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En este vídeo vamos a aprender cómo calcular la amplitud del ángulo agudo formado por dos rectas en el plano de coordenadas. Para ello, vamos a derivar en primer lugar una fórmula que contiene la tangente del ángulo formado entre las dos rectas y las pendientes de las rectas. Y, dependiendo de cuál sea la forma en la que están expresadas las rectas, tendremos que calcular sus pendientes o no. Recordemos, pues, las distintas formas en las que viene dada la ecuación de una recta. Una de ellas es la forma general de una recta en el plano de coordenadas. Es 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦 más 𝑐 igual a cero, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales. Si conocemos la pendiente 𝑚 de la recta y su intersección con el eje de las 𝑦, podemos escribir la ecuación en la forma explícita. Que es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. Si nos fijamos, podemos ver que, en la forma explícita, la constante 𝑏 es la intersección con el eje de las 𝑦, que no tiene nada que ver con la constante 𝑏 de la forma general.
Si conocemos la pendiente 𝑚 y un punto 𝑥 cero, 𝑦 cero de la recta, podemos escribir la ecuación de la recta en la forma de punto y pendiente. Es 𝑦 menos 𝑦 cero igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 cero, donde 𝑥 cero, 𝑦 cero son las coordenadas del punto. Supongamos que tenemos una recta que tiene una pendiente 𝑚 positiva. El ángulo 𝜃, medido en sentido antihorario desde el semieje 𝑥 positivo, es agudo. Eso es entre cero y 90 grados. Sabemos, a partir de la ecuación de una recta en la forma de punto y pendiente, que si tenemos dos puntos en la recta 𝑃 y 𝑄, con coordenadas 𝑥 cero, 𝑦 cero y 𝑥 uno, 𝑦 uno, respectivamente, entonces la pendiente 𝑚 de la recta es igual a la diferencia en 𝑦 partido por la diferencia en 𝑥.
Ahora, si construimos un triángulo rectángulo usando los puntos 𝑃, 𝑄 y un tercer punto 𝑅 en el plano, obtenemos que 𝑦 uno menos 𝑦 cero es 𝑄𝑅, que 𝑥 uno menos 𝑥 cero es 𝑃𝑅, y con respecto a nuestro ángulo 𝜃, 𝑄𝑅 es el cateto opuesto y 𝑃𝑅 es el cateto contiguo, de modo que 𝑄𝑅 partido por 𝑃𝑅 es igual a la tangente del ángulo 𝜃. Por lo tanto, la pendiente, 𝑚, es igual a tangente de 𝜃. Por otro lado, sabemos que, si el ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje 𝑥 positivo hasta la recta es obtuso, es decir, 𝜃 está entre 90 grados y 180 grados, entonces la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑃 y 𝑄 es 𝑚, que es igual a menos 𝑃𝑅 partido por 𝑄𝑅. Y eso es menos tangente de 𝛼. Y como menos tangente de 𝛼 es igual a tangente de 𝜃, tenemos, al igual que antes, que 𝑚 es igual a tangente de 𝜃.
Esto significa que, independientemente de si nuestro ángulo es agudo u obtuso cuando se mide en sentido antihorario desde el semieje 𝑥 positivo, la pendiente 𝑚 de esta recta es igual a la tangente del ángulo. Aunque podemos aplicar nuestro método a los casos especiales de rectas verticales y horizontales, es algo que no vamos a ver en este vídeo. Solo vamos a mencionar que las rectas horizontales tienen una pendiente 𝑚 igual a cero y un ángulo de cero grados, y que las rectas verticales tienen una pendiente indefinida y un ángulo de 90 grados.
Supongamos que tenemos dos rectas en el plano de coordenadas con pendientes 𝑚 uno igual a la tangente del ángulo 𝜃 uno y 𝑚 dos igual a la tangente del ángulo 𝜃 dos. Podemos ver en este ejemplo que 𝜃 uno es mayor que 𝜃 dos y que ambos ángulos son agudos. Y suponiendo que las rectas no son paralelas, es decir, 𝑚 uno no es igual a 𝑚 dos, entonces, como los ángulos en un triángulo deben sumar 180 grados, obtenemos que 𝜃 dos más 𝛼 más 180 menos 𝜃 uno es igual a 180 grados. Ahora, si despejamos 𝛼, y puesto que 180 menos 180 es igual a cero, obtenemos que 𝛼 es igual a 𝜃 uno menos 𝜃 dos. Y si calculamos la tangente en ambos lados, obtenemos que la tangente de 𝛼 es igual a la tangente de 𝜃 uno menos 𝜃 dos.
Usamos la fórmula de suma para la tangente, y obtenemos que tangente 𝛼 es igual a tangente 𝜃 uno menos tangente 𝜃 dos partido por uno más tangente 𝜃 uno tangente 𝜃 dos. Esto se cumple para las dos rectas trazadas en el diagrama. Dependiendo de la posición de las rectas y de la ubicación de su punto de intersección, el método difiere un poco, pero ahora podemos poner nuestras pendientes 𝑚 uno y 𝑚 dos en lugar de los ángulos 𝜃 uno y 𝜃 dos, lo que nos da que el ángulo 𝛼 formado entre las dos rectas no paralelas en el plano de coordenadas con pendientes 𝑚 uno y 𝑚 dos, donde 𝑚 uno 𝑚 dos no es igual a menos uno, verifica la ecuación tangente de 𝛼 igual a 𝑚 uno menos 𝑚 dos dividido por uno más 𝑚 uno 𝑚 dos.
Sabemos que dos rectas que se cortan forman dos ángulos, uno obtuso y otro agudo, así que cuando decimos ángulo, nos solemos referir al ángulo agudo. Ocurre, además, que la tangente del ángulo obtuso es simplemente menos la tangente del ángulo agudo. Así que, para asegurarnos de que nuestra tangente es la tangente del ángulo agudo, el ángulo más pequeño, tomamos el valor absoluto del lado derecho. Por lo tanto, la tangente de 𝛼 es el valor absoluto de 𝑚 uno menos 𝑚 dos partido por uno más 𝑚 uno por 𝑚 dos. Veamos un ejemplo sobre esto en el que se nos dan las pendientes de dos rectas.
Determina, al segundo más cercano, la amplitud del ángulo formado entre dos rectas con pendientes de cinco y un cuarto.
Si conocemos las pendientes de nuestras dos rectas, 𝑚 uno igual a cinco y 𝑚 dos igual a un cuarto, podemos hallar el ángulo agudo 𝛼 formado entre las rectas usando la fórmula tan 𝛼, o tangente de 𝛼, igual al valor absoluto de 𝑚 uno menos 𝑚 dos partido por uno más 𝑚 uno por 𝑚 dos. En nuestro caso, obtenemos que la tangente de 𝛼 es el valor absoluto de cinco menos un cuarto, todo dividido por uno más cinco multiplicado por un cuarto. En el lado derecho obtenemos 19 novenos. Así que esta es la tangente de nuestro ángulo 𝛼. Ahora, si calculamos la inversa de la tangente en ambos lados, obtenemos que 𝛼 es igual a la inversa de la tangente de 19 novenos. Introducimos estos datos en nuestra calculadora y hallamos, con cuatro cifras decimales, que 𝛼 es igual a 64.6538 grados.
Pero recuerda que el enunciado nos pidió que calculáramos el ángulo al segundo más cercano. Para ello, hemos de recordar que un grado tiene 60 minutos y que un minuto tiene 60 segundos. Así que multiplicamos la parte decimal de los grados por 60, y obtenemos, con cuatro cifras decimales, una respuesta de 39.2294 minutos. Ahora, si multiplicamos la parte decimal de los minutos por 60, obtenemos, con cuatro cifras decimales, 13.7666 segundos, que, redondeando, es 14 segundos. Así que hemos hallado, redondeado al segundo más cercano, que el ángulo formado entre nuestras dos rectas tiene una amplitud de 64 grados, 39 minutos y 14 segundos.
En este ejemplo, nos dieron las pendientes de las dos rectas, y en el siguiente ejemplo nos piden calcular el ángulo formado entre dos rectas en el plano de coordenadas y las dos rectas están dadas en forma general.
Calcula, al segundo más cercano, la amplitud del ángulo agudo formado entre las dos rectas cuyas ecuaciones son 11𝑥 más 10𝑦 menos 28 igual a cero y dos 𝑥 más 𝑦 más 15 igual a cero.
No han dado las ecuaciones de dos rectas en forma general. Que es 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦 más 𝑐 igual a cero, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales. Y, para hallar el ángulo agudo 𝛼 formado entre las dos rectas, vamos a usar la fórmula tan 𝛼 igual al valor absoluto de 𝑚 uno menos 𝑚 dos partido por uno más 𝑚 uno por 𝑚 dos, donde 𝑚 uno y 𝑚 dos son las pendientes de nuestras dos rectas. Y para una recta que está dada en forma general, sabemos que la pendiente viene dada por 𝑚 igual a menos 𝑎 partido entre 𝑏. Nuestras rectas están dadas por 𝐿 uno, cuya ecuación es 11𝑥 más 10𝑦 menos 28 igual a cero, y 𝐿 dos, con ecuación dos 𝑥 más 𝑦 más 15 igual a cero. Esto significa que para nuestra recta 𝐿 uno, 𝑎 es igual a 11, 𝑏 es igual a 10 y 𝑐 es menos 28. Por lo tanto, nuestra pendiente 𝑚 uno, que es menos 𝑎 partido entre 𝑏, es menos 11 partido por 10.
Hacemos lo mismo con nuestra recta 𝐿 dos, donde en este caso 𝑎 es igual a dos, 𝑏 es igual a más uno y 𝑐 vale 15, por lo que nuestra pendiente 𝑚 dos es menos dos. Ahora sustituimos estos dos valores en la fórmula de la tangente del ángulo entre las dos rectas. Simplificamos el numerador y el denominador, y obtenemos el valor absoluto de menos 11 décimos más dos, todo partido por uno más 22 décimos, que es igual a nueve entre 32. Hacemos algo de espacio para calcular la inversa de la tangente en ambos lados para hallar el ángulo 𝛼; y hallamos que 𝛼 es igual a la inversa de la tangente de nueve partido por 32. Introducimos esto en nuestra calculadora, y obtenemos que la respuesta es, con cuatro cifras decimales, igual a 15.7086 grados.
Pero recordemos que el enunciado nos ha pedido que hallemos la medida del ángulo al segundo más cercano. Y para hacerlo, hemos de recordar que hay 60 minutos en un grado y 60 segundos en un minuto. Si multiplicamos la parte decimal de nuestros grados por 60, obtenemos 42.5182 con cuatro cifras decimales, y eso son minutos. Y ahora, multiplicando la parte decimal de nuestros minutos por 60, obtenemos 31.0961 segundos, redondeado a cuatro cifras decimales. Eso es aproximadamente 31 segundos. Hemos hallado que la amplitud, al segundo más cercano, del ángulo agudo formado entre las dos rectas es 15 grados, 42 minutos y 31 segundos.
En este ejemplo, nos han dado dos rectas en la forma general, y antes de pasar al siguiente ejemplo, vamos a recordar las otras formas en las que puede venir dada la ecuación de una recta. Si tenemos una recta que pasa por el punto 𝐴 con coordenadas 𝑎 uno, 𝑎 dos en la dirección del vector 𝐝 con componentes 𝑑 uno, 𝑑 dos, entonces, en una recta expresada en la forma vectorial, cada valor único del parámetro real 𝑡 da el vector posición 𝐫 de un punto en la recta. Una recta en forma paramétrica viene dada por 𝑥 igual a 𝑎 uno más 𝑡𝑑 uno y 𝑦 igual a 𝑎 dos más 𝑡𝑑 dos. Y, en forma continua, 𝑥 menos 𝑎 uno partido por 𝑑 uno es igual a 𝑦 menos 𝑎 dos partido por 𝑑 dos, donde 𝑑 uno y 𝑑 dos son distintos de cero.
Si nos fijamos, podemos ver que, despejando 𝑡 en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualando, obtenemos la ecuación de la recta en la forma continua. Y, si reorganizamos, obtenemos 𝑦 igual a 𝑑 dos partido entre 𝑑 uno 𝑥 más 𝑎 dos menos 𝑑 dos partido entre 𝑑 uno por 𝑎 uno. Esta ecuación ahora está en forma explícita, de modo que nuestra pendiente 𝑚 es 𝑑 dos partido por 𝑑 uno. Esto significa que, dada una recta en cualquiera de las formas que hemos visto, y conociendo en concreto su vector director, podemos hallar su pendiente, que es 𝑑 dos partido por 𝑑 uno, siempre que 𝑑 uno sea distinto de cero. En el siguiente ejemplo vamos a usar esta información para calcular el ángulo formado por dos rectas cuyas ecuaciones están dadas en forma vectorial y paramétrica.
Halla, al segundo más cercano y en forma compleja, la medida del ángulo agudo formado entre las dos rectas 𝐿 uno y 𝐿 dos cuyas ecuaciones son 𝐫 igual a dos, siete más 𝐾 por menos uno, ocho y 𝑥 igual a tres más 12𝑑, 𝑦 igual a cuatro 𝑑 menos cinco, respectivamente.
Para hallar el ángulo agudo 𝛼 formado entre las dos rectas en el plano de coordenadas, vamos a usar la fórmula que dice que la tangente de 𝛼 es el valor absoluto de 𝑚 uno menos 𝑚 dos dividido por uno más 𝑚 uno por 𝑚 dos. Aquí 𝑚 uno es la pendiente de la recta 𝐿 uno y 𝑚 dos es la pendiente de la recta 𝐿 dos. Y tenemos que calcular las pendientes 𝑚 uno y 𝑚 dos. La primera de nuestras rectas, 𝐿 uno, viene dada en forma vectorial. Esto significa que cualquier punto en la recta 𝑥, 𝑦 pasa por el punto 𝐴 con coordenadas 𝑎 uno, 𝑎 dos en la dirección del vector director con componentes 𝑑 uno y 𝑑 dos para un valor único del parámetro 𝑡. La pendiente de la recta viene dada por 𝑑 dos partido entre 𝑑 uno, donde 𝑑 uno es distinto de cero.
En nuestra recta 𝐿 uno, podemos ver que la constante 𝐾 se corresponde con el parámetro 𝑡 y que nuestro vector director 𝐝 tiene componentes menos uno y ocho. Esto significa que 𝑑 uno es igual a menos uno y que 𝑑 dos es igual a ocho. Nuestra pendiente 𝑚 uno es, por lo tanto, ocho dividido por menos uno, que es menos ocho. Nuestra segunda recta, 𝐿 dos, viene dada en forma paramétrica. Es decir, 𝑥 es igual a 𝑎 uno más 𝑡 por 𝑑 uno y 𝑦 es igual a 𝑎 dos más 𝑡 por 𝑑 dos. Y, de nuevo, nuestro vector director es 𝐝, cuyas componentes son 𝑑 uno, 𝑑 dos, y nuestra recta pasa por el punto 𝐴 con coordenadas 𝑎 uno, 𝑎 dos. La pendiente viene dada por 𝑑 dos partido por 𝑑 uno.
Si comparamos la ecuación de nuestra recta 𝐿 dos con la ecuación paramétrica, podemos ver que la constante 𝑑 se corresponde con el parámetro 𝑡, de modo que nuestro vector director tiene componentes 12, cuatro. Nuestra pendiente 𝑚 dos, que es 𝑑 dos partido por 𝑑 uno, es cuatro entre 12, o sea, un tercio. Ahora podemos usar nuestras dos pendientes, 𝑚 uno igual a menos ocho y 𝑚 dos igual a un tercio, para hallar la tangente de nuestro ángulo 𝛼. Esto es igual a menos 25 tercios dividido por menos cinco tercios. Que se simplifica a cinco. Y ahora, tomando la inversa de la tangente en ambos lados, obtenemos que 𝛼 es la inversa de la tangente de cinco, que es aproximadamente 78.6900 grados.
Pero el enunciado nos pide que calculemos el ángulo al segundo más cercano. Para ello, hemos de recordar que hay 60 minutos en un grado y 60 segundos en un minuto. Para hallar el número de minutos, multiplicamos la parte decimal de nuestro resultado por 60 que, con cuatro cifras decimales, es 41.4040 minutos. Y para hallar el número de segundos, multiplicamos la parte decimal de nuestros minutos por 60 que, con cuatro cifras decimales, es 24.2430 segundos. Eso es aproximadamente 24 segundos. Hacemos un poco de espacio para escribir que, al segundo más cercano, el ángulo agudo formado entre las dos rectas 𝐿 uno y 𝐿 dos mide 78 grados, 41 minutos y 24 segundos.
Veamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Hemos visto que, dadas dos rectas en el plano de coordenadas con pendientes 𝑚 uno y 𝑚 dos, para hallar el ángulo agudo 𝛼 formado entre las dos rectas, usamos la fórmula tan 𝛼, o tangente de 𝛼, igual al valor absoluto de 𝑚 uno menos 𝑚 dos partido por uno más 𝑚 uno por 𝑚 dos. Si 𝑚 uno multiplicado por 𝑚 dos es menos uno, entonces la expresión para tan 𝛼 no está definida porque el denominador es igual a cero. Esto significa que las rectas son perpendiculares, por lo que el ángulo formando entre ellas es 90 grados. También hemos dicho que, si decimos ángulo entre las rectas, normalmente nos referimos al ángulo agudo entre las dos rectas. Y, por último, vimos que, si las rectas son paralelas, no se cortan y, por lo tanto, no se forma ningún ángulo entre ellas.
