Vídeo: Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

En este vídeo vamos a aprender cómo dibujar curvas dadas por un par de ecuaciones paramétricas en dos dimensiones.

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Transcripción del vídeo

Para sacar máximo provecho de este vídeo es conveniente saber cómo trazar curvas dadas por ecuaciones del tipo 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Para hacer esto, normalmente analizarás las asíntotas, las intersecciones con los ejes, los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

En esta lección vamos a aprender cómo dibujar curvas que están definidas por medio de un tercer parámetro, 𝑡. Como puedes ver, estas curvas están definidas paramétricamente por las ecuaciones 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. Supongamos que una partícula se mueve en el plano 𝑥𝑦 a lo largo de una curva 𝑐, como se muestra. No es posible definir esta curva de la manera habitual, esto es, expresando 𝑦 como una función de 𝑥, pues la prueba de la recta vertical falla. Pues algunos valores de entrada tienen más de un valor de salida. En otras palabras, para un valor de 𝑥 igual a 𝑎, podemos tener más de una salida 𝑦.

En vez de eso, vamos a emplear otras maneras de representar curvas de esta forma. Y lo hacemos introduciendo un nuevo parámetro: el tiempo 𝑡. De esta forma las coordenadas 𝑥 y 𝑦 son expresadas como funciones de tiempo, de modo que 𝑥 es 𝑓 de 𝑡 — 𝑥 es una función del tiempo — y 𝑦 es 𝑔 de 𝑡 — 𝑦 es otra función del tiempo. Cada punto de nuestra curva viene representado por un par ordenado, 𝑓 de 𝑡, 𝑔 de 𝑡. Y cuando 𝑡 varía, recorre nuestra curva 𝑐, la cual denominamos curva paramétrica. Es muy importante saber cómo representar este tipo de curvas con soltura. Para ello vamos a señalar unos puntos clave. Además, hay algunas curvas cuya forma es importante conocer. Vamos a considerarlas también.

Considera las ecuaciones paramétricas 𝑥 de 𝑡 igual a 𝑡 al cuadrado más dos y 𝑦 de 𝑡 igual a tres 𝑡 menos uno, que es mayor que menos dos y menor que uno. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa las ecuaciones dadas?

Tenemos un par de ecuaciones paramétricas y se nos pide que identifiquemos la curva en el intervalo abierto para 𝑡 desde menos dos hasta uno. Lo que primero tenemos que hacer es hallar pares de coordenadas que satisfagan nuestras ecuaciones paramétricas. Y aunque no tengamos que incluir 𝑡 igual a menos dos y 𝑡 igual a uno, sabemos que 𝑡 se acerca a ambos valores. Así que vamos a aplicar el método de sustitución directa para hallar el par de coordenadas al que se acerca nuestra curva en los extremos del intervalo abierto.

Queremos determinar qué gráfica representa nuestra ecuación. Para ello elegimos siete valores de 𝑡. Si en vez de eso estuviéramos dibujando la gráfica completamente, entonces deberíamos usar más valores de 𝑡, por ejemplo usando intervalos de 0.25 de anchura, en vez de 0.5.

Para hallar las coordenadas 𝑥 y 𝑦, sustituimos cada valor de 𝑡 en las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, cuando 𝑡 es menos dos, 𝑥 es igual a menos dos al cuadrado más dos, que es seis. Y cuando 𝑡 es menos dos, 𝑦 es igual a tres por menos dos menos uno, que es menos siete. Cuando 𝑡 es menos 1.5, 𝑥 es igual a menos 1.5 al cuadrado más dos, que es 4.25. Y cuando 𝑡 es igual a menos 1.5, 𝑦 es igual a tres por menos 1.5 menos uno, lo que nos da un valor de 𝑦 de menos 5.5.

Seguimos así y sustituimos 𝑡 igual a menos uno en 𝑥 para obtener tres, y en 𝑦 para obtener menos cuatro. Cuando sustituimos 𝑡 igual a menos 0.5, obtenemos 𝑥 igual a 2.25 y 𝑦 igual a menos 2.5. Cuando 𝑡 es cero, el par de coordenadas es dos, menos uno. Y los dos últimos valores de 𝑡 nos dan pares de coordenadas de 2.25, 0.5 y tres, dos.

Podríamos ahora representar cada par ordenado en un sistema de coordenadas. Pero queremos hallar cuál de las gráficas que nos dan representa nuestro par de ecuaciones paramétricas. El primer par ordenado que queremos hallar es seis, menos siete. Está aquí. Luego hallamos 4.25, menos 5.5, que está por aquí. Y como nos suponíamos, los cinco pares ordenados que quedan se encuentran en esta línea.

Fíjate en cómo las flechas indican el sentido en el que está trazada la gráfica. Nuestra curva está dibujada haciendo uso de valores crecientes de 𝑡 desde menos dos hasta 𝑡 igual a uno. Y vemos que la gráfica que representa las ecuaciones paramétricas 𝑥 de 𝑡 igual a 𝑡 al cuadrado más dos y 𝑦 de 𝑡 igual a tres 𝑡 menos uno es la C.

Como ves, esto tiene el aspecto de parte de una parábola. Vamos a resolver ecuaciones simultáneas para eliminar el parámetro 𝑡. Al hacerlo obtenemos la ecuación de una parábola, pero se trata de una parábola acostada. Hay varias ecuaciones paramétricas especiales cuya representación gráfica es conveniente aprender.

Considera las ecuaciones paramétricas 𝑥 de 𝑡 igual a dos seno de 𝑡 y 𝑦 de 𝑡 igual a tres coseno de 𝑡, siendo 𝑡 mayor que cero y menor que tres 𝜋. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa estas ecuaciones?

Se nos dan un par de ecuaciones paramétricas y tenemos que hallar la gráfica de la curva en el intervalo abierto para 𝑡 desde cero hasta tres 𝜋. Para ello tenemos que hallar pares de coordenadas que satisfagan nuestras ecuaciones paramétricas. Aunque no tengamos que incluir 𝑡 igual a cero y 𝑡 igual a tres 𝜋, sabemos que 𝑡 se aproxima a estos valores. Así que vamos a aplicar el método de sustitución directa para hallar el par de coordenadas al que se acerca nuestra curva en los extremos del intervalo abierto.

Vamos a elegir intervalos de anchura 𝜋 sobre dos radianes. Si estuviéramos dibujando la curva, elegiríamos, por ejemplo, 𝜋 sobre cuatro como nuestra anchura de subintervalos. Pero solo queremos comparar nuestras coordenadas con las gráficas que tenemos. Para hallar el primer par ordenado, hacemos 𝑡 igual a cero en cada una de las ecuaciones paramétricas. Y obtenemos 𝑥 igual a dos seno de cero y 𝑦 igual a tres coseno de cero. El primer par ordenado es cero, tres.

Seguidamente hacemos 𝑡 igual a 𝜋 sobre dos. Y obtenemos 𝑥 igual a dos seno de 𝜋 sobre dos y 𝑦 igual a tres coseno de 𝜋 sobre dos. De esta forma obtenemos que 𝑥 es igual a dos y que 𝑦 es igual a cero. Seguimos haciendo esto y sustituimos 𝑡 igual a 𝜋 para obtener dos seno de 𝜋 para 𝑥 y tres coseno de 𝜋 para 𝑦, resultando en un par ordenado de cero, menos tres. Sustituimos 𝑡 igual a tres 𝜋 sobre dos en cada ecuación, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos dos y que 𝑦 es igual a cero. Para 𝑡 igual a dos 𝜋, obtenemos el par ordenado cero, tres. Y los dos últimos pares ordenados ocurren cuando 𝑡 es igual a cinco 𝜋 sobre dos y tres 𝜋. Y son dos, cero, y cero, menos tres, respectivamente.

Vamos a compararlos ahora con las gráficas. Debemos asegurarnos de que nos movemos en valores crecientes de 𝑡. Comenzamos en 𝑡 igual a cero y seguimos hasta 𝑡 igual a tres 𝜋. De esta forma nos quedamos con las opciones B o C. Nos estamos moviendo en el sentido de las agujas del reloj. Así que nos interesa la opción C. Como ya te habrás dado cuenta, los valores se repiten. Es evidente, que, por la forma de nuestra curva, este patrón continuará sin fin. La gráfica de las ecuaciones 𝑥 de 𝑡 igual a dos seno 𝑡 y 𝑦 de 𝑡 igual a tres coseno de 𝑡 es la C.

¿Puedes predecir cuál sería la forma de la gráfica si nuestra ecuación para 𝑥 fuera tres seno de 𝑡? Los valores para 𝑡 igual a 𝜋 sobre dos, 𝑡 igual a tres 𝜋 sobre dos y 𝑡 igual a cinco 𝜋 sobre dos serían igual a tres, menos tres y tres, respectivamente. Si lo comparamos con nuestras curvas, vemos que sería una circunferencia. Lo confirmamos eliminando el parámetro 𝑡 y usando la identidad trigonométrica seno al cuadrado de 𝑥 más coseno al cuadrado de 𝑥 igual a uno. Elevamos al cuadrado las ecuaciones de 𝑥 y de 𝑦. Y obtenemos que 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es igual a nueve por seno al cuadrado de 𝑡 más nueve por coseno al cuadrado de 𝑡. Factorizamos el nueve y reescribimos el lado derecho como nueve por seno al cuadrado de 𝑡 más coseno al cuadrado 𝑡. Como seno al cuadrado de 𝑡 más coseno al cuadrado de 𝑡 es igual a uno, obtenemos nueve por uno, que es nueve.

Esto se corresponde con la ecuación general de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 𝑟. Si comparamos la gráfica con nuestra ecuación, vemos que tenemos una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y un radio de tres. En general decimos que las ecuaciones paramétricas de una circunferencia con centro en el origen y radio 𝑟 son 𝑥 igual a 𝑟 coseno de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑟 seno de 𝑡. 𝑡 toma valores desde cero hasta dos 𝜋. Pues, después de este valor, las posiciones se repiten.

Podemos generalizar esto aún más. Y vemos que las ecuaciones paramétricas de una circunferencia con centro en 𝑥 cero, 𝑦 cero y de radio 𝑟 son 𝑥 igual a 𝑥 cero más 𝑟 coseno de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑦 cero más 𝑟 seno de 𝑡, siendo 𝑡 mayor o igual que cero y menor o igual que dos 𝜋. En el último ejemplo vamos a ver una curva muy especial representada por ecuaciones paramétricas. Esta curva se conoce como cardioide.

Dibuja la curva definida por las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a dos coseno de 𝑡 menos coseno de dos 𝑡 y 𝑦 igual a dos seno de 𝑡 menos seno de dos 𝑡, donde 𝑡 es mayor o igual que cero y menor o igual que dos 𝜋.

Como ves, tenemos un par de ecuaciones paramétricas y se nos pide que dibujemos la curva en el intervalo cerrado para 𝑡 desde cero hasta dos 𝜋. Primero hallamos un par de coordenadas que satisfagan nuestras ecuaciones paramétricas. Y como esta vez estamos dibujando la curva en vez de identificando solo la gráfica, elegimos valores de 𝑡 con diferencias de 𝜋 sobre cuatro radianes. Eso es cero, 𝜋 sobre cuatro, 𝜋 sobre dos, tres 𝜋 sobre cuatro… y así hasta dos 𝜋.

Comenzamos sustituyendo 𝑡 igual a cero en 𝑥. Eso es dos coseno de cero menos coseno de dos por cero, que es uno. Seguidamente sustituimos cero en la ecuación de 𝑦. Es dos del seno de cero menos seno de dos por cero, que es cero. Reemplazamos 𝑡 igual a 𝜋 sobre cuatro en 𝑥, y obtenemos dos coseno de 𝜋 sobre cuatro menos coseno de dos por 𝜋 sobre cuatro. Y dos por 𝜋 sobre cuatro es 𝜋 sobre dos. Eso es raíz cuadrada de dos.

Repetimos el mismo procedimiento para 𝑦, y obtenemos dos del seno de 𝜋 sobre cuatro menos seno de 𝜋 sobre dos, que es menos uno más raíz cuadrada dos. Es más fácil graficar los valores si están en forma decimal. Si redondeamos la respuesta a tres cifras decimales, obtenemos 1.414 y 0.414. Los pares de coordenadas restantes que nos interesan son uno, dos; menos 1.414, 2.414; menos tres, cero; etcétera.

Si dibujamos estas curvas en los ejes de coordenadas obtenemos algo así. A continuación unimos los puntos y añadimos flechas para mostrar el sentido en el que se está trazada la curva. Recuerda que debemos hacer esto siguiendo los valores de 𝑡 desde el más pequeño al más grande. Y hemos dibujado la curva definida por las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a dos coseno de 𝑡 menos coseno de dos 𝑡 y 𝑦 igual a dos del seno de 𝑡 menos seno de dos 𝑡. Esta curva tiene un nombre un poco particular. Se denomina cardioide.

Seguro que ya te has dado cuenta de que este nombre se parece a la palabra «cardiaco», relativa al corazón. Y esta curva se genera fácilmente pues es la curva que sigue un punto en una circunferencia que rueda alrededor de otra circunferencia del mismo radio.

Solemos usar la forma polar para representarlas. Pero la ecuación de la curva que denominamos cardioide horizontal, como esta, en forma paramétrica es 𝑥 igual a 𝑎 por dos coseno de 𝑡 menos coseno de dos 𝑡, 𝑦 igual a 𝑎 dos por seno de 𝑡 menos seno de dos 𝑡. Si invertimos 𝑥 y 𝑦 — de modo que 𝑥 es igual a 𝑎 dos seno de 𝑡 menos seno dos 𝑡 y 𝑦 es igual a 𝑎 dos coseno de 𝑡 menos coseno de dos 𝑡 — obtenemos una curva cardioide vertical. Esta curva se parece un poco más a un corazón que se encuentra en la orientación usual.

En este vídeo hemos aprendido que podemos trazar una curva paramétrica elaborando una tabla de valores y representándolos en el sentido en el que queremos trazar esta curva. También hemos visto que las ecuaciones paramétricas de una circunferencia con centro 𝑥 cero, 𝑦 cero y radio 𝑟 son 𝑥 igual a 𝑥 cero más 𝑟 coseno de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑦 cero más 𝑟 seno de 𝑡, para valores de 𝑡 en el intervalo cerrado desde cero hasta dos 𝜋. Por último, hemos analizado una curva particular llamada cardioide que ocurre con ecuaciones de la forma que hemos visto. Y que, si invertimos las ecuaciones de 𝑥 y de 𝑦, obtenemos una curva cardiode con una orientación distinta.

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