Lesson Video: Pendiente de una recta a partir de una gráfica o de una tabla

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En este vídeo vamos a aprender cómo calcular la pendiente de una recta a partir de una gráfica o de una tabla. Para ello vamos a empezar recordando algunas propiedades básicas de las funciones lineales. La gráfica de una función lineal es una recta. Y la ecuación de una función lineal es de la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. Las letras 𝑚 y 𝑏 son constantes, donde 𝑚 representa la pendiente, inclinación o gradiente de la recta. Y 𝑏 es la ordenada en el origen, que es la coordenada 𝑦 del punto en el que la recta corta el eje de las 𝑦. A menudo esto se suele expresar como 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐, en lugar de 𝑏.

El valor de 𝑚 será positivo si la recta está inclinada hacia arriba de izquierda a derecha. Y 𝑚 será negativo si la recta está inclinada hacia abajo de izquierda a derecha. El valor absoluto de 𝑚 determina el grado de inclinación de la pendiente, y su signo nos dice su sentido. Por ejemplo, la recta de ecuación 𝑦 igual a tres 𝑥 más cuatro será más inclinada que la recta de ecuación 𝑦 igual a dos 𝑥 menos siete. Esto se debe a que el valor absoluto de 𝑚 de la primera recta es mayor. Como 𝑚 representa la pendiente, se deduce que el valor de 𝑚 es la tasa de variación de la coordenada 𝑦 con respecto a la variación de la coordenada 𝑥 entre dos puntos cualesquiera.

Esto puede expresarse usando la siguiente fórmula. 𝑚 es igual a 𝑦 dos menos 𝑦 uno dividido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno, donde los puntos 𝐴 y 𝐵 en la recta tienen coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos, respectivamente. Esto se conoce como el cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥, o la elevación dividido por el avance. Veamos ahora cómo podemos aplicar esto para calcular la pendiente de una función lineal a partir de su gráfica.

¿Cuál es la pendiente de la función representada por la gráfica siguiente?

Sabemos que la gráfica de una recta es una función lineal de la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, donde el valor de 𝑚 es la pendiente, inclinación o gradiente de la recta. El valor de la pendiente 𝑚 puede calcularse mediante la siguiente fórmula. 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno, donde 𝐴 y 𝐵 son dos puntos en la recta, con coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos. Comenzamos eligiendo dos puntos cualesquiera en nuestra recta. A menudo conviene elegir puntos donde la recta corta el eje de las 𝑥 o el de las 𝑦. En este caso, 𝐴 tiene coordenadas cero, 10 y 𝐵 tiene coordenadas cinco, cero.

En este punto nos puede ayudar dibujar un triángulo rectángulo en el gráfico. De esta forma podremos calcular el cambio en 𝑦 y el cambio en 𝑥, también conocidos como la elevación y el avance, respectivamente. Sustituimos las coordenadas 𝑦 en la fórmula y obtenemos cero menos 10. Sustituimos las coordenadas 𝑥 y obtenemos cinco menos cero. No importa qué punto es 𝑥 uno, 𝑦 uno y qué punto es 𝑥 dos, 𝑦 dos. Pero debemos ser consistentes respecto al orden. Cero menos 10 es menos 10. Cinco menos cero es cinco. Menos 10 entre cinco es menos dos. Por lo tanto, la pendiente de la función representada por la gráfica es menos dos.

Vamos a comprobar la respuesta usando la gráfica y fijándonos en la elevación y el avance. La elevación es menos 10, pues la coordenada 𝑦 cae de 10 a cero. El avance es cinco, pues la coordenada 𝑥 va de cero a cinco. Al igual que antes, obtenemos menos 10 entre cinco. Es importante señalar que si una recta «sube» de izquierda a derecha, entonces tendrá una pendiente positiva. Y si una recta «baja» de izquierda a derecha, entonces tendrá una pendiente negativa. Si nuestra recta «baja» de izquierda a derecha es porque tiene una pendiente negativa.

Veamos ahora una segunda cuestión en la que también se nos da una gráfica.

Calcula la pendiente de la recta representada en la gráfica.

Sabemos que una recta es una función lineal que puede escribirse en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente o inclinación de la recta. El valor de 𝑚 puede calcularse utilizando la fórmula 𝑦 dos menos 𝑦 uno dividido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Esta es la variación en la coordenada 𝑦 sobre la variación en la coordenada 𝑥, o, dicho de otra forma, la elevación dividido por el avance. Comenzamos seleccionando dos puntos en la recta, 𝐴 y 𝐵, con coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos. Aunque no importa qué dos puntos elijamos, es conveniente elegir aquellos con coordenadas de valores enteros cuando sea posible.

En este problema vamos a considerar los dos puntos que se muestran en la gráfica. El punto 𝐴 tiene coordenadas cero, uno y el punto 𝐵 tiene coordenadas dos, siete. Llegados aquí, lo mejor es dibujar un triángulo rectángulo en el gráfico para representar la elevación y el avance. La elevación en este caso es seis, pues la variación en la coordenada 𝑦 es seis. El avance es dos. Por lo tanto, deducimos que la pendiente es seis entre dos, que es tres.

Vamos a comprobar si esto es así sustituyendo nuestras coordenadas en la fórmula. Las coordenadas 𝑦 eran siete y uno. Y las correspondientes coordenadas 𝑥 eran dos y cero. Esto se simplifica a seis medios, que, efectivamente, es tres. La pendiente de la recta en la gráfica es tres. Como ya hemos visto, si una recta está inclinada hacia arriba de izquierda a derecha tendrá una pendiente positiva. Y como tres es un número positivo, nuestra respuesta es correcta.

Veamos ahora un problema en el que se nos pide calcular la pendiente de una función lineal a partir de una tabla de valores.

¿Cuál es la pendiente de la función lineal representada por la tabla siguiente?

Sabemos que la ecuación de una función lineal puede escribirse en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente o gradiente de la función y 𝑏 es la intersección con el eje de las 𝑦. Podemos calcular el valor de la pendiente 𝑚 utilizando la siguiente fórmula, 𝑦 dos menos 𝑦 uno partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Esto es el cambio en la coordenada 𝑦 dividido por el cambio en la coordenada 𝑥, donde dos puntos 𝐴 y 𝐵 tienen coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos, respectivamente.

En la tabla tenemos tres pares de coordenadas, en primer lugar, cero, cuatro. Nuestro segundo par de coordenadas tiene la abscisa 𝑥 igual a dos y la ordenada 𝑦 igual a 10. El tercer par de coordenadas, que denotamos 𝐶, es cuatro, 16. Podemos elegir dos cualesquiera de entre estos pares de coordenadas. Vamos a comenzar utilizando las del punto 𝐴 y 𝐵. Las coordenadas 𝑦 de estos dos puntos son 10 y cuatro. Las correspondientes coordenadas 𝑥 son dos y cero. La pendiente 𝑚 es 10 menos cuatro sobre dos menos cero. Esto se simplifica a seis medios, por lo que la pendiente es tres.

Podemos comprobar si esta respuesta es correcta haciendo el mismo cálculo con dos puntos distintos, por ejemplo, el punto 𝐴 y el punto 𝐶. Esta vez la pendiente es 16 menos cuatro sobre cuatro menos cero. 12 entre cuatro es también tres. Y obtendremos la misma respuesta si utilizamos los puntos 𝐵 y 𝐶. La pendiente de la función lineal representada por la tabla es tres.

También podemos hallar la respuesta fijándonos bien en la tabla. El cambio en los valores de 𝑥 entre el primer punto y el segundo es más dos. El cambio en los valores de 𝑦 entre los dos primeros puntos es más seis. Como la pendiente es igual al cambio en los valores de 𝑦 entre el cambio en los valores de 𝑥, esto también nos da una respuesta de tres. Por cada unidad que aumente el valor de 𝑥, el valor de 𝑦 aumentará en tres unidades.

En el problema siguiente se nos dará una gráfica basada en una situación del mundo real.

La gráfica representa la distancia que recorrió Amelia en su paseo de dos horas en bicicleta. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? A) Viajó a una velocidad constante de cuatro millas por hora durante la última hora. B) Viajó a una velocidad constante de 10 millas por hora durante todo el recorrido. C) Viajó a una velocidad constante de ocho millas por hora durante la última hora. O D) Viajó a una velocidad constante de siete millas por hora durante todo el recorrido.

Podemos ver a partir de la gráfica que el eje de las 𝑥 representa el tiempo en horas y el eje de las 𝑦 representa la distancia en millas. La rapidez y la velocidad en una gráfica posición-tiempo pueden calcularse dividiendo la variación de la posición entre dos puntos por la variación del tiempo. Si la gráfica es una recta durante todo el trayecto, entonces la velocidad es constante. Si nos fijamos en la gráfica podemos ver que tres partes del viaje tienen diferentes pendientes o gradientes. Esto significa que, durante estas tres partes, Amelia viajó a distintas velocidades.

Así que descartamos las opciones B y D, pues afirman que Amelia viajó a una velocidad constante durante todo el viaje. Esto es incorrecto, pues sabemos que viajó a tres velocidades diferentes. Las otras dos afirmaciones se refieren solo a la última hora del viaje de Amelia. Esto se produce entre los puntos 𝐴 y 𝐵 en la gráfica. Podemos calcular la pendiente entre dos puntos cualesquiera en la gráfica usando la siguiente fórmula, 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Esto es el cambio en las coordenadas 𝑦 dividido por el cambio en las coordenadas 𝑥, en este caso la variación en la posición sobre la variación en el tiempo.

El punto 𝐴 tiene coordenadas uno, 10 y el punto 𝐵 tiene coordenadas dos, 14. Las coordenadas 𝑦, o sea, las posiciones en este caso, son 14 y 10. Las coordenadas 𝑥 correspondientes son dos y uno. 14 menos 10 es cuatro y dos menos uno es uno. Esto significa que la pendiente de la recta entre los puntos 𝐴 y 𝐵 es cuatro. También podríamos haber resuelto esto trazando un triángulo rectángulo en el gráfico. Podemos ver aquí que la distancia ha aumentado de 10 a 14. Y el tiempo ha pasado de una hora a dos horas. Cuatro entre uno es cuatro. Así que de nuevo, la pendiente es igual a cuatro.

Como la pendiente en una gráfica posición-tiempo es igual a la velocidad, concluimos que la velocidad en la última hora fue de 4 millas por hora. Esto descarta la opción C, y por lo tanto, la opción A es la correcta. Amelia se desplazó a una velocidad constante de cuatro millas por hora durante la última hora.

Repasemos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. La gráfica de una función lineal es una recta. Una función lineal tiene una tasa de variación constante, lo que significa que la diferencia en las coordenadas 𝑦 de dos puntos cualesquiera en la recta es proporcional a la diferencia en sus coordenadas 𝑥. Esta razón de cambio es la pendiente de la recta. La ecuación de una recta se escribe generalmente en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente o gradiente de la recta y 𝑏 es la ordenada en el origen, o sea, la intersección de la recta con el eje de las 𝑦. Es la ordenada del punto donde la recta corta el eje de las 𝑦.

Por último, la pendiente de una recta 𝑚 es la tasa de variación vertical con respecto a la variación horizontal entre dos puntos. Para dos puntos 𝐴 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝐵 𝑥 dos, 𝑦 dos en una recta, la pendiente 𝑚 es igual a 𝑦 dos menos 𝑦 uno dividido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Si este número es positivo, la recta se inclinará hacia arriba de izquierda a derecha. Y si es negativo, se inclinará hacia abajo de izquierda a derecha.