Vídeo: Límites laterales

Límites unilaterales

17:22

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Límites unilaterales

En este video vamos a aprender cómo hallar el valor de los límites laterales (o unilaterales) gráfica y algebraicamente. Como su nombre indica, los límites laterales implican acercarse a un punto, por ejemplo, 𝑥 igual a 𝑎, por un solo lado. Por la izquierda o por la derecha. Al principio, puede no parecer evidente por qué esto podría sernos útil. Pero vamos a explorar esto un poco utilizando el siguiente ejemplo.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 más uno en los puntos donde 𝑥 no es igual a dos.

Si queremos hallar el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥, podemos hacerlo por sustitución directa. Podemos hacer esto porque, aunque 𝑥 igual a dos no está en el dominio de nuestra función, el límite incluye los valores de 𝑥 que están arbitrariamente cercanos a dos, pero no donde 𝑥 es igual a dos. Realizando la sustitución, obtenemos una respuesta de dos más uno, que es tres. Echemos ahora una vistazo a la gráfica de nuestra función 𝑓 de 𝑥.

Primero notamos el circulito vacío aquí que nos dice que la función 𝑓 de 𝑥 no está definida en este punto, donde 𝑥 es igual a dos. Consideremos ahora el proceso de tomar un límite gráficamente. Sabemos que nuestro límite involucra valores de 𝑥 que están cerca de dos. Tomemos, pues, un valor que sea un poco más pequeño; por ejemplo 1.8. Si 𝑥 es 1.8, el valor de nuestra función es 𝑓 de 1.8. El valor de esto es 1.8 más uno, que, por supuesto, es 2.8.

Para obtener un límite más preciso, necesitamos que 𝑥 se acerque a nuestro valor de dos. Veamos 𝑥 igual a 1.9. En este caso, el valor de nuestra función es 2.9. Podríamos continuar este proceso acercándonos cada vez más al valor de 𝑥 igual a dos. Si hacemos esto, descubrimos que el valor de nuestra función tiende a tres como esperábamos. Aquí, notamos que nos hemos acercado a nuestro valor de 𝑥 igual a dos por la izquierda, es decir, en el sentido positivo. También podríamos hacer lo mismo por la derecha, o sea, en el sentido negativo. De hecho, si lo hiciéramos, hallaríamos que nuestros valores de 𝑓 de 𝑥 se acercarían al mismo valor. El punto que estamos ilustrando aquí es que acercarse al valor de 𝑥 igual a dos desde la izquierda o desde la derecha resulta en un mismo valor al que 𝑓 de 𝑥 se aproxima.

Consideremos ahora qué sucedería si tuviéramos una función diferente, digamos 𝑔 de 𝑥, definida por partes de la siguiente manera. 𝑔 de 𝑥 es 𝑥 más uno si 𝑥 es menor que dos y 𝑥 más dos si 𝑥 es mayor que dos. Sabemos que estos circulitos vacíos en la grafica nos dicen que el valor de 𝑔 de 𝑥 no está definido en estos dos puntos. Y, de hecho, la función 𝑔 de 𝑥 no está definida en 𝑥 igual a dos. Si, al igual que hemos hecho más arriba, nos aproximamos al valor de 𝑥 igual a dos por la izquierda, nuestro valor de 𝑔 de 𝑥 tiende a tres como hemos visto. Sin embargo, ahora, si nos acercamos a 𝑥 igual a dos desde la derecha, o sea, hacia la izquierda, veríamos que los valores de 𝑔 de 𝑥 parecen acercarse a cuatro. Esto significa que a medida que avanzamos hacia 𝑥 igual a dos, nuestros valores para 𝑔 de 𝑥 parecen aproximarse a dos valores diferentes según el lado por el que nos acercamos.

Dado que este es el caso, no tiene sentido asignar un valor al límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑔 de 𝑥. Y, de hecho, decimos que el límite no existe. Sin embargo, es útil analizar lo que sucede cuando nos aproximamos desde la izquierda o desde la derecha, ya que esto nos da información muy útil sobre nuestra función. Cuando nos acercamos desde un lado determinado, hallamos, o bien el límite por la izquierda, o bien el límite por la derecha de nuestra función 𝑔. La diferencia en notación aquí es bastante sutil. Pero aquí vemos que un signo menos en la posición en la que iría un exponente indica que nos acercamos por el lado izquierdo y un signo más nos dice que nos acercamos por el lado derecho.

A continuación vamos a ver una definición un poco más formal de nuestros límites unilaterales. Si 𝑓 de 𝑥 se puede hacer arbitrariamente próxima a algún valor 𝐿 cuando 𝑥 tiende a algún valor 𝑎 desde la izquierda, es decir, siendo 𝑥 estrictamente menor que 𝑎 y no igual a 𝑎, decimos que el límite por la izquierda cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Cuando con las mismas condiciones, 𝑥 tiende a 𝑎 desde la derecha, es decir, 𝑥 es estrictamente mayor que 𝑎 y no es igual a 𝑎, decimos que el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Vemos, pues, que los límites laterales son una herramienta útil para analizar funciones, y lo hemos hecho usando el ejemplo de una función definida a trozos y con una discontinuidad. Veamos un ejemplo algebraico donde los límites unilaterales son útiles.

Halla el límite por la izquierda cuando 𝑥 tiende a 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a cinco 𝑥 cos cinco 𝑥 más dos sen cinco 𝑥 sobre 𝑥 si 𝑥 es mayor que cero y menor que 𝜋 sobre dos y cuatro sobre dos cos nueve 𝑥 más 𝜋 si 𝑥 es mayor que 𝜋 sobre dos y menor que 𝜋.

Aquí, tenemos una función 𝑓 de 𝑥 definida a trozos en dos intervalos diferentes. Nuestra función no está definida cuando 𝑥 es menor o igual que cero o mayor o igual que 𝜋. También podemos observar que, debido a estos símbolos de desigualdad, 𝑓 de 𝑥 no está definida cuando 𝑥 es igual a 𝜋 sobre dos. Nuestra pregunta nos pide hallar el límite por la izquierda, como podemos ver por este símbolo menos. Esto significa que nos estamos acercando a un valor de 𝑥 igual a 𝜋 desde la izquierda. Así que 𝑥 es estrictamente menor que 𝜋. Aunque sabemos que 𝑥 igual a 𝜋 no está en el dominio de nuestra función, aún podemos intentar hallar el límite ya que los límites se refieren a valores de 𝑥 que son arbitrariamente cercanos a 𝜋 pero no iguales a 𝜋.

Sabemos que los valores de 𝑥 que nos interesan son menores que 𝜋 pero muy cercanos a este valor. Por lo tanto, el intervalo de nuestra función que nos interesa es este en donde 𝑓 de 𝑥 es igual a cuatro sobre dos cos de nueve 𝑥 más 𝜋. Y podemos ver esto en nuestra desigualdad. Dado que este es el intervalo en el cual 𝑥 es menor que 𝜋, procedemos a evaluar nuestro límite de la siguiente manera. Efectuamos una sustitución directa de 𝑥 igual a 𝜋 en nuestra función. Fijándonos en el término cos de nueve 𝜋, recordamos que el coseno es una función periódica que se repite cada dos 𝜋 radianes. Esto significa que cos de nueve 𝜋 es igual a cos de 𝜋. Y esto es igual a menos uno.

Si realizamos esta sustitución, hallamos que nuestra respuesta se convierte en este cociente. Y obtenemos una respuesta de cuatro sobre menos dos más 𝜋. Hemos respondido la pregunta. Y hemos hallado el límite por la izquierda cuando 𝑥 se aproxima a 𝜋 de la función 𝑓 de 𝑥. En algunos casos puede ser difícil dibujar la gráfica de una función. Y aquí hemos hallado un límite unilateral sin disponer de la gráfica de nuestra función. También cabe mencionar el hecho de que dado que 𝑓 de 𝑥 no está definida cuando 𝑥 es mayor que 𝜋, y tampoco cuando 𝑥 es igual a 𝜋, el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 no existe. Y, por lo tanto, el límite cuando 𝑥 tiende a 𝜋 de 𝑓 de 𝑥, tampoco existe.

En este caso, solo tiene sentido asignar un valor al límite lateral por la izquierda cuando 𝑥 tiende a 𝜋 de 𝑓 de 𝑥, y esto muestra cómo los límites unilaterales nos proporcionan una mayor precisión en nuestras descripciones matemáticas. En el ejemplo que acabamos de ver, los valores de 𝑥 mayores que 𝑎 no estaban en el dominio de nuestra función 𝑓. Y por lo tanto, dijimos que el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 no existía. Sin embargo, ahora podemos ver un ejemplo para ilustrar que incluso si 𝑓 de 𝑥 está definida para todos los valores de 𝑥, en algunos casos, puede ser que el límite lateral izquierdo o el derecho no existan. Y, si eso ocurre, el límite tampoco existe. Veamos un ejemplo.

Determina el límite por la izquierda cuando 𝑥 tiende a menos nueve de 𝑓 de 𝑥 y el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a menos nueve de 𝑓 de 𝑥 sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 más nueve si 𝑥 es menor o igual que menos nueve y uno sobre 𝑥 más nueve si 𝑥 es mayor que menos nueve.

Aquí, se nos ha dado una función definida por partes en dos intervalos. Para el límite por la izquierda, nos estamos acercando a 𝑥 igual a menos nueve desde la izquierda. Por lo tanto, 𝑥 es menor que menos nueve. Para el límite por la derecha, nos acercamos a 𝑥 igual a menos nueve desde la derecha. Y por lo tanto, 𝑥 es mayor que menos nueve. Como 𝑥 igual a menos nueve es el punto entre los dos intervalos de nuestra función definida a trozos, nuestro límite por la izquierda se calculará en el primer intervalo y nuestro límite por la derecha se calculará en el segundo intervalo. Hallemos el límite por la izquierda.

En este caso, nuestra función 𝑓 de 𝑥 es 𝑥 más nueve. Podemos hallar este límite sustituyendo 𝑥 igual a menos nueve en nuestra función. Hacemos esto y hallamos que nuestra respuesta es menos nueve más nueve, que es igual a cero. El límite por la izquierda cuando 𝑥 se aproxima a menos nueve de 𝑓 de 𝑥 es, por lo tanto, cero. Para el límite por la derecha, nuestra función 𝑓 de 𝑥 es uno sobre 𝑥 más nueve. Una vez más, intentamos la sustitución directa de 𝑥 igual a menos nueve en nuestra función. Esta vez, hacer esto nos da una respuesta de uno sobre cero. Y como sabemos, uno dividido por cero no tiene un valor numérico. En casos como este, decimos que el límite no existe. Y así, en sentido estricto, esta es la respuesta a nuestra pregunta.

Para entender mejor nuestro resultado, veamos una gráfica de nuestra función. Aquí, hemos bosquejado nuestra gráfica. Y sabemos que, en el intervalo donde 𝑥 es menor o igual que menos nueve, tenemos una función que se porta bien. Y como indica el circulito relleno aquí en menos nueve, 𝑥 está definido en este punto. Para el otro intervalo, sabemos que cuando 𝑥 tiende a menos nueve tenemos una asíntota vertical. Esto significa que los valores de 𝑓 de 𝑥 se vuelven arbitrariamente grandes. Y esto a menudo se representa como infinito. De esta forma, usualmente escribiríamos que el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a menos nueve de 𝑓 de 𝑥 es igual a más infinito.

Es importante puntualizar aquí que no estamos diciendo que infinito sea un valor numérico. Tampoco estamos diciendo que nuestro límite existe. En realidad, lo que estamos expresando es la forma particular en la que el límite no existe. Usamos esta notación porque expresar el límite de esta forma nos da información muy útil sobre nuestra función, como se muestra en la gráfica. Expresar el límite de esta forma, incluso sin la gráfica, nos dará una idea de que en menos nueve tenemos una discontinuidad. Y a medida que nos acercamos al valor desde la derecha, los valores de 𝑓 de 𝑥 se vuelven arbitrariamente grandes. Para completar nuestro concepto de límites unilaterales, es muy útil comprender las diferencias y las relaciones entre el valor de nuestra función en 𝑥 igual a 𝑎, el límite normal de la función cuando 𝑥 tiende 𝑎, y, por supuesto, los limites por la izquierda y por la derecha cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

Formalicemos primero la siguiente relación. Si el límite lateral izquierdo y el límite lateral derecho cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de una función 𝑓 de 𝑥 existen y son iguales entre sí, teniendo algún valor 𝐿, decimos que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de la función 𝑓 de 𝑥 existe y es igual a 𝐿. De hecho, también podemos aplicar esta regla a la inversa y decir que si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 existe y es igual a 𝐿, entonces será igual al límite lateral izquierdo e igual al limite lateral derecho cuando 𝑥 tiende a 𝑎. Y estos dos límites tendrán ambos el valor 𝐿.

Ya lo hemos mencionado en ejemplos anteriores; pero vamos a repetirlo. Si el límite lateral izquierdo o el límite lateral derecho no son iguales o no existen, entonces el límite no existe. También cabe añadir que el límite de una función cuando 𝑥 tiende a 𝑎 puede existir pero tener un valor completamente independiente del valor de la función en el punto donde 𝑥 es igual a 𝑎. Veamos un ejemplo de esto en la siguiente cuestión.

Halla lo siguiente: 𝑓 de menos tres, el límite por la izquierda cuando 𝑥 tiende a menos tres de 𝑓 de 𝑥, el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a menos tres de 𝑓 de 𝑥, y el límite cuando 𝑥 tiende a menos tres de 𝑓 de 𝑥. Esto cubre desde la parte a) hasta la parte d). Para las partes e) a h), hemos de hallar 𝑓 de uno, hallar el límite lateral izquierdo cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥, el límite lateral derecho cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥, y el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥.

A primera vista, esto parece mucho trabajo. Pero vemos que las primeras cuatro partes de nuestra cuestión están muy relacionadas, así como las segundas cuatro partes. Así que vamos a trabajar por secciones, haciendo primero las partes a), b), c), y d). Nos han dado una gráfica que representa la función 𝑓 de 𝑥. Lo primero que notamos es que los circulitos vacíos en nuestra gráfica indican puntos donde 𝑓 de 𝑥 no existe, mientras que los circulitos rellenos indican puntos donde 𝑓 de 𝑥 sí existe. Mirando 𝑥 igual a menos tres en nuestra gráfica, vemos que hay un circulito vacío en el punto menos tres cero y un circulito relleno en el punto menos tres, dos. Partiendo de esto, podemos decir que cuando 𝑥 es igual a menos tres, 𝑓 de 𝑥 es igual a dos. En otras palabras, acabamos de contestar la parte a) de nuestra pregunta. Así que 𝑓 de menos tres es igual a dos.

Pasamos al límite lateral izquierdo cuando 𝑥 tiende a menos tres. A medida que nos acercamos vemos en nuestra gráfica que el valor de 𝑓 de 𝑥 se acerca más y más a cero. Aquí no importa si tenemos un circulito vacío en menos tres cero porque los límites incluyen valores de 𝑥 que están arbitrariamente cerca de menos tres, pero no son iguales a menos tres. Podemos decir que el límite lateral izquierdo cuando 𝑥 tiende a menos tres de 𝑓 de 𝑥 es igual a cero. De hecho, podemos afirmar lo mismo para el límite lateral derecho. Cuando 𝑥 tiende a menos tres por la derecha, 𝑓 de 𝑥 también se acerca más y más a cero. Esto significa que el límite lateral derecho cuando 𝑥 tiende a menos tres de 𝑓 de 𝑥 es también igual a cero.

Sabiendo que los límites por la derecha y por la izquierda cuando 𝑥 tiende a menos tres, existen y son iguales, podemos usar la regla general para decir que el límite sin más también existe y tiene ese mismo valor. Por lo tanto, concluimos que el límite cuando 𝑥 tiende a menos tres de 𝑓 de 𝑥 es también igual a cero. Y hemos contestado las partes a) a d) de nuestra pregunta. Un punto interesante a tener en cuenta es que a pesar de que el valor de 𝑓 de menos tres es igual a dos, los límites unilaterales izquierdo y derecho y el límite bilateral normal cuando 𝑥 se acerca a menos tres son todos iguales a cero. Y es que los límites son determinados por los valores de 𝑥 que están cerca, pero que no son iguales a menos tres.

Los límites no están influidos por el valor exacto de 𝑓 de menos tres sino que están solo influidos por valores de 𝑥 próximos a menos tres. De hecho, podríamos eliminar el punto en menos tres, dos de nuestro gráfico. Y hacer esto dejaría todos nuestros límites completamente sin cambios a pesar de que el valor de 𝑓 de menos tres se quedaría sin definir. Pasemos ahora a las siguientes cuatro partes de nuestra pregunta.

Primero, debemos hallar el valor de 𝑓 de uno. Observando nuestra gráfica vemos que hay un circulito relleno en el punto uno, menos dos y un circulito vacío en el punto uno, cuatro. Sabemos que el circulito relleno está donde 𝑓 de 𝑥 está definido. Y, por lo tanto, 𝑓 de uno es igual a menos dos. Para hallar el límite lateral izquierdo cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥, nos fijamos en lo que pasa con nuestra función a medida que nos acercamos al valor de 𝑥 igual a uno desde la izquierda. Aquí, es evidente que el valor de 𝑓 de 𝑥 tiende a menos dos. Y, por lo tanto, este es también el valor de nuestro límite lateral izquierdo. Para el límite lateral derecho, vemos lo que sucede con el valor de 𝑓 de 𝑥 según nos acercamos por la derecha. Y según nuestra gráfica, el valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima más y más a cuatro cuando 𝑥 tiende a uno desde la derecha. Esto significa que nuestro límite lateral derecho es igual a cuatro.

Ahora, para la parte final de nuestra pregunta, hallemos el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥. Sabemos que existen los límites laterales izquierdo y derecho. Sin embargo, tienen valores diferentes. Y como no coinciden, podemos concluir que el límite normal no existe. Así que hemos respondido todas las partes de nuestra pregunta. Este ejemplo ilustra algunas formas diferentes en las que el valor de la función, el límite lateral izquierdo, el límite lateral derecho, y el límite normal de una función se relacionan entre sí.

Para finalizar, repasemos algunos puntos clave. Los límites laterales izquierdo y derecho de una función 𝑓 de 𝑥 están determinados por los valores de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a algún valor 𝑎 desde la derecha y desde la izquierda, respectivamente. A continuación, tenemos una versión más formal de esto. Si los límites laterales izquierdo y derecho existen y ambos tienen el mismo valor 𝐿, el límite normal también existe y tiene también ese mismo valor 𝐿. Y, a menudo, también podemos aplicar esta regla a la inversa, haciendo inferencias sobre los límites laterales izquierdo y derecho conciendo el límite normal.

A veces, el límite o uno de los límites unilaterales suele expresarse como más infinito menos infinito. En estos casos, no estamos diciendo que el infinito, ya sea positivo o negativo, sea un valor numérico. Tampoco estamos diciendo que el límite existe. Esta es una manera particular de expresar que el límite no existe pero lo hacemos de una forma que nos da información útil sobre la función. Como punto final, recordamos que los límites unilaterales pueden ambos existir y, sin embargo, el límite normal no existir. Y que estos límites nos proporcionan herramientas adicionales útiles para describir una función, por ejemplo, cuando analizamos una función por partes con una discontinuidad.

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