Transcripción del vídeo
Probabilidad experimental
En este vídeo vamos a aprender lo que es la probabilidad experimental y cómo calcularla a partir de datos.
Antes de comenzar es importante que recuerdes que la probabilidad es la posibilidad de que ocurra un suceso. Por ejemplo, podemos decir que la probabilidad de que llueva mañana es 0.1, o que la probabilidad de que el puntero caiga en el cinco al girar esta ruleta es un cuarto. Los valores que hemos usado para expresar la probabilidad siempre han estado entre cero y uno, y pueden escribirse como una fracción, un decimal o un porcentaje. En este vídeo vamos a hablar de la probabilidad experimental de un suceso. Esto también se conoce como frecuencia relativa. Vamos a hacer estimaciones de la posibilidad de que ocurra un suceso basándonos en los resultados de una serie de experimentos aleatorios.
Supongamos que queremos calcular la probabilidad experimental al lanzar una moneda, donde podemos sacar cara o cruz. Vamos a elaborar una tabla para anotar los resultados. Por ejemplo, si lanzamos la moneda seis veces, y obtenemos cuatro caras y dos cruces, anotaríamos los resultados de la siguiente manera. Aquí, la frecuencia es el total de cada categoría. Y el número seis corresponde al número total de pruebas. Si continuamos con el experimento, podemos obtener ocho caras y 12 cruces de un total de 20 lanzamientos.
En un experimento mucho mayor de 1000 pruebas, podríamos obtener los siguientes resultados. Si queremos calcular la probabilidad de obtener cruz al lanzar esta moneda, usamos la notación de 𝑃 y escribimos cruz entre paréntesis. Como hemos hallado que la frecuencia de sacar cruz es 518, expresamos esto como una fracción de 518 sobre 1000, pues la frecuencia total es 1000. Puedes simplificar más esta fracción o escribirla como un decimal, si quieres.
Hemos aplicado el método general para calcular la probabilidad experimental de un suceso, que nos da la frecuencia relativa o probabilidad experimental del suceso E, donde la probabilidad del suceso E es igual al número de veces que ocurre E dividido por el número total de ensayos o pruebas. Antes de ver algunos ejemplos, vamos a reflexionar sobre por qué usamos probabilidad experimental. Al fin y al cabo, si observamos una moneda y queremos calcular la probabilidad de obtener cruz al lanzar la moneda, podemos usar el hecho de que, como solo tenemos una cruz de entre dos posibles opciones. Entonces, lo más seguro es que la probabilidad de obtener cruz es un medio, que es la probabilidad teórica de obtener cruz al lanzar una moneda.
Por lo tanto, para responder a la pregunta de por qué usamos probabilidad experimental, debemos referirnos a los casos en los que no podemos usar la probabilidad teórica —la probabilidad clásica—, por ejemplo, si tenemos una moneda asimétrica o un dado irregular. La probabilidad experimental se utiliza muchísimo en la investigación científica, en economía, medicina y en ciencias sociales. En estos casos, se realizan encuestas o experimentos para calcular la probabilidad de obtener ciertos resultados. Si usamos probabilidad experimental, debemos asegurarnos de que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para obtener los resultados más precisos posibles.
Veamos ahora algunas cuestiones sobre probabilidad experimental.
La tabla muestra los resultados de una encuesta en la que se preguntó a 20 estudiantes cuál era su desayuno favorito. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar prefiera desayunar huevos?
En esta cuestión, para calcular la probabilidad, vamos a calcular la probabilidad experimental, que también se denomina frecuencia relativa. Podemos usar la fórmula que dice que la frecuencia relativa de un suceso E es igual al número de veces que E ocurre dividido por el número total de pruebas. De esta forma, en este problema, para calcular la probabilidad de que un estudiante prefiera desayunar huevos, debemos hallar la frecuencia relativa de los estudiantes que prefieren huevos y será igual al número de estudiantes que prefieren huevos dividido entre el número total de estudiantes.
Seguidamente usaremos la tabla para anotar que hay 10 estudiantes que prefieren huevos y que hay 20 estudiantes en total. Aunque no se nos hubiera dicho que se realizó la encuesta a los 20 estudiantes, podríamos haber calculado este valor sumando los valores de 10, dos y ocho en la tabla. Y simplificamos nuestra fracción de 10 sobre 20 a un medio. De esta forma, nuestra respuesta final en forma decimal para la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar prefiera desayunar huevos es 0.5. En este caso, las fracciones 10 sobre 20 y un medio, y el decimal 0.5 son todas respuestas válidas para expresar la probabilidad.
Un juego en un festival consistía en que los participantes lanzasen una pelota de béisbol a través de un neumático. De los primeros 68 participantes, tres ganaron un primer premio, 12 un segundo y 15 un tercer premio. ¿Cuál es la probabilidad experimental de no ganar ninguno de los tres premios?
Vamos a pensar detenidamente en la información que se nos ha dado. Tres personas ganaron un primer premio, 12 personas ganaron un segundo premio y 15 personas ganaron un tercer premio. Y se nos dice que hubo 68 participantes en el juego. Si sumamos las tres, las 12 y las 15 personas que ganaron un premio, obtendremos 30, lo que significa que debe haber 38 personas que no ganaron ningún premio, pues si calculamos la diferencia de 68 y 30 obtenemos 38.
Sin embargo, en el problema no se nos pregunta cuántas personas no ganaron un premio, sino que se nos pide que calculemos la probabilidad experimental. Como hemos visto, la probabilidad experimental de un suceso E. Es igual al número de veces que E ocurre dividido por el número total de ensayos. Podemos responder a esta pregunta usando dos métodos distintos, pero usaremos la misma fórmula para ambos.
En el primer método, podemos escribir que la probabilidad de no ganar un premio es igual al número de ganadores no premiados dividido por el número de participantes. Y, por lo tanto, como tenemos 38 personas que no ganaron un premio dividido por 68 personas en total, en forma de fracción esto es 38 sobre 68. Simplificamos más esta fracción y obtenemos 19 sobre 34. Vamos a anotar este valor aquí arriba para que cuando borremos la pantalla y usemos el segundo método, podamos comprobar que ambos métodos dan el mismo resultado.
Para el segundo método, vamos a aplicar el teorema de la probabilidad total, que nos dice que la suma de todas las probabilidades es igual a uno. En el método que acabamos de ver, hemos calculado la probabilidad de no ganar un premio. En el segundo método, vamos a calcular la probabilidad de ganar un premio y luego vamos a restarla a uno. Así que en el segundo método, vamos a calcular la probabilidad de ganar un premio, que es igual al número de ganadores premiados dividido por el número de participantes.
Si sumamos todos los ganadores premiados obtenemos 30. Y como todavía tenemos 68 participantes, entonces el resultado es 30 sobre 68. Simplificamos la fracción y obtenemos 15 sobre 34. Ahora, si aplicamos el teorema de la probabilidad total, tenemos que la probabilidad de no ganar un premio es uno menos 15 sobre 34, que es 19 sobre 34, pues podemos escribir uno como la fracción 34 sobre 34. De esta forma hemos demostrado que, usando cualquiera de los dos métodos, obtenemos que la probabilidad experimental de no ganar ningún premio es 19 sobre 34.
En el próximo ejemplo vamos a aprender cómo aplicar la probabilidad experimental de una muestra al resultado de una población más amplia.
Una fábrica de refrescos produce 1400 botellas al día. La fábrica analizó una muestra de 400 unidades y halló que seis eran defectuosas. Calculando la probabilidad experimental de que una botella sea defectuosa, determina cuántas botellas defectuosas se fabrican cada día.
Tenemos una fábrica de bebidas que produce 1400 botellas al día. Quieren comprobar cuántas son defectuosas, pero sin comprobar cada una de las botellas. En vez de eso, toman una muestra de 400 botellas y las comprueban, y hallan que seis de estas 400 botellas son defectuosas. Se nos pide que calculemos la probabilidad experimental de que una botella sea defectuosa.
Sabemos que la probabilidad experimental de un suceso E es igual al número de veces que E ocurre sobre el número total de ensayos. En este problema, para calcular la probabilidad de obtener una botella defectuosa, dividimos el número de botellas defectuosas entre el número total de botellas, que es seis sobre 400, pues hay seis botellas defectuosas en la muestra de 400. Ahora calculamos la probabilidad de obtener una botella defectuosa en nuestra muestra y la aplicamos a la población más amplia de las 1400 botellas que se fabrican en la fábrica. De esta forma, para calcular el número de botellas defectuosas, tomamos la probabilidad seis sobre 400 y la multiplicamos por 1400. Seguidamente, simplificamos esta multiplicación a 42 medios, y obtenemos que la respuesta final es que se espera que haya 21 botellas defectuosas al día.
En el próximo ejemplo vamos a aprender cómo calcular la probabilidad experimental a partir de un conjunto de datos en una tabla. Vamos a tener que estar muy atentos y tener cuidado a la hora de elegir los valores adecuados en este problema.
La tabla muestra las preferencias musicales de un grupo de hombres y mujeres. Calcula la frecuencia relativa de que, al seleccionar una persona al azar, sea una mujer que prefiere la música country. Si es necesario, redondea las respuestas a tres cifras decimales. Calcula también la frecuencia relativa de que una mujer seleccionada al azar prefiera la música rock. Si es necesario, redondea las respuestas a tres cifras decimales.
Vamos a fijarnos en la tabla. Podemos ver, por ejemplo, que hay 13 mujeres que prefieren la música country y que hay 24 mujeres a las que les gusta la música rock. Por lo tanto, concluimos que hay 37 mujeres en este grupo, ya que es la suma de 13 y 24. Análogamente, para calcular el total de hombres en este grupo, en el que hay ocho a los que les gusta la música country y 18 a los que les gusta el rock, debe haber 26 hombres en este grupo. También podemos calcular el número de personas a las que les gusta la música country. Como hay 13 mujeres y 8 hombres a los que les gusta este tipo de música, tenemos 21 personas en total. Del mismo modo, sumamos la columna de música rock y obtenemos que a 42 personas les gusta la música rock.
Podemos calcular el número total de personas en el grupo sumando el total de hombres y el total de mujeres o sumando los totales de los que les gusta la música country y los que les gusta la música rock. Y vemos que de cualquiera de las formas obtendremos que hay 63 personas en el grupo. Vamos a fijarnos en la primera cuestión para calcular la frecuencia relativa.
Recuerda que, para hallar la frecuencia relativa de un suceso E, debemos calcular el número de veces que ocurre E sobre el número total de ensayos. Por lo tanto, para hallar la frecuencia relativa de mujeres a las que les gusta la música country, escribimos el número de mujeres a las que les gusta la música country sobre el número total de personas. De esta forma obtenemos que la frecuencia relativa es 13 sobre 63. Y como se nos ha pedido que escribamos la respuesta con tres decimales, expresamos esta fracción como un decimal. Usamos la calculadora y obtenemos 0.206349 periódico. Para redondear a tres decimales debemos comprobar el cuarto dígito decimal para ver si es un cinco o más. Como no lo es, nuestra respuesta se mantiene como 0.206. Muy bien, ya hemos resuelto la primera parte del problema.
Vamos a hacer un poco de espacio para resolver la segunda parte del problema. Se nos pide que calculemos la frecuencia relativa de que al seleccionar una mujer al azar, esta mujer prefiera la música rock. Para hallar esta frecuencia relativa, necesitamos el número de mujeres a las que les gusta la música rock o las mujeres roqueras. Esta vez, lo escribimos sobre el número total de mujeres y no sobre el número total de personas, pues estamos seleccionando del grupo de las mujeres y no del grupo de personas. De esta forma obtenemos que la frecuencia relativa como fracción es 24 sobre 37. Como decimal es 0.648 periódico. Como tenemos que redondear esto a tres cifras decimales, consideramos que esto es igual a 0.648648, etcétera. De esta forma es más fácil comprobar la cuarta cifra decimal. Y como este dígito es mayor que cinco, nuestro valor será redondeado hacia arriba, a 0.649. Ya hemos hallado la respuesta a la segunda parte del problema.
Vamos a resumir lo que hemos aprendido en este vídeo. La probabilidad experimental de un suceso E es una estimación de la probabilidad del suceso, la probabilidad de E, basada en los resultados de una serie de pruebas o experimentos. La probabilidad experimental, o frecuencia relativa, viene dada por la frecuencia relativa del suceso E, que es igual al número de veces que E ocurre partido por el número total de pruebas. En uno de los ejemplos vimos que puede ser útil aplicar el teorema de la probabilidad total, que dice que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles es igual a uno.
