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Vídeo de la lección: Valor de una función en un punto Matemáticas • Noveno grado

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar el valor de una función en un punto usando una expresión algebraica, una tabla o una gráfica.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar el valor de una función en un punto usando su ecuación, una tabla o una gráfica. Antes de comenzar conviene recordar lo que entendemos por función. Y seguidamente veremos cómo hallar valores de una función.

La notación de función más común es 𝑓 de 𝑥. La notación 𝑓 de 𝑥 es otra forma de representar el valor 𝑦 en una función cuya ecuación es 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. En vez de escribir 𝑦 igual a tres 𝑥 más siete, escribimos 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 más siete. El eje de las 𝑦 puede marcarse como 𝑓 de 𝑥 al dibujar la gráfica de la función. Nombrar o denominar el eje de esta manera evita confusiones cuando estamos trabajando con varias funciones.

Veamos cómo podemos hallar valores de una función. Para hallar el valor de una función, sustituimos la variable 𝑥 por su valor en la expresión de la función. Por ejemplo, consideremos la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 más siete. Si se nos pide que calculemos 𝑓 de cuatro, entonces cuatro es el valor de entrada. Sustituimos esto en la expresión de la función. Y obtenemos tres multiplicado por cuatro más siete. Esto es igual a 19, que se conoce como valor de salida. Cuando el valor de entrada de la función es cuatro, el valor de salida es 19. Esto puede escribirse como un par ordenado, o par de coordenadas, cuatro, 19, donde cuatro es el valor de la variable independiente 𝑥 y 19 es el valor de 𝑓 de 𝑥, o sea, de la variable dependiente 𝑦.

Ahora vamos a ver algunas cuestiones en las que se nos pide hallar valores de funciones.

Usando la función 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más tres, calcula el valor de salida correspondiente a un valor de entrada de dos.

El valor de salida de una función es el valor de la variable dependiente 𝑦. Y el valor de entrada es el valor de la variable independiente 𝑥. Tenemos que hacer 𝑥 igual a dos en la función. Como 𝑦 es igual a 𝑥 al cuadrado más tres, si 𝑥 es dos, 𝑦 es igual a dos al cuadrado más tres. Dos al cuadrado es cuatro. Así que 𝑦 es igual a cuatro más tres. Como esto es igual a siete, la salida que corresponde a una entrada de dos es siete.

Podríamos escribir esto como un par ordenado, o par de coordenadas, dos, siete. El punto con coordenadas dos, siete se halla en la función cuadrática 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más tres. Cuando operamos con funciones, normalmente sustituimos la 𝑦 por 𝑓 de 𝑥. Son intercambiables y ambas variables corresponden a los valores de salida.

En la siguiente cuestión tenemos que completar una tabla de valores de una función.

Completa la tabla de valores de la función 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥.

En esta cuestión se nos da una función 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 y cinco valores enteros de 𝑥 desde menos dos hasta dos. Para completar la tabla, tenemos que sustituir cada uno de estos valores en la función. Comencemos por más dos. Cuando el valor de la variable independiente 𝑥, o valor de entrada, es igual a dos, entonces el valor de la variable dependiente 𝑦, o valor de salida, será igual a tres multiplicado por dos al cuadrado menos dos multiplicado por dos. Usando el orden de las operaciones, obtenemos tres multiplicado por dos al cuadrado, que es 12. Tenemos que elevar al cuadrado el dos y luego multiplicar por tres. Dos por dos es cuatro. Así que tenemos 12 menos cuatro. Que es ocho. Cuando 𝑥 vale dos, 𝑦 vale ocho.

Vamos a repetir este procedimiento con 𝑥 igual a uno. Tres multiplicado por uno al cuadrado es tres y dos multiplicado por uno es dos. Como tres menos dos es uno, cuando 𝑥 es igual a uno, 𝑦 es igual a uno.

Cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 es igual a tres multiplicado por cero al cuadrado menos dos multiplicado por cero. Ambas partes de este cálculo son iguales a cero. Y cero menos cero es cero.

Ahora tenemos que operar con valores negativos de 𝑥, que es un poco más complicado. Elevar al cuadrado un número negativo da un número positivo, ya que al multiplicar un número negativo por un número negativo siempre obtenemos un número positivo. Esto significa que tres multiplicado por menos uno al cuadrado es tres. Dos multiplicado por menos uno es menos dos. Y al restar esto, nos queda más dos. Tres más dos es cinco. Por lo tanto, cuando 𝑥 es igual a menos uno, 𝑦 es igual a cinco.

Tres multiplicado por menos dos al cuadrado es 12, pues menos dos al cuadrado es cuatro. Como dos multiplicado por menos dos es menos cuatro, tenemos que sumar cuatro a 12. Una vez más, estamos restando un número negativo. Esto nos da un valor de salida o valor de 𝑦 de 16 cuando 𝑥 es menos dos.

Los cinco valores que faltan en la tabla son 16, cinco, cero, uno y ocho. Podríamos usar estos pares de coordenadas menos dos, 16; menos uno, cinco; y así sucesivamente para representar gráficamente la función 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥. Como nuestra función es cuadrática y el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es positivo, tendríamos una parábola en forma de U.

En el siguiente problema se nos pide identificar el punto que satisface una función dada.

¿Cuál de los siguientes pares de coordenadas pertenece a la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos 19𝑥 menos 16? ¿Es (A) 10, menos 16; (B) 10, menos 206; (C) menos 206, 10; o (D) menos 206, menos 16?

Estamos acostumbrados a que todo par de coordenadas esté escrito en la forma 𝑥, 𝑦. La primera coordenada es el valor de la variable independiente 𝑥 y la segunda es el valor de la variable dependiente 𝑦. La función 𝑓 de 𝑥 igual a menos 19𝑥 menos 16 es lo mismo que 𝑦 igual a menos 19𝑥 menos 16. Como 𝑦 y 𝑓 de 𝑥 son intercambiables, podemos escribir el par de coordenadas como 𝑥, 𝑓 de 𝑥. El primer valor es el valor de la variable independiente, o valor de entrada, y el segundo valor es el valor de la variable dependiente, o valor de salida.

Tenemos que averiguar cuál de los cuatro pares ordenados satisface la ecuación. Observamos que tanto la opción (A) como la opción (B) tienen una entrada o valor de 𝑥 de 10. Esto significa que, para calcular la salida, tenemos que calcular 𝑓 de 10. Sustituimos 𝑥 igual a 10, y obtenemos menos 19 multiplicado por 10 menos 16. Multiplicar un número negativo por un número positivo siempre da una respuesta negativa. Así que menos 19 multiplicado por 10 es menos 190. Al restar 16 a esto obtenemos menos 206. Esto significa que el par de coordenadas 10, menos 206, se encuentra en la función. Como la opción (A) era 10, menos 16, la descartamos. La opción (B), por otro lado, era 10, menos 206. Así que esta es la respuesta correcta.

Podemos comprobar si las opciones (C) y (D) son correctas sustituyendo el valor de 𝑥 de menos 206. 𝑓 de menos 206 es igual a menos 19 multiplicado por menos 206 menos 16. Podemos ver claramente que esto no satisfará ninguna de nuestras opciones, ya que nuestro valor es demasiado grande. Una entrada de menos 206 da una salida de 3898. El par de coordenadas menos 206, 3898 se encuentra en la función. Esto no se corresponde con la opción (C) o (D). Así que no nos sirve ninguna. La respuesta correcta es, por lo tanto, la opción (B).

En el siguiente ejemplo vamos a ver una cuestión de varias partes en la que exploraremos el significado de función.

Dada la función 𝑓, el significado de 𝑓 de 𝑎 menos uno es el valor de salida cuando el valor de entrada es uno menos que 𝑎. Interpreta lo siguiente. 𝑓 de 𝑏 más tres, 𝑓 de 𝑠 menos tres, 𝑓 de tres menos 𝑥, 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎, 𝑓 de tres 𝑡 y 𝑓 de 𝑎 elevado a 𝑏.

Antes de comenzar con esta cuestión, conviene recordar lo que entendemos por función 𝑓. Si tenemos cualquier función 𝑓 de 𝑥, entonces 𝑥 es el valor de entrada y 𝑓 de 𝑥 es el valor de salida. Un número dentro del paréntesis afecta a la entrada, mientras que un número fuera del paréntesis afecta a la salida. Esto se puede ver en el ejemplo, ya que 𝑎 menos uno significa uno menos que 𝑎.

Nuestra primera función, 𝑓 de 𝑏 más tres, es muy parecida a la del ejemplo. En lugar de restar uno a 𝑎, estamos sumando tres a 𝑏. Esto significa que 𝑓 de 𝑏 más tres es el valor de salida cuando el valor de entrada es tres más que 𝑏.

Nuestra segunda función, 𝑓 de 𝑠 menos tres, es algo distinta. Esta vez, el tres que se resta está fuera del paréntesis. 𝑓 de 𝑠 será la salida cuando la entrada es 𝑠. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑠 menos tres es tres menos que el valor de salida cuando el valor de entrada es 𝑠.

Nuestra tercera función, 𝑓 de tres menos 𝑥, es muy similar a la primera y también al ejemplo. Esta vez, nuestra función nos da el valor de salida cuando el valor de entrada es 𝑥 menos que tres. Estamos restando 𝑥 a tres y luego aplicamos la función.

Nuestra cuarta función tiene dos variables, 𝑏 y 𝑎. Tenemos 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎. Esto significa que estamos restando el valor de 𝑓 de 𝑎 al valor de 𝑓 de 𝑏. Esta es la diferencia entre ellos. Por lo tanto, la respuesta corresponde al cambio en el valor de salida cuando el valor de entrada cambia de 𝑎 a 𝑏.

La penúltima función es 𝑓 de tres 𝑡. Estamos multiplicando nuestro valor de 𝑡 por tres. Esta es una idea similar a nuestra primera función, 𝑓 de 𝑏 más tres, y también a nuestra tercera función, 𝑓 de tres menos 𝑥. Esta vez, corresponde al valor de salida cuando el valor de entrada es tres por 𝑡.

Nuestra última función contiene exponentes. Tenemos 𝑓 de 𝑎 elevado a 𝑏. Como 𝑏 está fuera del paréntesis, este es el resultado de elevar el valor de salida para el valor de entrada 𝑎 a la 𝑏-ésima potencia. Si el exponente 𝑏 estuviera dentro del paréntesis, estaríamos elevando el valor de entrada a la 𝑏-ésima potencia. Interpretar y, a menudo, dibujar funciones de este tipo es una parte muy importante de este tema.

En la última cuestión se nos pide hallar valores de una función a partir de una gráfica.

Determina 𝑓 de uno.

Podemos ver en el gráfico que los ejes están marcados como 𝑥 y 𝑓 de 𝑥. Una función expresada en la forma 𝑓 de 𝑥 tiene valor de entrada 𝑥 y valor de salida 𝑓 de 𝑥. En esta cuestión, el valor de la variable independiente 𝑥, o sea, el valor de entrada es uno. Tenemos que hallar el valor de 𝑓 de 𝑥 a partir de la gráfica para 𝑥 igual a uno. Hacemos esto trazando una recta vertical desde uno en el eje de las 𝑥. Una vez que llegamos a nuestra gráfica, trazamos una recta horizontal a lo largo del eje de las 𝑦 o 𝑓 de 𝑥. Esto es igual a ocho. Por lo tanto, el valor de 𝑓 de uno es ocho. Usando esta gráfica podríamos hallar el valor de 𝑓 de menos dos hasta 𝑓 de ocho.

Antes de terminar vamos a resumir los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Como se mencionó al comienzo del video, la notación 𝑓 de 𝑥 es otra forma de representar el valor 𝑦 de una función definida por la ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. En una función 𝑓 de 𝑥 igual a cinco 𝑥 menos dos, por ejemplo, la variable 𝑥 es la variable de entrada o variable independiente. Y el valor de cinco 𝑥 menos dos es el valor de salida. Para hallar el valor una función, sustituimos en la función el valor de la variable independiente. Por ejemplo, para calcular 𝑓 de tres, sustituimos 𝑥 por 3. Cinco multiplicado por tres menos dos es 13. Por lo tanto, el valor de entrada de tres da un valor de salida de 13.

Además, en este vídeo hemos visto que podemos hallar valores de salida usando expresiones algebraicas, usando tablas y también usando gráficas.

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