno de cuatro 𝑡 debe ser menos un cuarto coseno de cuatro 𝑡. Y, como ya sabemos, tenemos que añadir la constante de integración. La hemos llamado 𝐴. Desarrollamos el paréntesis y obtenemos que 𝑣 es igual a tres cuartos coseno de cuatro 𝑡 más 𝐵. El motivo por el que la constante integración se ha convertido en 𝐵 es porque su valor ha cambiado. La hemos multiplicado por menos tres.

Se nos dice que la velocidad inicial de la partícula es tres metros por segundo. Es decir, cuando 𝑡 es igual a cero, 𝑣 es igual a tres. Así que sustituimos estos valores en la función de la velocidad. Y obtenemos que tres es igual a tres cuartos coseno de cero más 𝐵. Y, como coseno de cero es uno, tres es igual a tres cuartos más 𝐵. Para despejar 𝐵 restamos tres cuartos a ambos lados de la ecuación. Y hallamos que 𝐵 es igual a nueve cuartos. De modo que hemos hallado que la velocidad es igual a tres cuartos coseno de cuatro 𝑡 más nueve cuartos.

El siguiente paso es integrar la expresión para la velocidad para hallar la expresión para la posición. Es la integral indefinida de tres cuartos coseno de cuatro 𝑡 más nueve cuartos con respecto a 𝑡. Como sabemos, la integral de coseno de 𝑎𝑥 es uno partido por 𝑎 seno de 𝑎𝑥. Por lo tanto, la integral de tres cuartos coseno de cuatro 𝑡 es tres cuartos por un cuarto seno de cuatro 𝑡. Y la integral de nueve cuartos es nueve cuartos por 𝑡. Así que ya tenemos la fórmula para la posición. Es tres cuartos por un cuarto seno de cuatro 𝑡 más nueve cuartos de 𝑡 más la constante de integración, 𝑐. Esto se simplifica a tres dieciseisavos seno de cuatro 𝑡 más nueve cuartos de 𝑡 más 𝑐.

Pero aún hay un dato que no hemos utilizado. La posición inicial de la partícula es menos dos metros. Por lo tanto, cuando 𝑡 es igual a cero, no solo la velocidad es tres metros por segundo, sino que 𝑠 es menos dos. Vamos a sustituir estos valores en la ecuación. Y obtenemos menos dos igual a tres dieciseisavos seno de cero más nueve cuartos de cero más 𝑐. Seno de cero es cero, y nueve cuartos de cero es cero. Por lo tanto, menos dos es igual a 𝑐. El último paso es sustituir 𝑐 por menos dos en la ecuación del desplazamiento. Así, hallamos que la ecuación para la posición 𝑠 de la partícula a los 𝑡 segundos es tres dieciseisavos seno de cuatro 𝑡 más nueve cuartos 𝑡 menos dos.

En este vídeo hemos aprendido cómo podemos usar integración para hallar la solución general de ecuaciones diferenciales. También hemos visto que podemos usar valores iniciales para calcular la constante de integración. Y que haciendo esto obtenemos una solución particular de la ecuación diferencial.