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En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la solución general de una ecuación trigonométrica y cómo resolverla en un intervalo específico. Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene al menos una de las siguientes funciones: una función trigonométrica básica —es decir, el seno, el coseno y la tangente—, una función trigonométrica recíproca —es decir, la cosecante, la secante y la cotangente— o una función inversa de cualquiera de estas. Algunas de las ecuaciones más sencillas de este tipo pueden resolverse sin usar calculadora. Para ello, podemos a usar lo que sabemos sobre los ángulos notables junto con la simetría y la periodicidad de las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente.
Antes de continuar vamos a recordar los valores exactos de las funciones seno, coseno y tangente para los ángulos notables. Es importante que recordemos los valores del seno, el coseno y la tangente de los ángulos notables, es decir, de los ángulos de cero, 30, 45, 60 y 90 grados. También conviene que sepas los valores correspondientes de estos ángulos en radianes. Aunque en este vídeo no vamos a considerar las demostraciones de esto, es importante saber que estos valores se pueden hallar utilizando trigonometría básica de triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras. En la siguiente tabla se nos dan los valores exactos del seno, el coseno y la tangente para los ángulos notables. Si recordamos que tan 𝜃 es igual a seno 𝜃 partido por coseno 𝜃, podemos calcular la tangente de cualquiera de estos ángulos dividiendo el valor del seno del ángulo por el valor del coseno del ángulo.
En el primer ejemplo vamos a usar la simetría de la gráfica de la función seno junto con esta tabla de valores para hallar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica sencilla.
¿Cuál es la solución general de seno de 𝜃 igual a raíz de dos partido por dos?
Para hallar la solución general de una ecuación trigonométrica, hallamos primero una solución particular. En este caso, vamos a usar la tabla de valores trigonométricos exactos para ayudarnos. Para cualquier ángulo 𝜃 expresado en radianes, los valores exactos de la función seno son los siguientes. Vemos que el seno de 𝜋 entre cuatro radianes es igual a raíz de dos partido por dos. Esto significa que 𝜃 igual a 𝜋 cuartos es una solución particular de la ecuación seno de 𝜃 igual a raíz de dos partido por dos. Para hallar más soluciones, dibujamos la gráfica de 𝑦 igual a seno de 𝜃 entre cero y dos 𝜋. Para hallar las soluciones de seno de 𝜃 igual a raíz de dos partido por dos añadimos la recta 𝑦 igual a raíz de dos partido por dos al diagrama.
Vemos que interseca la curva en dos puntos entre cero y dos 𝜋. El primer punto de intersección se corresponde con la solución 𝜋 cuartos. Como la senoide (la curva de la función seno) tiene simetría alrededor de 𝜋 medios en el intervalo de cero a 𝜋, la segunda solución se halla restando 𝜋 cuartos de 𝜋. Obtenemos tres 𝜋 cuartos. Ahora tenemos dos soluciones de la ecuación seno de 𝜃 igual a raíz de dos partido por dos: 𝜃 igual a 𝜋 cuartos y 𝜃 igual a tres 𝜋 cuartos. Si recordamos que la función seno es periódica y que tiene un período de 360 grados o dos 𝜋 radianes, podemos hallar la solución general. En primer lugar, tenemos que 𝜃 es igual a 𝜋 cuartos más dos 𝑛𝜋 —podemos escribirlo así porque otras soluciones se hallan sumando o restando múltiplos de dos 𝜋 o 360 grados— y, en segundo lugar, tres 𝜋 cuartos más dos 𝑛𝜋, donde 𝑛 es un número entero.
En este problema hemos demostrado cómo hacer uso de la simetría de la gráfica de la función seno para hallar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica. Otra forma de extender el dominio de la función seno es usando la circunferencia unitaria. Si recordamos que la circunferencia unitaria está centrada en el origen y que tiene un radio de una unidad, podemos determinar el seno de cualquier ángulo 𝜃 comenzando en el punto uno, cero y desplazándonos a lo largo de la circunferencia en sentido antihorario hasta el ángulo que se forma entre este punto, el origen, y el semieje positivo de las 𝑥 sea igual a 𝜃. Si este punto tiene coordenadas 𝑥, 𝑦, entonces seno de 𝜃 es el valor de 𝑦. El valor de la coordenada 𝑦 es positivo tanto en el primer cuadrante como en el segundo. Por lo tanto, el valor de seno de 𝜃 también será positivo en estos cuadrantes.
Como circunferencia unitaria es simétrica con respecto al eje de las 𝑦, hallamos que seno de 𝜃 es igual a seno de 180 grados menos 𝜃. Si continuamos moviéndonos a lo largo de la circunferencia unitaria, hallamos que seno de 𝜃 también es igual a seno de 360 más 𝜃 para todos los valores de 𝜃. Estos resultados pueden expresarse de la siguiente manera: el conjunto de las soluciones de seno de 𝜃 igual a 𝐶 es 𝜃 igual a 𝜃 sub uno más 360𝑛 y 𝜃 igual a 180 menos 𝜃 sub uno más 360𝑛, donde 𝑛 es un número entero arbitrario. Ten en cuenta que, si 𝜃 está expresado en radianes, tenemos que cambiar 360 grados por dos 𝜋 y 180 grados por 𝜋. Aunque puede que a la larga nos resulte más sencillo memorizar estas fórmulas, en la práctica nos resultará más efectivo dibujar directamente la gráfica de la función o la circunferencia unitaria.
En la siguiente cuestión vamos a ver cómo usar la simetría de la gráfica de la función coseno para resolver una ecuación trigonométrica.
Halla el conjunto de valores que satisfacen la ecuación coseno de 𝜃 menos 105 igual a menos un medio, donde 𝜃 es mayor que cero grados y menor que 360 grados.
Para hallar las soluciones de una ecuación trigonométrica en un intervalo dado, comenzamos hallando una solución particular. En este caso, vamos a usar la tabla de valores trigonométricos exactos para ayudarnos. Primero vamos a redefinir el argumento de la función introduciendo una variable 𝛼 igual a 𝜃 menos 105, de modo que el coseno de 𝛼 es igual a menos un medio y 𝜃 es igual a 𝛼 más 105. Seguidamente modificamos el intervalo en el que nuestras soluciones son válidas sumando 105 a cada parte de la inecuación; 𝛼 es mayor que 105 grados y menor que 465 grados. Completando la tabla con los valores exactos de cos 𝛼, podemos ver que cos 𝛼 es igual a un medio cuando 𝛼 es 60 grados. Pero no hay valores de 𝛼 en la tabla para los que cos 𝛼 es igual a menos un medio.
Dibujando la gráfica de la función coseno junto con las rectas 𝑦 igual a un medio y 𝑦 igual a menos un medio, podemos hallar el valor relacionado de 𝛼. Si consideramos la gráfica, vemos que puede haber tres valores entre 105 y 465 grados. Como la gráfica tiene simetría central entre cero y 180 grados alrededor de 90 grados, cero, la primera solución es 180 menos 60. Que es igual a 120 grados, que se encuentra en el intervalo requerido. Luego, usando la simetría de la curva, hallamos que 𝛼 es igual a 180 más 60. Esto es igual a 240 grados, que también se encuentra en el intervalo que se nos ha dado. La tercera solución es 120 más 360 grados. Pero este valor de 480 grados se encuentra fuera de nuestro intervalo de 𝛼. Por lo tanto, las soluciones de cos 𝛼 igual a menos un medio son 𝛼 igual a 120 grados y 𝛼 igual a 240 grados.
Ahora podemos hallar los valores correspondientes de 𝜃. 120 más 105 es 225, y 240 más 105 es 345. El conjunto de valores que satisfacen coseno de 𝜃 menos 105 igual a menos un medio son 225 grados y 345 grados. Otro método para hallar la solución particular de coseno de 𝛼 igual a menos un medio es usar la función inversa del coseno, de modo que 𝛼 es igual a la inversa del coseno de menos un medio, que es igual a 120 grados. A partir de este punto, seguiríamos los mismos pasos para hallar las demás soluciones. También podríamos haber resuelto este problema usando un círculo unitario, lo que nos llevaría a la fórmula general: coseno de 𝜃 es igual a coseno de 360 grados menos 𝜃.
Usando la simetría del círculo unitario y la periodicidad de la función coseno, podemos enunciar fórmulas para la solución general de ecuaciones que contienen esta función. De la misma forma que ya hemos visto para la función seno, el conjunto de todas las soluciones de cos 𝜃 igual a 𝐶 es 𝜃 igual a 𝜃 sub uno más 360𝑛 y 𝜃 igual a 360 menos 𝜃 sub uno más 360𝑛 para todos los valores enteros de 𝑛. Como hemos dicho antes, si 𝜃 está expresado en radianes, tenemos que sustituir 360 grados por dos 𝜋 radianes.
En la cuestión anterior vimos cómo resolver una ecuación trigonométrica en la que el argumento de la función se ha transformado de alguna manera. Ahora vamos a ver una cuestión parecida que contiene la función tangente.
Halla el conjunto de los valores que satisfacen la ecuación tangente de dos 𝑥 más 𝜋 quintos igual a menos uno, donde 𝑥 es mayor o igual que cero y menor o igual que dos 𝜋.
Para resolver esta ecuación, vamos a comenzar redefiniendo el argumento, ya que esto nos permitirá usar la simetría de la función tangente. Hacemos 𝜃 igual a dos 𝑥 más 𝜋 quintos. Esto significa que tenemos que resolver la ecuación tangente de 𝜃 igual a menos uno, donde 𝜃 es mayor o igual que 𝜋 quintos y menor o igual que 21𝜋 quintos, ya que multiplicamos cada parte de la inecuación por dos y luego sumamos 𝜋 quintos. Recordemos que, si 𝜃 está expresado en radianes, los valores exactos de tan 𝜃 son los que se muestran aquí. Vemos que la tangente de 𝜋 cuartos es igual a uno. A continuación, trazamos la gráfica de 𝑦 igual a la tangente de 𝜃. Seguidamente añadimos las rectas horizontales donde 𝑦 es igual a uno y 𝑦 es igual a menos uno.
Debido a la paridad de la función tangente, la primera solución se halla cuando 𝜃 es igual a 𝜋 menos 𝜋 cuartos. Que es igual a tres 𝜋 cuartos. Como la función es periódica con un período de 𝜋 radianes, podemos hallar las soluciones restantes sumando múltiplos de 𝜋 a este valor. En primer lugar, tres 𝜋 cuartos más 𝜋 es igual a siete 𝜋 cuartos. También tenemos las soluciones de 11𝜋 cuartos y 15𝜋 cuartos. Estos son los cuatro puntos de intersección que se muestran en el gráfico. Vamos a hacer algo de espacio para reescribir nuestras cuatro soluciones de 𝜃, y hallar los valores de 𝑥. Como 𝜃 es igual a dos 𝑥 más 𝜋 quintos, dos 𝑥 es igual a 𝜃 menos 𝜋 quintos. Dividimos por dos, y obtenemos que 𝑥 es igual a 𝜃 medios menos 𝜋 décimos.
Ahora sustituimos cada uno de nuestros valores de 𝜃 en esta ecuación. Y obtenemos cuatro valores de 𝑥: 11𝜋 entre 40, 31𝜋 entre 40, 51𝜋 entre 40 y 71𝜋 entre 40. Este es el conjunto de los valores que satisfacen la ecuación tangente de dos 𝑥 más 𝜋 quintos igual a menos uno, donde 𝑥 se encuentra entre cero y dos 𝜋 inclusive.
Como hemos hecho con las funciones seno y coseno, vamos a escribir las soluciones generales de las ecuaciones que contienen la función tangente. Cuando 𝜃 se mide en grados, las soluciones son 𝜃 igual a 𝜃 sub uno más 180𝑛, donde 𝑛 es un número entero. Y, si 𝜃 se mide en radianes, tenemos 𝜃 igual a 𝜃 sub uno más 𝑛𝜋, donde 𝑛 es un número entero.
En este vídeo solo hemos considerado las funciones trigonométricas básicas —es decir, el seno, el coseno y la tangente—. Y, aunque no lo hemos visto en este vídeo, es importante saber que realizamos el mismo procedimiento para las funciones recíprocas —es decir, la cosecante, la secante y la cotangente—.
Ahora vamos a resumir los puntos clave que hemos visto este vídeo. Hemos visto que, para resolver ecuaciones trigonométricas sencillas, usamos tablas de valores exactos o funciones trigonométricas inversas. Y que, para ayudarnos a calcular todas las soluciones de una ecuación dada en un intervalo específico, podemos dibujar la gráfica de la función trigonométrica necesaria o usar a circunferencia unitaria. También vimos que la simetría y la periodicidad de las funciones seno, coseno y tangente nos permiten calcular más soluciones de ecuaciones trigonométricas, o incluso soluciones generales, las cuales se obtienen sumando múltiplos enteros de 360 grados o dos 𝜋 radianes para el seno y el coseno y 180 grados o 𝜋 radianes para la tangente.
