V铆deo: Integrales indefinidas y problemas de valor inicial

En este v铆deo vamos a aprender c贸mo hacer uso de la integraci贸n para hallar soluciones particulares de problemas de valor inicial con ecuaciones diferenciales de la forma d饾懄/d饾懃 = (饾懃).

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En este v铆deo vamos a aprender c贸mo hacer uso de la integraci贸n para hallar soluciones particulares de problemas de valor inicial con ecuaciones diferenciales de la forma d饾懄 sobre d饾懃 igual a 饾憮 de 饾懃. Una ecuaci贸n diferencial es una ecuaci贸n que contiene derivadas o diferenciales. Ecuaciones, por ejemplo, de la forma 饾懄 prima igual a 饾憮 de 饾懃, o sea, d饾懄 sobre d饾懃 igual a una funci贸n de 饾懃. Primero, vamos a ver c贸mo pueden ayudarnos las integrales a hallar la soluci贸n general de estas ecuaciones, y luego vamos a analizar qu茅 ocurre con estas soluciones cuando introducimos una condici贸n inicial.

Vamos a comenzar viendo c贸mo puede ayudarnos la integraci贸n a resolver ecuaciones diferenciales. Aqu铆 tenemos una ecuaci贸n diferencial muy sencilla. d饾懄 sobre d饾懃 es igual a tres 饾懃 al cuadrado m谩s cuatro. Es decir, tenemos una funci贸n 饾懄 en t茅rminos de 饾懃, de la cual sabemos que su derivada con respecto a 饾懃, es tres 饾懃 al cuadrado m谩s cuatro. Y sabemos que la integraci贸n y la derivaci贸n son procesos inversos. En otras palabras, si integramos esta funci贸n, una derivada con respecto a 饾懃, obtendremos la soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial. Obtenemos la funci贸n original 饾懄 junto con una constante de integraci贸n 饾憪.

En este caso, 饾懄 es igual a la integral indefinida de tres 饾懃 al cuadrado m谩s cuatro con respecto a 饾懃. Conviene recordar que, para integrar los t茅rminos de un polinomio, incrementamos en uno el exponente y dividimos por este nuevo n煤mero. Siempre que el exponente no sea igual a menos uno. As铆, la integral de tres 饾懃 al cuadrado es tres 饾懃 al cubo dividido por tres. Y la integral de cuatro es cuatro por 饾懃 elevado a uno entre uno. Y, como estamos operando con una integral indefinida, a帽adimos la constante de integraci贸n 饾憪. Simplificamos y obtenemos que 饾懄 es igual a 饾懃 al cubo m谩s cuatro 饾懃 m谩s 饾憪.

Esta es la soluci贸n general de nuestra ecuaci贸n diferencial. Pero, 驴y su soluci贸n particular? Es decir, 驴c贸mo hallamos el valor de 饾憪? Bueno, necesitamos una condici贸n inicial. Veamos un problema sencillo de valor inicial.

Halla la soluci贸n particular de la siguiente ecuaci贸n diferencial para la que 饾懄 de cero es igual a 12. d饾懄 sobre d饾懃 es igual a ocho 饾懃 m谩s tres.

Como sabemos, podemos calcular la soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial d饾懄 sobre d饾懃 igual a ocho 饾懃 m谩s tres aplicando el proceso inverso a la derivaci贸n. Vamos a integrar la expresi贸n para d饾懄 sobre d饾懃 con respecto a 饾懃. As铆, 饾懄 es igual a la integral indefinida de d饾懄 sobre d饾懃 con respecto a 饾懃. O sea, 饾懄 es igual a la integral de ocho 饾懃 m谩s tres con respecto a 饾懃. Debemos recordar ahora que la integral de un t茅rmino polin贸mico de la forma 饾憥饾懃 elevado a 饾憶, donde 饾憥 y 饾憶 son constantes reales y 饾憶 es distinto de menos uno, es 饾憥饾懃 elevado a 饾憶 m谩s uno sobre 饾憶 m谩s uno m谩s una constante de integraci贸n 饾憪.

Aumentamos el exponente en uno y dividimos por el nuevo n煤mero. Esto quiere decir que la integral de ocho 饾懃 es ocho 饾懃 al cuadrado partido por dos. Y, del mismo modo, la integral de tres es tres 饾懃. Y, puesto que se trata de una integral indefinida, a帽adimos la constante de integraci贸n 饾憪. As铆, hemos hallado que la soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial es 饾懄 igual a cuatro 饾懃 al cuadrado m谩s tres 饾懃 m谩s 饾憪.

Volvamos un momento al enunciado de la cuesti贸n. Se nos dice que 饾懄 de cero es igual a 12. Es decir, en la ecuaci贸n 饾懄 igual a 饾憮 de 饾懃, cuando 饾懃 es igual a cero, 饾懄 es igual a 12. Vamos a sustituir estos valores en la ecuaci贸n para ver qu茅 sucede. Obtenemos que 12 es igual a cuatro por cero al cuadrado m谩s tres por cero m谩s 饾憪. Esta ecuaci贸n se simplifica a 12 igual a 饾憪. Estupendo, ya conocemos el valor de nuestra constante. Y, por lo tanto, podemos decir que 饾懄 es igual a cuatro 饾懃 al cuadrado m谩s tres 饾懃 m谩s 12.

Esta soluci贸n se denomina soluci贸n particular. Y 饾懄 de cero igual a 12 es un valor inicial. Estos problemas, en ocasiones, se llaman problemas de valor inicial, pues se trata de hallar una soluci贸n particular a partir del valor de la funci贸n en un valor particular de 饾懃.

Veamos ahora otro ejemplo.

Calcula la soluci贸n de la siguiente ecuaci贸n diferencial para la que 饾懄 de cero es igual a uno. d饾懄 sobre d饾懃 menos 饾懃 menos 饾懃 al cuadrado es igual a cero.

En este problema tenemos una ecuaci贸n diferencial y un valor inicial. Es decir, cuando 饾懃 es igual a cero, 饾懄 es igual a uno. Ahora bien, antes de resolver la ecuaci贸n diferencial, tenemos que realizar un paso intermedio. Vamos a reorganizar la ecuaci贸n para despejar d饾懄 sobre d饾懃. No parece muy complicado hacerlo. Sumamos 饾懃 y 饾懃 al cuadrado a ambos lados de la ecuaci贸n diferencial y obtenemos que d饾懄 sobre d饾懃 es igual a 饾懃 al cuadrado m谩s 饾懃. Recordemos que podemos hallar la soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial d饾懄 sobre d饾懃 igual a 饾懃 al cuadrado m谩s 饾懃 mediante el proceso inverso a la derivaci贸n. Vamos a integrar con respecto a 饾懃. As铆, 饾懄 es igual a la integral de d饾懄 sobre d饾懃 con respecto a 饾懃 o la integral de 饾懃 al cuadrado m谩s 饾懃 con respecto a 饾懃.

Recuerda que, para integrar un t茅rmino polin贸mico, aumentamos el exponente en uno y dividimos por el nuevo valor. As铆, la integral de 饾懃 al cuadrado es 饾懃 al cubo partido por tres. Y vemos que la integral de 饾懃 es 饾懃 al cuadrado sobre dos. Como estamos operando con integrales indefinidas, sumamos la constante de integraci贸n 饾憪. Por lo tanto, 饾懄 es igual a 饾懃 al cubo sobre tres m谩s 饾懃 al cuadrado sobre dos m谩s 饾憪. Muy bien, ya tenemos la soluci贸n general de nuestra ecuaci贸n diferencial. Sin embargo, a煤n no hemos utilizado el dato que nos dice que 饾懄 de cero es igual a uno. Vamos a sustituir 饾懃 igual a cero y 饾懄 igual a uno en la soluci贸n general. Al hacerlo, obtenemos que uno es igual a cero al cubo sobre tres m谩s cero al cuadrado sobre dos m谩s 饾憪. Esta ecuaci贸n se simplifica a uno igual a 饾憪. As铆, hemos hallado que 饾憪 es igual a uno. Y la soluci贸n particular de la ecuaci贸n diferencial es 饾懄 igual a 饾懃 al cubo sobre tres m谩s 饾懃 al cuadrado sobre dos m谩s uno.

Ahora vamos a ver que podemos aplicar el mismo proceso a problemas m谩s complejos.

Halla la funci贸n 饾憮 sabiendo que 饾憮 prima de 饾憽 es igual a dos secante de 饾憽 por tangente de 饾憽 m谩s cuatro secante de 饾憽, siendo 饾憽 mayor que menos 饾湅 partido por dos y menor que 饾湅 partido por dos, y sabiendo que 饾憮 de menos 饾湅 partido entre tres es menos dos.

En este problema tenemos, pues, una ecuaci贸n diferencial. Que, como sabemos, es una ecuaci贸n que contiene derivadas. En este caso es 饾憮 prima de 饾憽. Tambi茅n tenemos un valor inicial. Nos dicen que, cuando 饾憽 es igual a menos 饾湅 tercios, 饾憮 de 饾憽 es igual a menos dos. Queremos hallar la funci贸n 饾憮. Y, como sabemos, la integraci贸n y la derivaci贸n son procesos inversos. Por tanto, la funci贸n original 饾憮 de 饾憽 es la integral de 饾憮 prima de 饾憽 con respecto a 饾憽. Esa es la integral de dos secante de 饾憽 por tangente de 饾憽 m谩s cuatro secante de 饾憽 con respecto a 饾憽.

Esta integral parece un poco complicada. As铆 que primero vamos a desarrollar el par茅ntesis del integrando. Al hacerlo, obtenemos que la funci贸n 饾憮 de 饾憽 es igual a la integral de dos secante de 饾憽 tangente de 饾憽 m谩s ocho secante al cuadrado de 饾憽 con respecto a 饾憽. Simplificamos un poco m谩s haciendo uso de la propiedad que dice que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de la integral de cada una de esas funciones. As铆, 饾憮 de 饾憽 es igual a la integral de dos secante de 饾憽 tangente de 饾憽 con respecto a 饾憽 m谩s la integral de ocho secante al cuadrado de 饾憽 con respecto a 饾憽.

Esta ecuaci贸n parece muy complicada. Pero no te preocupes, vamos a recordar algunas derivadas. Sabemos que la derivada de secante de 饾憽 con respecto a 饾憽 es tangente de 饾憽 por secante de 饾憽. Y sabemos que la derivada de tangente de 饾憽 con respecto a 饾憽 es secante al cuadrado de 饾憽. Esto significa que la antiderivada de tangente de 饾憽 secante de 饾憽 debe ser secante de 饾憽. Y la antiderivada de secante al cuadrado de 饾憽 debe ser tangente de 饾憽. Por lo tanto, la integral de dos secante de 饾憽 tangente de 饾憽 debe ser dos secante de 饾憽. Y, como vemos, es una integral indefinida. As铆 que a帽adimos una constante de integraci贸n 饾惔. Por tanto, la integral de ocho secante al cuadrado de 饾憽 debe ser ocho tangente de 饾憽. Y vamos a sumar una segunda constante de integraci贸n 饾惖. Combinamos las dos constantes de integraci贸n y vemos que 饾憮 de 饾憽 es igual a dos secante de 饾憽 m谩s ocho tangente de 饾憽 m谩s 饾惗.

Esta es la soluci贸n general de nuestra ecuaci贸n diferencial. Sin embargo, a煤n no hemos utilizado el dato que dice que, cuando 饾憽 es igual a menos 饾湅 sobre tres, la funci贸n vale menos dos. As铆 que vamos a sustituir estos valores. Al hacerlo, obtenemos que menos dos es igual a dos secante de menos 饾湅 sobre tres m谩s ocho tangente de menos 饾湅 sobre tres m谩s 饾惗. Nos acordamos de que secante de menos 饾湅 sobre tres es uno partido por coseno de menos 饾湅 sobre tres. Por lo tanto, dos secante de menos 饾湅 sobre tres es dos partido por coseno de menos 饾湅 sobre tres, que es cuatro. Del mismo modo, ocho tangente de menos 饾湅 sobre tres es menos ocho ra铆z de tres. As铆 que menos dos es igual a cuatro menos ocho ra铆z de tres m谩s 饾惗.

Restamos cuatro a ambos lados de la ecuaci贸n y sumamos ocho ra铆z de tres tambi茅n a ambos lados. As铆, obtenemos que 饾惗 es igual a ocho ra铆z de tres menos seis. Y hemos obtenido que la soluci贸n particular de la ecuaci贸n diferencial es 饾憮 de 饾憽 igual a dos secante de 饾憽 m谩s ocho tangente de 饾憽 m谩s ocho ra铆z de tres menos seis.

Ahora bien, como mejor podemos ver c贸mo funciona este proceso es con ejemplos del mundo real. Veamos uno.

La aceleraci贸n, 饾憥 metros por segundo al cuadrado, de una part铆cula a los 饾憽 segundos viene dada por la ecuaci贸n 饾憥 igual a menos tres seno de 4饾憽, siendo 饾憽 mayor o igual que cero. La velocidad inicial de la part铆cula es tres metros por segundo y la posici贸n inicial de la part铆cula es menos dos metros. Halla una ecuaci贸n para la posici贸n, 饾憼, de la part铆cula a los 饾憽 segundos.

En primer lugar, conviene recordar la relaci贸n entre la aceleraci贸n, la velocidad y la posici贸n. Supongamos que tenemos una funci贸n para la posici贸n, 饾憼, en t茅rminos de 饾憽. La velocidad de un objeto es la tasa de variaci贸n de su posici贸n con respecto al tiempo. Y cuando consideramos la tasa de variaci贸n, estamos pensando en la derivada. Por lo tanto, podemos decir que 饾懀 es igual a d饾憼 sobre d饾憽. Asimismo, la aceleraci贸n se define como la tasa de variaci贸n de la velocidad con respecto al tiempo. As铆 que la aceleraci贸n es d饾懀 sobre d饾憽. Y como 饾懀 es la primera derivada de 饾憼 con respecto al tiempo, podemos decir que la aceleraci贸n se define como la segunda derivada de la posici贸n con respecto al tiempo.

En esta cuesti贸n se nos ha dado una expresi贸n para la aceleraci贸n en funci贸n del tiempo. Para poder hallar una expresi贸n para el desplazamiento, vamos a tener que realizar el proceso inverso a la derivaci贸n. Vamos a integrar la expresi贸n para la aceleraci贸n con respecto al tiempo. As铆, obtendremos la expresi贸n para la velocidad. Luego, integraremos de nuevo para hallar la expresi贸n para la posici贸n. Bien, vamos a empezar integrando la expresi贸n de la aceleraci贸n. Sabemos que 饾懀 es igual a la integral de menos tres seno de cuatro 饾憽 con respecto a 饾憽. Recordemos que podemos sacar el factor constante para centrarnos en integrar la funci贸n con respecto a 饾憽. As铆, podemos decir que la integral de menos tres seno de cuatro 饾憽 con respecto a 饾憽 es menos tres por la integral de seno de cuatro 饾憽 con respecto a 饾憽.

Ahora escribimos el resultado general de la integral de seno de 饾憥饾懃 con respecto a 饾懃. Es menos uno sobre 饾憥 coseno de 饾憥饾懃. Esto significa que la integral de seno de cuatro 饾憽 debe ser menos un cuarto coseno de cuatro 饾憽. Y, como ya sabemos, tenemos que a帽adir la constante de integraci贸n. La hemos llamado 饾惔. Desarrollamos el par茅ntesis y obtenemos que 饾懀 es igual a tres cuartos coseno de cuatro 饾憽 m谩s 饾惖. El motivo por el que la constante integraci贸n se ha convertido en 饾惖 es porque su valor ha cambiado. La hemos multiplicado por menos tres.

Se nos dice que la velocidad inicial de la part铆cula es tres metros por segundo. Es decir, cuando 饾憽 es igual a cero, 饾懀 es igual a tres. As铆 que sustituimos estos valores en la funci贸n de la velocidad. Y obtenemos que tres es igual a tres cuartos coseno de cero m谩s 饾惖. Y, como coseno de cero es uno, tres es igual a tres cuartos m谩s 饾惖. Para despejar 饾惖 restamos tres cuartos a ambos lados de la ecuaci贸n. Y hallamos que 饾惖 es igual a nueve cuartos. De modo que hemos hallado que la velocidad es igual a tres cuartos coseno de cuatro 饾憽 m谩s nueve cuartos.

El siguiente paso es integrar la expresi贸n para la velocidad para hallar la expresi贸n para la posici贸n. Es la integral indefinida de tres cuartos coseno de cuatro 饾憽 m谩s nueve cuartos con respecto a 饾憽. Como sabemos, la integral de coseno de 饾憥饾懃 es uno partido por 饾憥 seno de 饾憥饾懃. Por lo tanto, la integral de tres cuartos coseno de cuatro 饾憽 es tres cuartos por un cuarto seno de cuatro 饾憽. Y la integral de nueve cuartos es nueve cuartos por 饾憽. As铆 que ya tenemos la f贸rmula para la posici贸n. Es tres cuartos por un cuarto seno de cuatro 饾憽 m谩s nueve cuartos de 饾憽 m谩s la constante de integraci贸n, 饾憪. Esto se simplifica a tres dieciseisavos seno de cuatro 饾憽 m谩s nueve cuartos de 饾憽 m谩s 饾憪.

Pero a煤n hay un dato que no hemos utilizado. La posici贸n inicial de la part铆cula es menos dos metros. Por lo tanto, cuando 饾憽 es igual a cero, no solo la velocidad es tres metros por segundo, sino que 饾憼 es menos dos. Vamos a sustituir estos valores en la ecuaci贸n. Y obtenemos menos dos igual a tres dieciseisavos seno de cero m谩s nueve cuartos de cero m谩s 饾憪. Seno de cero es cero, y nueve cuartos de cero es cero. Por lo tanto, menos dos es igual a 饾憪. El 煤ltimo paso es sustituir 饾憪 por menos dos en la ecuaci贸n del desplazamiento. As铆, hallamos que la ecuaci贸n para la posici贸n 饾憼 de la part铆cula a los 饾憽 segundos es tres dieciseisavos seno de cuatro 饾憽 m谩s nueve cuartos 饾憽 menos dos.

En este v铆deo hemos aprendido c贸mo podemos usar integraci贸n para hallar la soluci贸n general de ecuaciones diferenciales. Tambi茅n hemos visto que podemos usar valores iniciales para calcular la constante de integraci贸n. Y que haciendo esto obtenemos una soluci贸n particular de la ecuaci贸n diferencial.

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