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En este video vamos a familiarizarnos con la prueba del término 𝑛-ésimo o test del término para divergencia de series. Vamos a aprender cómo usarla para probar que una serie diverge y también qué sucede cuando la prueba falla. Además, vamos a considerar lo que nos dice sobre las series convergentes.
Comenzamos recordando que una serie es convergente si el límite de la suma de sus primeros 𝑛 términos cuando 𝑛 tiende a infinito es un número finito 𝑠, el cual entonces se considera la suma de la serie. De forma similar, la sucesión es divergente si lo opuesto es verdadero, es decir, si la suma de la serie no tiene un límite finito. Pero ¿cómo podemos probar si es un caso o el otro?
Existen varios métodos. En este video, vamos a explorar cómo usar la llamada prueba de divergencia del 𝑛-ésimo término para establecer si una serie diverge o si, por el contrario, no demuestra convergencia ni divergencia. Lo primero que tenemos que notar es que, si la serie sumatoria de 𝑎𝑛, desde 𝑛 igual a uno hasta infinito, es convergente, entonces el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 vale cero. Pero es realmente importante darse cuenta de que el recíproco de este teorema no es necesariamente cierto.
Es decir, si el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 es igual a cero, no podemos concluir que la serie es convergente. Por ejemplo, en la serie armónica, que es la sumatoria de uno sobre 𝑛, tenemos 𝑎𝑛 igual a uno sobre 𝑛, que tiende a cero cuando 𝑛 tiende a infinito. Sabemos, sin embargo, que la serie armónica es divergente.
Y así llegamos a la prueba de divergencia del 𝑛-ésimo término. La cual dice que si el límite cuando 𝑛 tiende a infinito no existe o no es igual a cero, entonces, la serie sumatoria de 𝑎𝑛 desde 𝑛 igual a uno hasta infinito es divergente.
Vale la pena insistir una vez más en que, si el límite es igual a cero, entonces esta prueba no nos dice nada sobre la convergencia o divergencia de la serie. Y es por esto que, si la prueba de divergencia del término 𝑛-ésimo nos da una respuesta de cero, entonces decimos que la prueba falla. Veamos un ejemplo.
Usando la prueba de divergencia del 𝑛-ésimo término, determina si la serie sumatoria de 𝑛 sobre 𝑛 al cuadrado más uno desde 𝑛 igual a cero hasta infinito es divergente, o si la prueba falla.
Recuerda que la prueba de divergencia del término 𝑛-ésimo dice que si el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 no existe o si el límite no es igual a cero, entonces la serie sumatoria de 𝑎𝑛 desde 𝑛 igual a uno hasta infinito es divergente. Recordemos también que, si el límite es igual a cero, la prueba no determina si la serie converge o diverge, y decimos que la prueba falla.
Observa que la sumatoria en nuestra cuestión es desde 𝑛 igual a cero hasta infinito, en vez del habitual desde 𝑛 igual a uno hasta infinito. En la práctica, esto realmente no importa. Cuando se trata de convergencia, lo que importa es lo que ocurre con la serie a medida que 𝑛 se hace más y más grande. Además, si nos fijamos bien, notamos que cuando 𝑛 es igual a cero, nuestro primer término también es cero. Así que podemos descomponer esto como cero más la sumatoria de 𝑛 es igual a uno.
En nuestro caso, vamos a igualar 𝑎𝑛 a 𝑛 sobre 𝑛 al cuadrado más uno. Queremos evaluar el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑛 sobre 𝑛 al cuadrado más uno. Y cuando evaluamos un límite siempre debemos comprobar si podemos usar sustitución directa. Pero si sustituimos 𝑛 igual a infinito en la expresión, obtendríamos infinito sobre infinito, que es indeterminado. En lugar de eso, vamos a buscar una forma de manipular la expresión 𝑛 sobre 𝑛 al cuadrado más uno. Lo hacemos dividiendo tanto el numerador como el denominador por 𝑛 al cuadrado.
Podemos hacer esto ya que nos lleva a una fracción equivalente. Escogemos 𝑛 al cuadrado porque es la potencia más grande de 𝑛 en nuestro numerador y denominador. Obtenemos el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑛 sobre 𝑛 al cuadrado sobre 𝑛 al cuadrado sobre 𝑛 al cuadrado más uno sobre 𝑛 al cuadrado. Esto se simplifica al límite cuando 𝑛 tiende a infinito de uno sobre 𝑛 sobre uno más uno sobre 𝑛 al cuadrado.
Después, utilizamos la ley de división para los límites. Esta dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Siempre y cuando los límites existan y el límite de 𝑔 de 𝑥 no sea igual a cero. Esto se convierte en el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de uno sobre 𝑛 sobre el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de uno más uno sobre 𝑛 al cuadrado.
Podemos sustituir 𝑛 igual a infinito en esta expresión. A medida que 𝑛 se hace más grande, uno sobre 𝑛 se hace más pequeño. En definitiva, tiende a cero. Del mismo modo, a medida que 𝑛 se hace más grande, uno sobre 𝑛 al cuadrado también tiende a cero. Y nuestro límite se convierte en cero sobre uno más cero, que, por supuesto, es simplemente cero. Y como el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 es igual a cero, vemos que la prueba falla.
Veamos otro ejemplo
¿Qué podemos concluir aplicando la prueba de divergencia del término 𝑛-ésimo a la serie sumatoria de tres 𝑛 sobre la raíz cuadrada de seis 𝑛 al cuadrado más cuatro 𝑛 más cinco para valores de 𝑛 desde uno hasta infinito?
Recordemos que la prueba de divergencia del 𝑛-ésimo término dice que, si el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 no existe o el límite no es igual a cero, la serie sumatoria de 𝑎𝑛 desde 𝑛 igual a uno hasta infinito es divergente. Además, si el límite es igual a cero, no podemos decir si la serie converge o diverge, y decimos simplemente que la prueba falla.
En esta cuestión, vamos a hacer 𝑎𝑛 igual a tres 𝑛 sobre la raíz cuadrada de seis 𝑛 al cuadrado más cuatro 𝑛 más cinco. Así que debemos evaluar el límite de esta expresión cuando 𝑛 tiende a infinito. No podemos usar sustitución directa. Si lo hiciéramos, obtendríamos infinito sobre infinito, que es indeterminado. En vez de eso, necesitamos encontrar una manera de manipular nuestra expresión y ver si eso nos ayuda a evaluar el límite.
Para hacer esto un poco más fácil, apliquemos la regla del factor constante. La cual dice que el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de una constante multiplicada por una función en 𝑛 es igual a esa constante multiplicada por el límite de la función en 𝑛. Así que podemos sacar de nuestro límite el factor constante tres.
Nuestro próximo paso va a parecer un poco extraño. Vamos a dividir tanto el numerador como el denominador de nuestra expresión por 𝑛. El numerador se convierte en uno. Y el denominador se convierte en uno sobre 𝑛 por la raíz cuadrada de seis 𝑛 al cuadrado más cuatro 𝑛 más cinco. Ahora metemos uno sobre 𝑛 dentro de nuestra raíz cuadrada. Pero dentro de la raíz esto estará elevado al cuadrado. El denominador se convierte en raíz cuadrada de seis 𝑛 al cuadrado sobre 𝑛 al cuadrado más cuatro 𝑛 sobre 𝑛 al cuadrado más cinco sobre 𝑛 al cuadrado. Y esto se simplifica bastante bien.
Tenemos tres por el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de uno sobre la raíz cuadrada de seis más cuatro sobre 𝑛 más cinco sobre 𝑛 al cuadrado. Hecho esto, estamos listos para aplicar la sustitución directa. A medida que 𝑛 se hace más grande, cuatro sobre 𝑛 y cinco sobre 𝑛 al cuadrado se hacen más pequeños. Tienden a cero. Uno y seis son independientes de 𝑛. Así que nuestro límite se convierte en uno sobre la raíz cuadrada de seis.
Queremos racionalizar el denominador. Para esto multiplicamos tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción por la raíz cuadrada de seis. Hallamos que el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 es tres por la raíz cuadrada de seis sobre seis, que es raíz de seis sobre dos. Y esto no es igual a cero. Por tanto, concluimos que la serie sumatoria de tres 𝑛 sobre la raíz cuadrada de seis 𝑛 al cuadrado más cuatro 𝑛 más cinco, desde 𝑛 igual a uno hasta infinito, es divergente.
Veamos un ejemplo un poco más complicado que requiere el uso de una regla adicional para hallar límites.
¿Qué podemos concluir aplicando la prueba de divergencia del término 𝑛-ésimo a la serie sumatoria de dos por el logaritmo neperiano de 𝑛, sobre tres 𝑛, desde 𝑛 igual a uno hasta infinito?
Comencemos recordando que la prueba de divergencia del término 𝑛-ésimo dice que, si el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 no es igual a cero o no existe, la serie sumatoria de 𝑎𝑛 desde 𝑛 igual a uno hasta infinito es divergente. Y si ese límite es igual a cero, no podemos estar seguros de si la serie converge o diverge, y decimos simplemente que la prueba falla.
En la cuestión, nos dicen que 𝑎𝑛 es igual a dos por el logaritmo neperiano de 𝑛, sobre tres 𝑛. Y nuestro trabajo es evaluar el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de esta expresión. Si simplemente aplicamos sustitución directa, encontraremos que nuestro límite es igual a infinito sobre infinito. Y eso es indeterminado.
Vamos a recordar la regla de L’Hôpital. Esta dice que si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a infinito sobre infinito, entonces el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥 nos dará el valor del límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥. También podemos usar esta fórmula si nuestro límite es igual a cero sobre cero. Pero no estamos interesados en ese caso.
Estamos trabajando con 𝑛. Por lo tanto, vamos a derivar dos por el logaritmo natural de 𝑛 y tres 𝑛 con respecto a 𝑛. La derivada del logaritmo natural de 𝑛 es uno sobre 𝑛. Así que al derivar dos por el logaritmo natural de 𝑛 con respecto a 𝑛, obtenemos dos sobre 𝑛. Y la derivada de tres 𝑛 es simplemente tres. Y ahora podemos evaluar esto cuando 𝑛 tiende a infinito.
A medida que 𝑛 se hace más grande, dos sobre 𝑛 se hace más pequeño. Y a medida que 𝑛 tiende a infinito, dos sobre 𝑛 tiende a cero. Hallamos que esto es igual a cero sobre tres, que es cero. Y que la prueba falla, o sea, que no es concluyente.
En este video, hemos visto que la prueba de divergencia del término 𝑛-ésimo puede decirnos si una serie es divergente. Y nos dice que, si el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 no es igual a cero o no existe, entonces, la serie sumatoria de 𝑎𝑛 desde 𝑛 igual a uno hasta infinito es divergente. Hemos visto que, si la serie sumatoria de 𝑎𝑛 desde 𝑛 igual a uno hasta infinito es convergente, entonces, el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 vale cero. Pero es realmente importante darse cuenta de que lo contrario de esto no es necesariamente cierto. Si el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 es igual a cero, no podemos concluir que la serie es convergente. Y, de hecho, decimos que la prueba falla.
