Vídeo: Polígonos congruentes

En este video, vamos a aprender cómo identificar polígonos congruentes y a usar sus propiedades para hallar longitudes y ángulos que faltan.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo identificar polígonos congruentes y cómo usar sus propiedades para hallar longitudes y ángulos que faltan. Comencemos examinando qué son los polígonos congruentes.

Podemos decir que dos polígonos son congruentes si tienen el mismo número de lados y todos los lados y los ángulos interiores correspondientes son congruentes. En otras palabras, podemos decir que los polígonos tienen la misma forma y tamaño, pero pueden estar rotados o ser uno una imagen especular del otro. Por ejemplo, aquí tenemos dos rectángulos. Podemos ver que los lados correspondientes son congruentes. Y cada ángulo en el primer rectángulo será igual al ángulo correspondiente en el segundo rectángulo, lo que significa que estos dos rectángulos son congruentes. Para demostrar que dos polígonos son congruentes, tenemos que probar que todos los lados y los ángulos interiores correspondientes son congruentes.

Existen reglas especiales de congruencia para demostrar que dos triángulos son congruentes. Las veremos a continuación. La primera regla que podemos usar para demostrar que dos triángulos son congruentes es el criterio LLL, que significa lado-lado-lado. Aquí tenemos dos triángulos, los cuales se puede demostrar que son congruentes usando la regla LLL. Aunque el segundo triángulo se haya volteado, aún podemos ver que los lados correspondientes son congruentes. Y si los lados correspondientes son congruentes, los ángulos correspondientes también son congruentes.

La segunda regla es la regla LAL, que significa lado-ángulo-lado, donde el ángulo es el ángulo formado por los dos lados. Aquí podemos ver un ejemplo de dos triángulos que son congruentes usando la regla LAL. Esta regla implica que el tercer lado de los triángulos también es congruente. Por tanto, esta regla y las siguientes reglas mostrarán que los tres lados son congruentes.

La tercera regla de congruencia es ALA, que significa ángulo-lado-ángulo, donde el lado es el lado comprendido entre los dos ángulos. Por ejemplo, nuestros dos triángulos aquí son congruentes según esta regla.

Nuestra siguiente regla es ángulo-ángulo-lado o AAL. Aquí, para probar que los dos triángulos son congruentes, basta con demostrar que dos ángulos correspondientes son congruentes y que cualquier par de lados correspondientes también son congruentes.

Nuestra última regla es un caso especial, que solo aplica a triángulos rectángulos. Nos podemos referir a ella como RHC, que representa ángulo recto-hipotenusa-cateto, o HC, que significa hipotenusa y cateto en triángulos rectángulos. En cualquier versión de esta regla, tenemos que demostrar que hay un ángulo recto, que las hipotenusas son congruentes y que un par de catetos es congruente.

Antes de pasar a los ejemplos, veamos algunas reglas de notación que usamos para la congruencia. Lo primero a tener en cuenta es que usamos este símbolo, que es un signo igual con una línea ondulada encima, para expresar que dos figuras son congruentes. Por ejemplo, podemos decir que el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es congruente con el rectángulo 𝐸𝐹𝐺𝐻, lo que nos lleva al segundo punto importante sobre el orden de las letras utilizadas. Incluso sin dibujar nuestros rectángulos, podríamos usar el orden de las letras para decir que el ángulo en 𝐴 debe ser congruente con el ángulo en 𝐸. Igualmente, el ángulo en 𝐵 debe ser congruente con el ángulo en 𝐹 y lo mismo con los ángulos restantes en cada rectángulo.

Podemos usar la notación para ayudarnos a hallar los lados congruentes. Por ejemplo, el lado 𝐴𝐵 es congruente con el lado 𝐸𝐹 y el lado 𝐵𝐶 es congruente con el lado 𝐹𝐺. Así que cuando escribimos relaciones de congruencia debemos prestar mucha atención a qué lados y qué ángulos son congruentes. Y cuando se nos da una relación de congruencia, podemos usar esto para ayudarnos a identificar los lados y los ángulos correspondientes que son congruentes.

Veamos algunas preguntas que tratan sobre polígonos congruentes.

El símbolo congruente significa que los dos objetos son congruentes. ¿Qué afirmación es verdadera? Opción A, el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es congruente al triángulo 𝐶𝐴𝐷. Opción B, el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es congruente al triángulo 𝐷𝐴𝐶. Opción C, el triángulo 𝐴𝐶𝐵 es congruente al triángulo 𝐷𝐴𝐶. O opción D, el triángulo 𝐵𝐶𝐴 es congruente al triángulo 𝐷𝐴𝐶.

Podemos ver en el diagrama que tenemos un paralelogramo que está formado por dos triángulos que comparten un lado. Podemos ver en las marcas dadas que el lado 𝐴𝐵 es congruente con el lado 𝐶𝐷. Podemos ver por la doble marca en la línea que el lado 𝐴𝐷 es congruente con el lado 𝐵𝐶. Podemos ver, además, que los triángulos comparten el lado 𝐴𝐶. Esto significa que 𝐴𝐶 es congruente a 𝐴𝐶. Por lo tanto, utilizando el criterio de congruencia de lado-lado-lado, podemos decir que nuestros dos triángulos son congruentes.

Para escribir una relación de congruencia entre dos triángulos, debemos ser cuidadosos con el orden de las letras. En nuestro triángulo izquierdo, si nos movemos de 𝐴 a 𝐵 y después de 𝐵 a 𝐶, estaríamos pasando de una marca simple a una marca doble. Por tanto, el recorrido equivalente en nuestro otro triángulo sería de 𝐶 a 𝐷 a lo largo de la marca simple y luego de 𝐷 a 𝐴 a lo largo de la doble marca. Así que, podríamos escribir la relación diciendo que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es congruente al triángulo 𝐶𝐷𝐴.

Observa que también podríamos utilizar un orden diferente de las letras y escribir que el triángulo 𝐵𝐶𝐴 es congruente con el triángulo 𝐷𝐴𝐶. O también podríamos decir que el triángulo 𝐶𝐴𝐵 es congruente con el triángulo 𝐴𝐶𝐷. Cualquiera de estas relaciones de congruencia sería una afirmación verdadera. Pero solo uno de ellos aparece en nuestras opciones de respuesta. Y esa es la opción D, el triángulo 𝐵𝐶𝐴 es congruente con el triángulo 𝐷𝐴𝐶.

En nuestra próxima pregunta vamos a ver un ejemplo en el que nos dan una relación de congruencia y tenemos que hallar el ángulo faltante.

Sabiendo que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es congruente con el triángulo 𝑋𝑌𝑍, halla la medida del ángulo 𝐶.

Aquí tenemos dos triángulos congruentes y nos piden que hallemos el ángulo faltante, 𝐶. Podemos usar la afirmación de congruencia para ayudarnos a determinar qué ángulos correspondientes son congruentes. El primer ángulo que podemos ver es el ángulo 𝐴. Y este será congruente al ángulo 𝑋 en el triángulo 𝑋𝑌𝑍. Y como nos dicen que este ángulo 𝑋 mide 40 grados, el ángulo 𝐴 en el triángulo 𝐴𝐵𝐶 también medirá 40 grados.

También podemos ver que el ángulo 𝐶 en el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es congruente con el ángulo 𝑍 en el triángulo 𝑋𝑌𝑍. Pero no nos han dado la medida del ángulo 𝑍. Por lo tanto, no podemos usar esto directamente para ayudarnos a hallar el ángulo 𝐶. En vez de eso, podemos usar el hecho de que los ángulos en un triángulo suman 180 grados para hallar la medida del ángulo 𝐶. Por tanto, la medida del ángulo 𝐶 es igual a 180 grados menos 56 grados y menos 40 grados, lo que nos da 84 grados. Así que, nuestra respuesta final es que la medida del ángulo 𝐶 es 84 grados.

Sabiendo que 𝑋𝑌𝐾𝑀 es congruente a 𝐴𝐵𝐶𝑀, halla la medida del ángulo 𝐾𝑀𝐶.

En esta pregunta, tenemos dos cuadriláteros congruentes, 𝐴𝐵𝐶𝑀 en el lado izquierdo del diagrama y 𝑋𝑌𝐾𝑀 en el derecho. Nos piden que encontremos la medida del ángulo 𝐾𝑀𝐶, que está fuera de estos cuadriláteros. Si supiéramos la medida de este ángulo, 𝐶𝑀𝐴, podríamos calcular el ángulo faltante. Podemos usar lo que dice el enunciado sobre la congruencia para ayudarnos a resolver este ángulo. Podemos ver, por ejemplo, que el ángulo 𝑋 en el cuadrilátero 𝑋𝑌𝐾𝑀 es congruente al ángulo 𝐴 en el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝑀. Por lo tanto, el ángulo 𝑀 en el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝑀 es congruente al ángulo 𝑀 en el cuadrilátero 𝑋𝑌𝐾𝑀.

De modo que el ángulo faltante 𝐶𝑀𝐴 en el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝑀 debe medir 53 grados. Podemos usar el hecho de que los ángulos en una recta suman 180 grados para calcular que nuestro ángulo 𝐾𝑀𝐶, es igual a 180 grados menos 53 grados menos 53 grados. Y, por tanto, la medida del ángulo 𝐾𝑀𝐶 es 74 grados.

En nuestra siguiente pregunta, vamos a ver un ejemplo de cómo demostrar que dos cuadriláteros son congruentes.

Los polígonos que se muestran, ¿son congruentes?

Recordemos que la palabra congruente significa con la misma forma y del mismo tamaño. Una mejor definición matemática es que dos polígonos son congruentes si todos los lados y todos los ángulos interiores correspondientes son congruentes. Si queremos saber si estos dos cuadriláteros son congruentes, necesitamos revisar todos los lados correspondientes y ángulos para ver si son congruentes o no.

Si comenzamos por los lados, el lado 𝐶𝐷 en nuestro cuadrilátero izquierdo, podemos ver según la marca que es congruente al lado 𝑂𝑃 en nuestro cuadrilátero 𝑂𝑃𝑀𝑁. También podemos ver que el lado 𝐹𝐸 en el cuadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹 es congruente al lado 𝑀𝑁 en el cuadrilátero 𝑃𝑀𝑁𝑂. Podemos ver que el lado 𝐶𝐹 es congruente al lado 𝑃𝑀 y el lado 𝐷𝐸 es congruente al lado 𝑂𝑁. Hemos demostrado que tenemos cuatro pares correspondientes de lados congruentes. Sin embargo, esto no es suficiente para mostrar que dos polígonos son congruentes. Después de todo, podríamos, por ejemplo, tener un rectángulo y un trapezoide con los lados congruentes. Pero estos claramente no tienen la misma forma. Por tanto, necesitamos comparar los ángulos de nuestros polígonos.

Mirando el ángulo 𝐶 en el cuadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹, podemos decir que éste es congruente con el ángulo 𝑀 en el cuadrilátero 𝑃𝑀𝑁𝑂. De igual modo, el ángulo 𝐷, que mide 104 grados, es congruente con el ángulo 𝑁, que también mide 104 grados. Podemos ver que el ángulo 𝐸 de 76 grados es congruente con el ángulo 𝑂 de 76 grados. Y nuestro ángulo final 𝐹 sería congruente con el ángulo 𝑃. Hemos demostrado que también tenemos cuatro pares correspondientes de ángulos congruentes. Esto encaja con nuestra definición de polígonos congruentes. Por tanto, sí, estos polígonos son congruentes.

En nuestra última pregunta, vamos a ver cómo usar la congruencia para ayudarnos a hallar las longitudes faltantes en los polígonos.

Los dos cuadriláteros en la figura dada son congruentes. Calcula el perímetro de 𝐴𝐵𝐶𝐷.

En esta pregunta, no nos han dado una afirmación de congruencia que nos ayude a hallar los lados congruentes correspondientes. Pero podemos aplicar un poco de lógica. Podemos comenzar notando que estas figuras son un reflejo el uno del otro. Podemos ver que el ángulo 𝐴 en nuestro cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 sería congruente al ángulo 𝐸 en el cuadrilátero 𝐸𝐹𝐺𝐻. El ángulo 𝐵 sería congruente al ángulo 𝐻. El ángulo 𝐶 es congruente al ángulo 𝐺. Y el ángulo 𝐷 es congruente al ángulo 𝐹. Por lo tanto, podemos decir que 𝐴𝐵𝐶𝐷 es congruente a 𝐸𝐻𝐺𝐹.

Para calcular el perímetro de 𝐴𝐵𝐶𝐷, necesitamos encontrar algunos de los lados faltantes en este cuadrilátero. Pudimos ver que el lado 𝐵𝐶 correspondería con el lado 𝐺𝐻, lo que significa que 𝐵𝐶 también sería 4.2. El último lado desconocido, 𝐷𝐶, corresponde con el lado 𝐹𝐺. Por lo tanto, será de longitud tres. Ten en cuenta que, dado que estas dos figuras son congruentes, tendrán el mismo perímetro. Para calcular el perímetro de 𝐴𝐵𝐶𝐷, sumamos las longitudes alrededor del exterior. Tenemos 4.2 más 4.1 más 1.4 más tres, que es igual a 12.7. No nos dieron ninguna unidad en la pregunta. Así que, no tenemos ninguna en la respuesta.

Podemos resumir lo que hemos aprendido en este video. Aprendimos que dos polígonos son congruentes si tienen el mismo número de lados y todos los lados y ángulos interiores correspondientes son congruentes. Los polígonos congruentes tienen la misma forma y tamaño, pero pueden estar rotados o ser uno una imagen especular del otro. Aprendimos que hay criterios especiales de congruencia para mostrar que dos triángulos son congruentes. Y, finalmente, aprendimos la importancia del orden de las letras en un enunciado de congruencia, ya que este orden indica los lados y los ángulos correspondientes que son congruentes.

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