Lesson Video: La circunferencia del círculo

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En este video vamos a aprender cómo calcular la circunferencia de un círculo.

Primero, debemos estar seguros de que conocemos la definición exacta de circunferencia. La circunferencia de un círculo es la distancia a lo largo del borde del círculo. Así que es la distancia que hemos señalado aquí en nuestro diagrama en color verde. Es a lo que nos referimos como perímetro para otras figuras bidimensionales. Pero en el caso de los círculos, tenemos un nombre específico, circunferencia.

Antes de ver cómo se calcula la circunferencia, hay otros términos con los que debemos estar familiarizados. Y el primero de estos es el nombre dado a una línea similar a esta que hemos dibujado aquí. Esta línea atraviesa el círculo de un extremo a otro, pasando por el centro del círculo. Y toda línea que hace esto se llama diámetro del círculo. Generalmente se representa con la letra 𝑑 cuando estamos haciendo cálculos con círculos. Esta es la primera palabra con la que debemos estar familiarizados.

La segunda palabra es usada para describir la línea que empieza en la circunferencia del círculo y la une con el centro del círculo. Una línea como esta de color naranja que hemos dibujado aquí. Y esta línea se llama radio. Y usamos la letra 𝑟 cuando incluimos el radio en los cálculos relacionados con los círculos.

Es fácil darse cuenta de que existe una relación entre el diámetro y el radio de un círculo. Si el diámetro comienza en la circunferencia y continúa hasta el lado opuesto mientras que el radio solo va al centro, significa que el diámetro es el doble de largo que el radio. Por lo tanto, tenemos esta relación, el diámetro es igual a dos veces el radio, o el radio es igual al diámetro dividido por dos, si es más fácil verlo de esta manera.

Ahora estamos listos para ver cómo calcular la circunferencia de un círculo. Y hay una fórmula que podemos usar para hacer esto. Y es esta fórmula de aquí. 𝑐, o circunferencia, es igual a 𝜋 multiplicado por 𝑑, en donde 𝑑 representa el diámetro del círculo. Si no reconoces este símbolo, se trata de la letra griega 𝜋, y se usa para representar un número muy especial en matemáticas. Es un número especial debido a esta relación que existe entre el diámetro del círculo y su circunferencia.

Si dibujásemos un círculo de cualquier tamaño, y midiésemos con precisión la circunferencia, quizás usando una cinta métrica, y el diámetro del círculo, hallaríamos que siempre están relacionados de la misma manera. De modo que, este símbolo 𝜋 representa un número. Un número muy especial. Es, además, lo que llamamos un número irracional.

Esto quiere decir que si lo escribimos en su forma decimal, tendríamos una lista de dígitos infinitamente larga después del punto decimal. Sin que haya ningún tipo de regularidad entre ellos. Las cifras simplemente continúan sin ningún tipo de regularidad entre ellas. Nuestra calculadora tiene el botón 𝜋 así que podemos usarlo para nuestros cálculos. Pero a veces basta con saber que 𝜋 es aproximadamente igual a 3.14. Y, a menudo, podemos usarlo con ese nivel de precisión para nuestros cálculos.

Y esta es nuestra fórmula. La circunferencia de un círculo es igual a 𝜋 multiplicado por el diámetro. Tal vez prefieras la fórmula en términos del radio. Si recordamos que el diámetro es dos veces el radio, podemos reemplazar 𝑑 en esta fórmula con dos 𝑟. Y esto nos da una segunda fórmula para la circunferencia. La circunferencia es igual a dos multiplicado por 𝜋 por 𝑟. Por lo tanto, podemos usar una de estas dos versiones de la misma fórmula. Veamos algunos ejemplos.

Aquí tenemos un círculo. Y queremos calcular su circunferencia.

Observando el diagrama, podemos ver que el diámetro del círculo ha sido dibujado con una medida de 10 centímetros de largo. Así que necesitamos recordar la fórmula para la circunferencia de un círculo. Vamos a usar esta versión, la circunferencia es igual a 𝜋 multiplicado por el diámetro. Y todo lo que tenemos que hacer es sustituir el valor de 10, que es la longitud del diámetro, en esta fórmula. Hemos hallado que la circunferencia es igual a 𝜋 por 10.

A menudo, en lugar de 𝜋 por 10, nos encontraremos con 10𝜋. Y a veces se nos pedirá expresar las respuestas en esta forma. Ese es un valor exacto, en donde no se ha hecho ningún redondeo. Esto también quiere decir que podemos hacer cálculos con círculos, incluso cuando no tenemos una calculadora, si expresamos nuestra respuesta en términos de 𝜋 como aquí. Pero en esta pregunta vamos a trabajar un poco más. De hecho, vamos a evaluar esto.

En la calculadora, escribimos 10 multiplicado por 𝜋. Obtenemos 31.415926, etcétera como respuesta. Así que vamos a redondearla a una cifra decimal. Lo que nos da 31.4 centímetros, con una cifra decimal. Prestemos atención a las unidades que estamos usando. La circunferencia es solo una longitud, por lo que las unidades, centímetros, son las mismas que las unidades que teníamos para el diámetro. Veamos ahora un segundo ejemplo.

Queremos calcular la circunferencia de este círculo de aquí.

Y observando cuidadosamente el diagrama, podemos ver que no nos han dado el diámetro esta vez. Nos han dado el radio, ya que esa línea solo llega hasta el centro del círculo. Por consiguiente, usaremos la versión de la fórmula que utiliza el radio. Y es esta. La circunferencia es igual a dos por 𝜋 por 𝑟. Así que, solo necesitamos sustituir 7.2 como el radio en esta fórmula.

Entonces, sabemos que la circunferencia es igual a dos multiplicado por 𝜋 multiplicado por 7.2. Hay varias formas diferentes en las que podemos expresar esto. Podemos decir 14.4𝜋. O, usando una fracción, como 72𝜋 sobre cinco. Cualquiera de las dos está bien. Pero vamos a expresarlo como un decimal. Y, esto nos da una respuesta de 45.2 milímetros, una vez más redondeado a una cifra decimal. Las unidades, recordemos, porque es una longitud, son milímetros, lo mismo que las unidades que usamos para expresar el radio.

Cuando estamos calculando la circunferencia de un círculo, necesitamos saber claramente la información con la que contamos. ¿Nos han dado el diámetro? ¿nos han dado el radio? Y dependiendo de la información que tenemos, decidiremos qué versión de la fórmula usar. Ahora vamos a ver un tipo de pregunta diferente.

La pregunta dice que la circunferencia de un círculo, con una cifra decimal, es de 32.7 centímetros. Halla el radio del círculo, también con una cifra decimal.

Este es un ejemplo de un tipo de pregunta en la que debemos trabajar hacia atrás, desde la medida de la circunferencia hasta hallar la medida del radio. Vamos a necesitar la fórmula para la circunferencia de un círculo. Y ya que la pregunta nos pide el radio, comenzaremos con esa versión, en la que la circunferencia es igual a dos 𝜋𝑟.

La pregunta también nos dice que la circunferencia es igual a 32.7, así que podemos escribir una igualdad entre estas dos cosas. Sabemos que dos 𝜋𝑟 debe ser igual a 32.7. Debemos trabajar hacia atrás para poder calcular el valor del radio. Vemos que 𝑟 está en este lado de la ecuación, pero está multiplicado por dos 𝜋. Si queremos solo una 𝑟, tendremos que dividir ambos lados de la ecuación por dos 𝜋. Lo que nos da 𝑟 igual a 32.7 sobre dos 𝜋. Y esto lo podemos evaluar usando la calculadora.

Obtenemos 𝑟 igual a 5.2043 y más decimales. La pregunta nos pide el valor con una sola cifra decimal, por lo tanto, necesitamos redondear a una cifra decimal. Obtenemos que 𝑟 es igual a 5.2 centímetros con una cifra decimal. Ya que 𝑟 representa el radio, se trata de una longitud, con unidades de centímetros, que son las mismas unidades que las de la circunferencia del círculo. Este es un tipo de pregunta muy común, en donde nos pueden dar la circunferencia y nos piden retroceder para calcular el radio o para calcular el diámetro del círculo.

Veamos otra pregunta.

Esta pregunta nos pide hallar el perímetro de la figura, usando 3.14 como una aproximación de 𝜋.

Lo primero que debemos advertir es que no estamos usando el valor completo de los decimales de 𝜋, solo estamos usando 3.14 como una aproximación. De modo que, al realizar nuestros cálculos, donde hubiéramos utilizado 𝜋 antes, usaremos este valor 3.14 en su lugar. Ahora bien, la figura que estamos viendo no es un círculo. Está compuesta de semicírculos. Por eso no nos están preguntando por la circunferencia, nos están preguntando por el perímetro. Por tanto, necesitamos examinar cuidadosamente de qué está compuesto el perímetro.

Si comenzamos en un punto y recorremos el borde de la figura, primero tenemos un semicírculo y luego un segundo semicírculo. Y tenemos una porción recta aquí, un tercer semicírculo, y luego otra porción recta aquí. Debemos asegurarnos de incluir todas esas partes en nuestro cálculo del perímetro.

Pensemos primero en los semicírculos. Nos han dado una medida de 18 centímetros, que es la longitud total de lado a lado de esta figura. Esa distancia, si miramos esta parte de aquí, esa distancia es dos veces el diámetro de cada uno de los semicírculos, lo que significa que el diámetro de los semicírculos debe ser nueve centímetros. Veamos primero el cálculo de la longitud de las partes curvas. Estas partes curvas no son la circunferencia completa del círculo. No nos referimos a ellas como circunferencias. En su lugar, las llamamos arcos, por lo que utilizaremos el término longitud del arco para referirnos a esto.

La circunferencia de un círculo es 𝜋 multiplicado por el diámetro, pero cada una de estas es solo la mitad de un círculo. Por lo tanto, multiplicaremos 𝜋 por nueve, pero después lo dividiremos por la mitad, porque solo tenemos la mitad de esta circunferencia. Así que tenemos 𝜋 por nueve sobre dos, lo que significa que cada uno de estos arcos es igual a 4.5𝜋. Es decir que cada una de estas longitudes es igual a 4.5𝜋. Sin embargo, debemos recordar que la pregunta nos pide usar 3.14 como una aproximación de 𝜋. Así que, en realidad, en lugar de 𝜋, deberíamos estar usando esto.

Hemos multiplicado 4.5 por 3.14, lo que nos da un valor de 14.13 centímetros para cada uno de estos arcos. Ahora debemos recordar que hay tres de ellos, de modo que en nuestro cálculo final tenemos que usar ese valor tres veces. Tampoco podemos olvidarnos de las porciones rectas aquí. Cada una es la mitad del diámetro del círculo, así que cada uno mide cuatro centímetros y medio. Pero tenemos dos, así que su contribución total es nueve centímetros.

Ahora necesitamos poner todas las longitudes juntas para poder calcular el perímetro. El perímetro total es tres veces 14.13, para estos arcos semicirculares separados, y después cuatro y medio y cuatro y medio para cada una de las dos partes rectas. Esto nos da un perímetro total de 51.39 centímetros para toda la figura. Por lo tanto, dos cosas hemos aprendido en esta pregunta. Si tenemos una figura más complicada que un círculo, es mejor recorrer todo el borde para conocer todas las diferentes partes que conforman el perímetro. Y, en segundo lugar, si nos piden usar 3.14 como una aproximación para 𝜋, cuando tenemos 𝜋 en nuestro cálculo, podemos reemplazarlo con 3.14.

La pregunta final en este video.

Una rueda de bicicleta tiene un radio de 35 centímetros. ¿Qué distancia recorre Alicia en bicicleta si la rueda gira 250 veces?

Siempre es útil dibujar un diagrama rápido para comprender primero la situación. Por lo tanto, la bicicleta de Alicia aquí está representada por un círculo. Y nos dicen que tiene un radio de 35 centímetros. Entonces, para responder esta pregunta, primero tenemos que calcular la circunferencia de la rueda de la bicicleta y luego debemos multiplicarla por 250, ya que en este viaje gira 250 veces.

Así que debemos recordar que la circunferencia es igual a dos 𝜋𝑟. Vamos a reemplazar el radio por el valor de 35. Tenemos, pues, una circunferencia igual a dos multiplicado por 𝜋 multiplicado por 35, lo que nos da un valor de 70𝜋 para la circunferencia de la rueda de la bicicleta. Por ahora lo vamos a dejar así porque ese es un valor exacto.

Tenemos que calcular la distancia total viajada. Entonces si la rueda gira 250 veces, necesitamos multiplicar este valor por 250. 250 por 70𝜋, lo que nos da 17500𝜋. Ahora vamos a calcular este valor en forma decimal. Es 54977.8 etcétera centímetros. Nos han dicho que esta es una distancia y estamos hablando de alguien viajando en una bicicleta, tal vez lo más lógico sea convertirla a unidades más razonables que centímetros. Así que vamos a convertirla a metros dividiendo por 100. Tenemos una respuesta de 549.7787 metros. Y si redondeamos esto, por ejemplo, al metro más cercano, obtendremos una respuesta de 550 metros, al metro más cercano.

Ahí está, pues. Hemos visto cómo calcular la circunferencia de un círculo a partir de su radio o diámetro. Hemos visto cómo trabajar hacia atrás cuando nos dan la circunferencia y nos piden calcular el radio o el diámetro. Hemos visto que se puede usar 3.14 como una aproximación para 𝜋. Y hemos expresado respuestas como múltiplos de 𝜋, o como números decimales.