Lesson Video: Aplicaciones de las funciones exponenciales

Video Transcript

En este video, vamos a aprender cómo modelizar y resolver problemas en contextos del mundo real utilizando funciones exponenciales. Para hacer eso, vamos a empezar recordando la fórmula general de las funciones exponenciales. Podemos empezar con 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde la base 𝑏 es un número positivo distinto de uno. Sin embargo, cuando queremos representar datos del mundo real en forma exponencial, a menudo necesitamos modificar esto un poco. Normalmente usamos 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 por 𝑏 elevado a 𝑥. Y sigue siendo cierto que 𝑏 es un número positivo distinto de uno. La variable independiente, el exponente, a menudo representa el tiempo transcurrido. Y la variable 𝐴 representa el valor inicial de lo que la función representa.

Podemos ver fácilmente que el valor inicial es cuando 𝑥 es cero, cuando no ha pasado el tiempo. Ya hemos dicho que la base 𝑏 debe ser un número positivo distinto de uno. El valor de la base 𝑏 nos da información sobre la rapidez con que la que la cantidad cambia con el tiempo. Nos dice cómo está cambiando nuestro valor inicial. Y estos cambios caen en una de dos categorías. Tendremos una función que aumenta con el tiempo o una función que disminuye con el tiempo. Un aumento corresponde a un crecimiento exponencial, mientras que una disminución corresponde a un decrecimiento exponencial. Cuando se trata de un crecimiento exponencial, el valor de 𝑏 es mayor que uno. Y cuando se trata de un decrecimiento exponencial, el valor de 𝑏 es menor que uno.

Pero recuerda, ya hemos dicho que el valor de 𝑏 debe ser positivo. Y eso significa que para el decrecimiento exponencial el valor de 𝑏 debe estar entre cero y uno. Antes de pasar a los ejemplos, hay una cosa más que debemos tener en cuenta sobre esta tasa de variación, este valor 𝑏. En la representación exponencial, muy a menudo tratamos con un aumento o una disminución porcentual. Y necesitamos pensar cuidadosamente sobre cómo expresar un aumento o una disminución porcentual utilizando una función exponencial.

Supongamos que queremos modelar una disminución del tres por ciento a lo largo del tiempo. Como sabemos que esto es una disminución, sabemos que estamos buscando una base de entre cero y uno. También sabemos que tres por ciento es tres de 100 o, escrito como decimal, 0.03. Sin embargo, esta función modela el cambio en la cantidad inicial a lo largo del tiempo. Y eso significa que no estamos modelando cuánto hemos perdido; estamos modelizando cuánto queda en cada unidad de tiempo. Y si el tres por ciento es la disminución, el 97 por ciento es lo que queda. Y eso significa que, como una función, podemos llamar a esto 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 0.97 elevado a 𝑥. También es posible escribir esto como la fracción 97 sobre 100 elevado a 𝑥, aunque es más común en este tipo de modelización usar la forma decimal.

Pensemos ahora en cómo representar un aumento del tres por ciento. Ese porcentaje escrito como decimal es 0.03. Esto nos dice que, en cada unidad de tiempo, estamos ganando el tres por ciento de la cantidad inicial. Y cuando queremos tener un aumento exponencial, ese valor de 𝑏 ha de ser mayor que uno. Y lo que está sucediendo aquí es que tenemos el 100 por ciento de lo que comenzamos más un aumento del tres por ciento en cada unidad de tiempo. Y esto se modeliza con 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 1.03 elevado a 𝑥. En este tipo de modelización, hay algunas bases que vemos muy a menudo. Si el valor se duplica cada cierto tiempo, entonces conviene tomar un valor de 𝑏 igual a dos. Y si el valor a lo largo del tiempo se reduce a la mitad, el valor de 𝑏 es igual a la mitad. Ahora estamos listos para ver algunos ejemplos.

El número de personas que visitan un museo está disminuyendo en un tres por ciento al año. Este año hubo 50 000 visitantes. Suponiendo que el declive continúa, escribe una ecuación que se pueda usar para hallar 𝑉, el número de visitantes que habrá dentro de 𝑡 años.

Cuando estamos tratando con disminución porcentual, no estamos tratando con una función lineal, sino que es necesaria una función exponencial para modelar esto. Esto significa que vamos a usar la forma general 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 por 𝑏 elevado a 𝑥. Nuestra variable 𝑏 está relacionada con la tasa de variación. La variable 𝑥 representa el tiempo transcurrido desde cierto instante. Y 𝐴 representa el valor inicial. Necesitamos dejar claro aquí que queremos modelizar el número de visitantes que habrá en el museo.

Una disminución en el tres por ciento de los visitantes significa que el 97 por ciento de los visitantes se mantienen. Como estamos modelando el número de visitantes, usaremos el 97 por ciento. Vamos a escribir este porcentaje en forma decimal 0.97. Sabemos que nuestro valor 𝑥 corresponde 𝑡 años. Y nuestro valor inicial, nuestro valor inicial, son los 50 000 visitantes de este año. El número de visitantes está representado por una 𝑉 mayúscula, de modo que la ecuación es 𝑉 es igual a 50 000 por 0.97 elevado a 𝑡.

En nuestro siguiente ejemplo, nos dan un modelo y necesitamos interpretar los datos de ese modelo.

La población de bacterias disminuye como resultado de un tratamiento químico. La población 𝑡 horas después de la aplicación del tratamiento puede ser representada por la función 𝑃 de 𝑡, donde 𝑃 de 𝑡 es igual a 6000 por 0.4 elevado a 𝑡. ¿Cuál era la población cuando el producto químico fue aplicado? ¿Y cuál es la tasa de disminución de la población?

La forma general de una función exponencial es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 por 𝑏 elevado a 𝑥. En esta forma, 𝐴 representa el valor inicial, lo que significa que identificamos 6 000 como el valor inicial. Una forma de comprobar que esto es cierto es hacer en la ecuación 𝑡 igual a cero. Cuando ha pasado un tiempo cero, sabemos que las bacterias tienen su población original. 0.4 elevado a cero es igual a uno, y 6 000 por uno es igual a 6 000, lo que confirma el valor de la población inicial. Por lo tanto, desplazamos nuestra atención a la tasa de disminución de la población.

En este modelo, el valor de 𝑏 nos da información sobre la tasa de variación. La función está escrita de modo que nos diga cuántas de las bacterias quedan después de 𝑡 horas. Si quedan 0.4, entonces 0.6 es la cantidad que se ha reducido. Si comenzamos con una cantidad determinada, esta tasa de disminución nos da una población restante igual a 0.4 por la población inicial. Así que la tasa de disminución es 0.6. Generalmente, queremos escribir esto en forma de porcentaje, por lo que decimos que hubo una disminución del 60 por ciento. Este modelo nos muestra que después del tratamiento químico, hay una disminución del 60 por ciento por hora de la población de bacterias.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a escribir un modelo y luego lo vamos a usar para hallar una cantidad después de cierto tiempo.

Un microorganismo se reproduce por fisión binaria, de modo que en cada hora cada célula da lugar a dos células. Sabiendo que al principio había 15 141 células, determina cuántas células habría transcurridas cinco horas.

Como este microorganismo se está reproduciendo, esperamos más células y no menos, lo que significa que queremos un crecimiento exponencial. Nuestra unidad de tiempo es la hora. Eso significa que podemos hacer que 𝑡 sea igual a las horas transcurridas desde el conteo inicial. Si cada hora una célula se divide en dos células, cada célula se convierte en dos células cada hora. Después de otra hora, las dos células se convierten en cuatro. Esto representa una duplicación de las células cada hora.

Así que necesitamos utilizar nuestra forma exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 por 𝑏 elevado a 𝑥, con un valor de 𝐴, que es nuestro valor inicial, de 15 141. 𝑏 es la tasa. Como nuestra cantidad se está duplicando, hacemos 𝑏 igual a dos. Y nuestra variable será 𝑡. Serán unidades de tiempo. Ahora tomamos esta función y la usamos para hallar cuántas células había a las cinco horas, lo que significa que necesitamos calcular 15 141 por dos a la quinta potencia, que es 484 512. Así que, después de cinco horas, cabe esperar que haya 484 512 células de este microorganismo.

En nuestro último ejemplo, vamos a tomar algunos datos que nos dan y los vamos a usar para crear un modelo de población.

El censo de EE. UU. se realiza cada 10 años. La población de Texas era 3.05 millones en el año 1900 y 20.9 millones en el año 2000. Modelizando el crecimiento como exponencial, responde las siguientes preguntas. Escribe una función exponencial en la forma 𝑃 de 𝑑 igual a 𝑃 cero por 𝑘 elevado a 𝑑 para modelizar la población de Texas, en millones, 𝑑 décadas después de 1900. Redondea el valor de 𝑘 a tres cifras decimales si es necesario. Según el modelo, ¿cuál era la población de Texas en 1950? Expresa la respuesta con tres cifras significativas. Y finalmente, reescribe la función en la forma 𝑃 de 𝑦 es igual a 𝑃 cero por 𝑏 elevado a 𝑦, donde 𝑦 es el tiempo en años después de 1900. Redondea el valor de 𝑏 a cuatro cifras decimales.

Comencemos con lo que sabemos. En 1900, la población era de 3.05 millones. Y para el año 2000, ese valor era de 20.9 millones. Sabemos que la forma general de la función exponencial 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐴 por 𝑏 elevado a 𝑥. Estamos utilizando esta forma general con la función 𝑃 de 𝑑 igual a 𝑃 cero por 𝑘 elevado a 𝑑, donde 𝑑 representa el tiempo en décadas después de 1900. Y eso significa que nuestro valor inicial 𝑃 cero debe ser la población en 1900. Como estamos trabajando en millones, podemos dejar esto como 3.05. 𝑘 es nuestro valor desconocido. Para despejar 𝑘, podemos usar otros datos conocidos.

Sabemos que en 2000 había una población de 20.9 millones. También sabemos que el año 2000 es 10 décadas después de 1900. Sustituyendo en la ecuación, podemos usar esta información para hallar 𝑘. Para obtener 𝑘, dividimos ambos lados de la ecuación por 3.05, lo que nos da 6.8524 etcétera es igual a 𝑘 a la décima potencia. En lugar de redondear esto, lo dejaremos en nuestra calculadora como está. Para despejar 𝑘, elevamos ambos lados de esta ecuación al exponente uno partido por diez. 𝑘 elevado a diez elevado a uno partido por diez es igual a 𝑘, y 6.8524 etcétera elevado a uno partido por diez es igual a 1.212228 etcétera. Queremos redondear este valor de 𝑘 a tres cifras decimales.

El cuarto lugar decimal tiene un dos. Así que 𝑘 es igual a 1.212. Este valor de 𝑘 es mayor que uno, lo que nos dice que se trata de un crecimiento de la población. Y si pensamos en el decimal 0.212 como un porcentaje, podemos decir que la población está creciendo a una tasa de alrededor del 21.2 por ciento cada década. Y hemos creado un modelo con el que podemos calcular cuál será la población 𝑑 décadas después de 1900. 𝑃 de 𝑑 es igual a 3.05 por 1.212 elevado a 𝑑. Usando este modelo, queremos estimar cuál era la población en 1950. 1950 es 50 años después de 1900, que son cinco décadas. Así que, para calcular esto, debemos hallar 𝑃 de cinco, que es 3.05 por 1.212 a la quinta potencia, que es igual a 7.9765 etcétera. Tres cifras significativas en este caso serían al segundo lugar decimal. Si redondeamos al segundo lugar decimal, obtenemos 7.98. Según nuestro modelo, entonces, cabe esperar que la población de Texas en 1950 hubiera sido de 7.98 millones.

Para la tercera parte de esta cuestión, queremos reescribir nuestro modelo exponencial, donde nuestra unidad de tiempo son años en lugar de décadas. Será un proceso realmente similar al que hicimos en la primera parte. Seguiremos teniendo el mismo valor inicial de 3.05. Y para despejar 𝑦, vamos a usar nuestro segundo punto de datos. En el año 2000, la población era de 20.9 millones. Y eso fue 100 años después de nuestro valor inicial. Así que sustituimos 100 por 𝑦, y luego despejamos 𝑏. Dividiendo ambos lados de la ecuación por 3.05, obtenemos 6.8524 etcétera igual a 𝑏 elevado a uno partido por cien. No queremos redondear este 6.852 etcétera todavía. Lo vamos a dejar en nuestra calculadora para que podamos elevar ambos lados de esta ecuación a uno sobre 100.

𝑏 elevado a uno partido por 100 es igual a 𝑏. Y 6.8524 etcétera elevado a uno sobre 100 es igual a 1.01943 etcétera. Estamos redondeando a cuatro lugares decimales esta vez, y obtenemos 𝑏 igual a 1.0194. Nuestro valor de 𝑏 es menor que nuestro valor de 𝑘. Según el valor de 𝑏, el crecimiento de la población por año fue del 1.94 por ciento, en comparación con un crecimiento de la población del 21.2 por ciento, década tras década. Para nuestro modelo anual, tenemos 𝑃 de 𝑦 igual a 3.05 por 1.0194 elevado a 𝑦.

Y para terminar vamos a revisar los principales puntos de este video. La función exponencial —la cual se usa para modelizar una gran variedad de situaciones del mundo real—, tiene la fórmula general 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 por 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑎 es la cantidad inicial, 𝑏 es una medida de cómo la cantidad cambia con el tiempo —si 𝑏 es mayor que uno, hay crecimiento exponencial, y si 𝑏 está entre cero y uno, hay decrecimiento exponencial—, y 𝑥 es la cantidad de tiempo transcurrido.