Lesson Video: Series geométricas

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Series geométricas

En este video, vamos a aprender cómo determinar si una serie geométrica es convergente y, si lo es, cómo hallar su valor. Las series geométricas son muy importantes. Puedes encontrarte con una serie de este tipo cuando trabajas con procesos físicos, como la altura de una pelota que rebota o en diversas áreas de las matemáticas como la geometría fractal. Una serie geométrica puede ser escrita de la siguiente forma usando la notación de sumatoria. Podemos leer esta expresión matemática como la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta infinito de 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛 menos uno. También puedes ver esto representado como la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta infinito de 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛.

Debes saber que esto es simplemente una forma equivalente a la que se llega corriendo un lugar el índice. Para este video, la definición con la que vamos a trabajar es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno. La serie geométrica será, en definitiva, la suma de los siguientes términos. Recuerda que como es una serie infinita tendrá un número infinito de términos. Notarás que podemos especificar completamente nuestra serie geométrica usando solo dos cosas. Nuestro primer término, que es 𝑎, y nuestra razón común, que es 𝑟. Mirando nuestra serie, vemos que cada término sucesivo puede obtenerse multiplicando el término anterior por la razón común. Esta es la propiedad característica de las series geométricas. También cabe señalar que, como resultado directo de esta propiedad, podemos obtener la razón común dividiendo cualquier término por el término anterior. Veamos un ejemplo de serie geométrica para darnos un poco de contexto.

Imaginemos que tenemos una serie geométrica donde el primer término 𝑎 es igual a tres y la razón común 𝑟 es igual a un medio. Los términos en nuestra serie, por supuesto, comenzarán con el primer término, que es un tres. Y lo multiplicamos por la razón común, que es un medio, para obtener cada término siguiente. Por supuesto, esta pauta continuaría para un número infinito de términos. Usando nuestra sumatoria, podríamos expresar esta serie de la siguiente manera: la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta infinito de tres por un medio a la 𝑛 menos uno. En general, cuando trabajamos con una serie, queremos determinar el valor de la suma de la serie. Si una serie es divergente, no podemos asignarle una suma finita. Sin embargo, si una serie es convergente, podemos hacerlo. En la práctica, para una serie en general, a veces resulta muy difícil determinar este valor. Para series geométricas, sin embargo, existe una fórmula sencilla que podemos utilizar. Veamos cómo podemos llegar a esta fórmula.

Primero tendremos que quitarnos de en medio un par de casos. Considera, para empezar, el caso en que nuestro primer término 𝑎 es igual a cero y nuestra razón común 𝑟 toma un valor cualquiera. Como nuestro primer término es cero y lo multiplicamos por la razón común para obtener términos sucesivos, esto significaría que todos nuestros términos serían cero. Obviamente, no tiene sentido crear una suma de ceros. Así que, de aquí en adelante, asumiremos que el caso trivial de 𝑎 igual a cero será ignorado para todos los valores de 𝑟 que exploremos. ¿Qué pasa con el caso en el que nuestra razón común 𝑟 es igual a uno? Aquí, 𝑎 no es igual a cero, pues puede tomar cualquier valor no nulo. Obviamente nuestro primer término es 𝑎 uno. Sabiendo que cada término sucesivo se obtiene multiplicando el término anterior por uno, todos nuestros términos serían iguales al primer término.

Sigamos adelante y consideremos ahora el concepto de suma parcial. La suma parcial 𝑆 𝑛 se define como la suma de los primeros 𝑛 términos de una serie, así que para la serie geométrica que estamos considerando con una razón común de uno, esa suma parcial sería 𝑛 por 𝑎 uno. Como todos nuestros términos son iguales, simplemente hay que multiplicar el primer término 𝑎 uno por la cantidad de términos que tenemos. Podemos usar este resultado junto con un método usual para obtener el valor de una serie infinita. Y este método consiste en tomar el límite de la suma parcial cuando 𝑛 tiende a infinito. Debería ser bastante fácil convencernos de que cuando 𝑛 tiende a infinito, el límite también tiende a más o menos infinito, dependiendo del signo de 𝑎 uno. Y esta es simplemente una forma particular de expresar que el límite no existe.

En definitiva, hemos demostrado de una manera un tanto informal que, si la razón común de una serie geométrica es igual a uno, no podemos hallar su suma. O, dicho de otra forma, la serie es divergente. Podemos extender esta conclusión un poco más aplicando un poco de lógica. ¿Qué pasa cuando nuestra razón común 𝑟 es mayor que uno? La magnitud de cada término sucesivo se haría cada vez más grande. Y es bastante fácil convencernos de que, si esto sucede, nuestra serie será divergente. Así que toda serie geométrica con razón 𝑟 mayor que uno también es divergente. Y no podemos asignar un valor a su suma. Hemos dicho bastante sobre series que no podemos sumar. ¿Qué pasa con las que sí podemos?

Para esto, fijémonos en nuestra suma parcial 𝑆 𝑛. Podemos escribir los términos de nuestra suma parcial de la manera que ya sabemos. Sin embargo, dado que esta no es una suma infinita, vamos a tener un término final, que es 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛 menos uno. Nuestro siguiente paso será multiplicar nuestra suma parcial por la razón común 𝑟. Y enseguida entenderás por qué hemos hecho esto. Al hacerlo, cada uno de los términos de la suma se multiplicará por 𝑟. Y obtenemos un conjunto de términos casi idéntico al anterior, pero parece que cada uno de ellos se ha desplazado un lugar a la derecha. Así que ya no tenemos el término del principio, que es solo 𝑎. Pero hemos añadido un término al final, que es 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛. Llamemos nuestra primera línea ecuación uno y nuestra segunda línea ecuación dos, y veamos qué sucede cuando restamos dos de uno, 𝑆 𝑛 menos 𝑟 por 𝑆 𝑛.

Como todos nuestros términos intermedios son idénticos, se cancelan. Lo que nos queda es 𝑎 menos 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛. Podemos sacar factor común en ambos lados de esta ecuación y luego podemos dividir por uno menos 𝑟. Y, ¡aquí está!, hemos obtenido una fórmula bien para la suma parcial de 𝑛 términos. Pero ¿qué pasa con sumas infinitas, como la serie infinita que estamos considerando? Vamos a hacer un poco de sitio para continuar. Usemos el mismo método que antes, pero tomando ahora el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de la suma parcial. Para obtener el resultado deseado, debemos considerar lo siguiente. Si nuestra razón común 𝑟 está entre menos uno y uno, cuando 𝑛 tiende a infinito, 𝑟 a la 𝑛 tiende a cero. Esto se debe a que estamos multiplicando un número que es menor que uno en magnitud por sí mismo varias veces. Por tanto, se hará cada vez más pequeño.

Podemos expresar esto en forma de límite escribiendo que el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑟 a la 𝑛 es igual a cero. Recuerda, esto es cierto si se satisface esta desigualdad. En realidad, es más común ver esta desigualdad escrita en la forma magnitud o valor absoluto de 𝑟 menor que uno. Volvamos a nuestros cálculos y apliquemos lo que hemos descubierto. Lo primero que hacemos es sacar 𝑎 dividido por uno menos 𝑟 de nuestro límite. A continuación, hacemos uso de que, cuando 𝑛 tiende a infinito, 𝑟 a la 𝑛 tiende a cero, suponiendo que el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno. Esto significa que podemos expresar nuestro límite como uno menos cero. Y uno menos cero es simplemente uno. Lo que acabamos de demostrar es que, en este caso particular, cuando el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno, el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de la suma parcial es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟.

Recuerda que estamos usando este límite para hallar el valor de nuestra serie geométrica. Como el límite existe y es finito, nuestra serie geométrica es convergente. Y su suma es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟. Ten en cuenta que, si hubiéramos considerado el caso en el que el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual a uno, habríamos hallado que el límite no existía y que, por lo tanto, nuestra serie geométrica sería divergente. Y ahora hemos llegado a nuestra conclusión.

Resumamos esta información para que sea más fácil de entender. Aquí tenemos una representación general de una serie geométrica con primer término 𝑎 y razón común 𝑟. La serie es convergente si el valor absoluto de la razón común 𝑟 es menor que uno. Y el valor de la suma en este caso es 𝑎 dividido por uno menos 𝑟. Si, en cambio, el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno, la serie es divergente. Hemos hecho mucho aquí, pero con suerte esta sección final habrá mostrado la información importante. A continuación tenemos algunos ejemplos para ver cómo podemos aplicar lo que hemos aprendido.

¿La serie 884 más 884 dividida por nueve más 884 dividida por 81 etcétera es convergente o divergente?

Para esta cuestión, nos han dado una serie. En realidad, no nos han dado muchos términos. Pero si nos fijamos en los que nos han dado, vemos que cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el término anterior por uno sobre nueve. Esta es la propiedad característica de las series geométricas. La representación general de una serie geométrica se muestra aquí. Esta es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta infinito de 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛 menos uno. Las series geométricas pueden caracterizarse por el primer término 𝑎 y la razón común 𝑟. Y sabemos, por supuesto, que se pueden hallar términos sucesivos multiplicando el término anterior por la razón común. Y podemos extender esta regla y decir que la razón común se puede encontrar dividiendo cualquier término por el término que viene antes.

Si intentamos hacer coincidir la serie que nos dan en nuestra pregunta con la forma general de una serie geométrica, podemos ver que tenemos un primer término 𝑎 de 884. Y tenemos una razón común 𝑟 de uno sobre nueve. Para expresar la serie en la cuestión usando la sumatoria, solo tenemos que reemplazar 𝑎 con 884 y 𝑟 con uno sobre nueve en nuestra representación general de una serie geométrica. Como hemos visto antes, cuando trabajamos con series geométricas, podemos usar el siguiente resultado. Si el valor absoluto de la razón común 𝑟 es menor que uno, la serie es convergente. Y si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno, esta serie es divergente. Tenemos una razón común 𝑟 de uno sobre nueve, y vemos claramente que el valor absoluto de uno sobre nueve es menor que uno. Esto nos permite concluir que la serie dada en nuestra pregunta es convergente. Aplicando la fórmula, hemos sido capaces de responder la pregunta y hemos concluido que la serie dada es convergente.

Sigamos con otro ejemplo.

Halla la razón común de una progresión geométrica sabiendo que la suma es 52 y el primer término es 14.

Para esta cuestión, nos han pedido que hallemos la razón común de una progresión geométrica infinita. Lo primero que debemos saber es que las progresiones y las series están estrechamente relacionadas. Nos han dicho que la suma de nuestra secuencia es 52. En este punto, recordamos que la suma de una secuencia infinita es una serie infinita. O sea, que podemos usar las herramientas para una serie geométrica infinita para esta cuestión. Primero, recordamos la forma general de una serie geométrica infinita. Este tipo de serie se puede caracterizar por un primer término 𝑎 y una razón común 𝑟 de modo que términos sucesivos se obtienen multiplicando el término anterior por la razón común.

Una regla general que podemos usar para progresiones geométricas es que, si el valor absoluto de la razón común 𝑟 es menor que uno, la serie es convergente. Si este es el caso, el valor de la suma es igual al primer término 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, la razón común. Si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno, la serie es divergente. Y, por supuesto, para una serie divergente no podemos asignarle un valor a esta suma. Volviendo a nuestra cuestión, lo primero que podemos notar es que la cuestión ha asignado un valor finito a la suma. Esto significa que la serie es convergente, y podemos ignorar el caso de una serie divergente. También significa que nuestra suma se puede expresar como 𝑎 dividido por uno menos 𝑟. Y esto es igual a 52.

La otra información que nos han dado es que el primer término es 14. Y podemos usar el valor dado para 𝑎 para hallar el valor desconocido para 𝑟 usando nuestra ecuación. Primero sustituimos 𝑎 por 14. Queremos despejar 𝑟, que es la razón común que la cuestión está pidiendo. Para ello multiplicamos ambos lados por uno menos 𝑟, y multiplicamos ambos términos entre paréntesis por 52. Luego restamos 52 de ambos lados de nuestra ecuación. Y como paso final, dividimos ambos lados por menos 52. Al hacerlo, obtenemos que el valor de 𝑟, la razón común, es 19 dividido por 26. Con este paso, hemos respondido nuestra pregunta. Hemos utilizado la información dada y nuestro conocimiento de las series geométricas y cómo se relacionan con las progresiones geométricas para hallar que la razón común es 19 sobre 26.

Como nota rápida, si la pregunta nos hubiera pedido que expresáramos la serie, podríamos haberlo hecho usando la sumatoria, como se muestra aquí. Veamos un ejemplo en el que nos piden hallar la suma de una serie.

¿La serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta infinito de tres por uno sobre 10 a la 𝑛 menos uno converge o diverge? Si converge, halla el valor de la suma de la serie.

Lo primero que debemos comprobar es que nos han dado una serie geométrica infinita. La forma general de este tipo de serie se muestra aquí usando la sumatoria como con esta cuestión. Y sabemos que una serie de este tipo está determinada por un primer término 𝑎 y una razón común 𝑟. Un resultado general que usamos para las series geométricas es que, si el valor absoluto de la razón común es menor que uno, la serie es convergente. Y el valor de la suma es igual al primer término 𝑎 dividido por uno menos la razón común 𝑟. Si, en cambio, el valor absoluto de la razón común es mayor o igual que uno, la serie es divergente y no podemos asignarle un valor a su suma. Todo esto es interesante, pero veamos cómo se aplica a nuestra cuestión.

Si observamos nuestra pregunta, vemos que la serie que nos han dado coincide exactamente con la forma general de una serie geométrica con la que deberíamos estar familiarizados. Tenemos un primer término 𝑎 de tres. Y tenemos una razón común 𝑟 de uno sobre 10. Podemos ver que el índice de 𝑛 igual a uno es el mismo en nuestras dos sumas, al igual que los exponentes en nuestra razón común 𝑛 menos uno. Si el índice no coincidiera, necesitaríamos realizar un cambio de índice. Y, si los exponentes no coincidieran, necesitaríamos hacer algo de factorización. Por suerte para nosotros, este no es el caso, por lo que podemos seguir adelante sabiendo que nuestra razón común es uno sobre 10.

Nuestro siguiente paso es bastante sencillo. Observamos que el valor absoluto de nuestra razón común 𝑟 es menor que uno. Esto nos permite concluir que la serie es convergente. También nos dice que podemos hallar el valor de nuestra suma usando esta fórmula. Si aplicamos esto a nuestra serie, su valor es 𝑎 dividido por uno menos 𝑟. Ahora, sustituyendo 𝑎 igual a tres y 𝑟 igual a uno sobre 10, obtenemos tres dividido por uno menos uno sobre 10. Esto es lo mismo que tres dividido por nueve sobre 10, que es tres por 10 sobre nueve. O si cancelamos el factor común de tres en la parte superior e inferior de nuestra fracción, nos queda 10 sobre tres. Si ponemos un poco de orden en nuestros cálculos, vemos que ahora hemos respondido la cuestión. Usando nuestro conocimiento de las series geométricas infinitas, hemos concluido que la serie dada es convergente y que tiene un valor de 10 sobre tres.

Antes de terminar, vale la pena mencionar que esta cuestión tiene una característica interesante. Veamos nuestra serie y escribamos los términos. Nuestro primer término es tres. Podemos obtener el siguiente término multiplicando por la razón común uno sobre 10 para obtener tres sobre 10. Continuando con este patrón, obtenemos tres sobre 100, tres sobre 1000, y así sucesivamente. Si representamos estas fracciones en forma decimal, podremos identificar un patrón. Como comenzamos con un tres y multiplicamos por uno sobre 10 para cada término sucesivo, tendremos un tres en cada posición después del punto decimal. Y cuando decimos cada posición, esto es realmente así. Como estamos trabajando con una serie infinita, nunca nos quedaremos sin términos. Y nuestro tres realmente se repite para siempre.

De hecho, lo que hemos creado aquí es un decimal periódico, específicamente 3.3 periódico. Esto es muy interesante, ya que esencialmente hemos representado una serie geométrica infinita como un decimal periódico. No vamos a entrar en demasiados detalles en este video, pero basta decir que el proceso inverso también puede llevarse a cabo. Si nos dieran un decimal periódico, siempre podemos representarlo como una serie geométrica infinita. Pero ¿por qué hacer esto? Bien, acabamos de demostrar que nuestra serie es convergente y que podemos hallar su suma. El valor obtenido fue la fracción conveniente de 10 sobre tres. Por lo tanto, deducimos que nuestra serie geométrica infinita es igual a 3.3 periódico, que también es igual a 10 sobre tres. Para concluir, puede que no lo parezca al principio, pero las series geométricas nos dan una forma de representar decimales periódicos. Si ampliamos este concepto un poco más, también nos dan una forma de expresar decimales periódicos como fracciones, lo que a veces es mucho más conveniente.

Bien, para terminar este video, veamos algunos puntos clave. La forma general de una serie geométrica infinita es la siguiente. Leemos esto como la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta infinito de 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛 menos uno. También podemos hallar la forma alternativa, que es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta infinito de 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛. Una serie geométrica se puede caracterizar por 𝑎, el primer término 𝑎, y por una razón común 𝑟. Los términos sucesivos de una serie geométrica se pueden obtener multiplicando el término anterior por la razón común 𝑟.

Si el valor absoluto de la razón común 𝑟 es menor que uno, la serie es convergente. En este caso, la serie tiene una suma finita y es igual al primer término 𝑎 dividido por uno menos la razón común 𝑟. Si el valor absoluto de la razón común es mayor o igual que uno, la serie es divergente. Y, por supuesto, en este caso, no podemos hallar su suma. Las series geométricas infinitas también nos dan una forma de representar decimales periódicos y una forma de expresarlos como una fracción. Pero lo cierto es que no hemos explorado este tema en particular con mucho detalle en este video. Así que, tal vez, es un tema que todavía quieras investigar más a fondo.