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V铆deo de la lecci贸n: El criterio del t茅rmino 饾憶-茅simo para divergencia de series Matemáticas • Educación superior

En este video, vamos a aprender c贸mo aplicar a una serie el test del t茅rmino o criterio del t茅rmino 饾憶-茅simo, el cual dice que una serie diverge si su t茅rmino 饾憶-茅simo no tiende a cero.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a familiarizarnos con la prueba del t茅rmino 饾憶-茅simo o test del t茅rmino para divergencia de series. Vamos a aprender c贸mo usarla para probar que una serie diverge y tambi茅n qu茅 sucede cuando la prueba falla. Adem谩s, vamos a considerar lo que nos dice sobre las series convergentes.

Comenzamos recordando que una serie es convergente si el l铆mite de la suma de sus primeros 饾憶 t茅rminos cuando 饾憶 tiende a infinito es un n煤mero finito 饾憼, el cual entonces se considera la suma de la serie. De forma similar, la sucesi贸n es divergente si lo opuesto es verdadero, es decir, si la suma de la serie no tiene un l铆mite finito. Pero 驴c贸mo podemos probar si es un caso o el otro?

Existen varios m茅todos. En este video, vamos a explorar c贸mo usar la llamada prueba de divergencia del 饾憶-茅simo t茅rmino para establecer si una serie diverge o si, por el contrario, no demuestra convergencia ni divergencia. Lo primero que tenemos que notar es que, si la serie sumatoria de 饾憥饾憶, desde 饾憶 igual a uno hasta infinito, es convergente, entonces el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 vale cero. Pero es realmente importante darse cuenta de que el rec铆proco de este teorema no es necesariamente cierto.

Es decir, si el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 es igual a cero, no podemos concluir que la serie es convergente. Por ejemplo, en la serie arm贸nica, que es la sumatoria de uno sobre 饾憶, tenemos 饾憥饾憶 igual a uno sobre 饾憶, que tiende a cero cuando 饾憶 tiende a infinito. Sabemos, sin embargo, que la serie arm贸nica es divergente.

Y as铆 llegamos a la prueba de divergencia del 饾憶-茅simo t茅rmino. La cual dice que si el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito no existe o no es igual a cero, entonces, la serie sumatoria de 饾憥饾憶 desde 饾憶 igual a uno hasta infinito es divergente.

Vale la pena insistir una vez m谩s en que, si el l铆mite es igual a cero, entonces esta prueba no nos dice nada sobre la convergencia o divergencia de la serie. Y es por esto que, si la prueba de divergencia del t茅rmino 饾憶-茅simo nos da una respuesta de cero, entonces decimos que la prueba falla. Veamos un ejemplo.

Usando la prueba de divergencia del 饾憶-茅simo t茅rmino, determina si la serie sumatoria de 饾憶 sobre 饾憶 al cuadrado m谩s uno desde 饾憶 igual a cero hasta infinito es divergente, o si la prueba falla.

Recuerda que la prueba de divergencia del t茅rmino 饾憶-茅simo dice que si el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 no existe o si el l铆mite no es igual a cero, entonces la serie sumatoria de 饾憥饾憶 desde 饾憶 igual a uno hasta infinito es divergente. Recordemos tambi茅n que, si el l铆mite es igual a cero, la prueba no determina si la serie converge o diverge, y decimos que la prueba falla.

Observa que la sumatoria en nuestra cuesti贸n es desde 饾憶 igual a cero hasta infinito, en vez del habitual desde 饾憶 igual a uno hasta infinito. En la pr谩ctica, esto realmente no importa. Cuando se trata de convergencia, lo que importa es lo que ocurre con la serie a medida que 饾憶 se hace m谩s y m谩s grande. Adem谩s, si nos fijamos bien, notamos que cuando 饾憶 es igual a cero, nuestro primer t茅rmino tambi茅n es cero. As铆 que podemos descomponer esto como cero m谩s la sumatoria de 饾憶 es igual a uno.

En nuestro caso, vamos a igualar 饾憥饾憶 a 饾憶 sobre 饾憶 al cuadrado m谩s uno. Queremos evaluar el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憶 sobre 饾憶 al cuadrado m谩s uno. Y cuando evaluamos un l铆mite siempre debemos comprobar si podemos usar sustituci贸n directa. Pero si sustituimos 饾憶 igual a infinito en la expresi贸n, obtendr铆amos infinito sobre infinito, que es indeterminado. En lugar de eso, vamos a buscar una forma de manipular la expresi贸n 饾憶 sobre 饾憶 al cuadrado m谩s uno. Lo hacemos dividiendo tanto el numerador como el denominador por 饾憶 al cuadrado.

Podemos hacer esto ya que nos lleva a una fracci贸n equivalente. Escogemos 饾憶 al cuadrado porque es la potencia m谩s grande de 饾憶 en nuestro numerador y denominador. Obtenemos el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憶 sobre 饾憶 al cuadrado sobre 饾憶 al cuadrado sobre 饾憶 al cuadrado m谩s uno sobre 饾憶 al cuadrado. Esto se simplifica al l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de uno sobre 饾憶 sobre uno m谩s uno sobre 饾憶 al cuadrado.

Despu茅s, utilizamos la ley de divisi贸n para los l铆mites. Esta dice que el l铆mite cuando 饾懃 tiende a 饾憥 de 饾憮 de 饾懃 sobre 饾憯 de 饾懃 es igual al l铆mite cuando 饾懃 tiende a 饾憥 de 饾憮 de 饾懃 sobre el l铆mite cuando 饾懃 tiende a 饾憥 de 饾憯 de 饾懃. Siempre y cuando los l铆mites existan y el l铆mite de 饾憯 de 饾懃 no sea igual a cero. Esto se convierte en el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de uno sobre 饾憶 sobre el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de uno m谩s uno sobre 饾憶 al cuadrado.

Podemos sustituir 饾憶 igual a infinito en esta expresi贸n. A medida que 饾憶 se hace m谩s grande, uno sobre 饾憶 se hace m谩s peque帽o. En definitiva, tiende a cero. Del mismo modo, a medida que 饾憶 se hace m谩s grande, uno sobre 饾憶 al cuadrado tambi茅n tiende a cero. Y nuestro l铆mite se convierte en cero sobre uno m谩s cero, que, por supuesto, es simplemente cero. Y como el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 es igual a cero, vemos que la prueba falla.

Veamos otro ejemplo

驴Qu茅 podemos concluir aplicando la prueba de divergencia del t茅rmino 饾憶-茅simo a la serie sumatoria de tres 饾憶 sobre la ra铆z cuadrada de seis 饾憶 al cuadrado m谩s cuatro 饾憶 m谩s cinco para valores de 饾憶 desde uno hasta infinito?

Recordemos que la prueba de divergencia del 饾憶-茅simo t茅rmino dice que, si el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 no existe o el l铆mite no es igual a cero, la serie sumatoria de 饾憥饾憶 desde 饾憶 igual a uno hasta infinito es divergente. Adem谩s, si el l铆mite es igual a cero, no podemos decir si la serie converge o diverge, y decimos simplemente que la prueba falla.

En esta cuesti贸n, vamos a hacer 饾憥饾憶 igual a tres 饾憶 sobre la ra铆z cuadrada de seis 饾憶 al cuadrado m谩s cuatro 饾憶 m谩s cinco. As铆 que debemos evaluar el l铆mite de esta expresi贸n cuando 饾憶 tiende a infinito. No podemos usar sustituci贸n directa. Si lo hici茅ramos, obtendr铆amos infinito sobre infinito, que es indeterminado. En vez de eso, necesitamos encontrar una manera de manipular nuestra expresi贸n y ver si eso nos ayuda a evaluar el l铆mite.

Para hacer esto un poco m谩s f谩cil, apliquemos la regla del factor constante. La cual dice que el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de una constante multiplicada por una funci贸n en 饾憶 es igual a esa constante multiplicada por el l铆mite de la funci贸n en 饾憶. As铆 que podemos sacar de nuestro l铆mite el factor constante tres.

Nuestro pr贸ximo paso va a parecer un poco extra帽o. Vamos a dividir tanto el numerador como el denominador de nuestra expresi贸n por 饾憶. El numerador se convierte en uno. Y el denominador se convierte en uno sobre 饾憶 por la ra铆z cuadrada de seis 饾憶 al cuadrado m谩s cuatro 饾憶 m谩s cinco. Ahora metemos uno sobre 饾憶 dentro de nuestra ra铆z cuadrada. Pero dentro de la ra铆z esto estar谩 elevado al cuadrado. El denominador se convierte en ra铆z cuadrada de seis 饾憶 al cuadrado sobre 饾憶 al cuadrado m谩s cuatro 饾憶 sobre 饾憶 al cuadrado m谩s cinco sobre 饾憶 al cuadrado. Y esto se simplifica bastante bien.

Tenemos tres por el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de uno sobre la ra铆z cuadrada de seis m谩s cuatro sobre 饾憶 m谩s cinco sobre 饾憶 al cuadrado. Hecho esto, estamos listos para aplicar la sustituci贸n directa. A medida que 饾憶 se hace m谩s grande, cuatro sobre 饾憶 y cinco sobre 饾憶 al cuadrado se hacen m谩s peque帽os. Tienden a cero. Uno y seis son independientes de 饾憶. As铆 que nuestro l铆mite se convierte en uno sobre la ra铆z cuadrada de seis.

Queremos racionalizar el denominador. Para esto multiplicamos tanto el numerador como el denominador de nuestra fracci贸n por la ra铆z cuadrada de seis. Hallamos que el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 es tres por la ra铆z cuadrada de seis sobre seis, que es ra铆z de seis sobre dos. Y esto no es igual a cero. Por tanto, concluimos que la serie sumatoria de tres 饾憶 sobre la ra铆z cuadrada de seis 饾憶 al cuadrado m谩s cuatro 饾憶 m谩s cinco, desde 饾憶 igual a uno hasta infinito, es divergente.

Veamos un ejemplo un poco m谩s complicado que requiere el uso de una regla adicional para hallar l铆mites.

驴Qu茅 podemos concluir aplicando la prueba de divergencia del t茅rmino 饾憶-茅simo a la serie sumatoria de dos por el logaritmo neperiano de 饾憶, sobre tres 饾憶, desde 饾憶 igual a uno hasta infinito?

Comencemos recordando que la prueba de divergencia del t茅rmino 饾憶-茅simo dice que, si el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 no es igual a cero o no existe, la serie sumatoria de 饾憥饾憶 desde 饾憶 igual a uno hasta infinito es divergente. Y si ese l铆mite es igual a cero, no podemos estar seguros de si la serie converge o diverge, y decimos simplemente que la prueba falla.

En la cuesti贸n, nos dicen que 饾憥饾憶 es igual a dos por el logaritmo neperiano de 饾憶, sobre tres 饾憶. Y nuestro trabajo es evaluar el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de esta expresi贸n. Si simplemente aplicamos sustituci贸n directa, encontraremos que nuestro l铆mite es igual a infinito sobre infinito. Y eso es indeterminado.

Vamos a recordar la regla de L鈥橦么pital. Esta dice que si el l铆mite cuando 饾懃 tiende a 饾憥 de 饾憮 de 饾懃 sobre 饾憯 de 饾懃 es igual a infinito sobre infinito, entonces el l铆mite cuando 饾懃 tiende a 饾憥 de 饾憮 prima de 饾懃 sobre 饾憯 prima de 饾懃 nos dar谩 el valor del l铆mite cuando 饾懃 tiende a 饾憥 de 饾憮 de 饾懃 sobre 饾憯 de 饾懃. Tambi茅n podemos usar esta f贸rmula si nuestro l铆mite es igual a cero sobre cero. Pero no estamos interesados en ese caso.

Estamos trabajando con 饾憶. Por lo tanto, vamos a derivar dos por el logaritmo natural de 饾憶 y tres 饾憶 con respecto a 饾憶. La derivada del logaritmo natural de 饾憶 es uno sobre 饾憶. As铆 que al derivar dos por el logaritmo natural de 饾憶 con respecto a 饾憶, obtenemos dos sobre 饾憶. Y la derivada de tres 饾憶 es simplemente tres. Y ahora podemos evaluar esto cuando 饾憶 tiende a infinito.

A medida que 饾憶 se hace m谩s grande, dos sobre 饾憶 se hace m谩s peque帽o. Y a medida que 饾憶 tiende a infinito, dos sobre 饾憶 tiende a cero. Hallamos que esto es igual a cero sobre tres, que es cero. Y que la prueba falla, o sea, que no es concluyente.

En este video, hemos visto que la prueba de divergencia del t茅rmino 饾憶-茅simo puede decirnos si una serie es divergente. Y nos dice que, si el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 no es igual a cero o no existe, entonces, la serie sumatoria de 饾憥饾憶 desde 饾憶 igual a uno hasta infinito es divergente. Hemos visto que, si la serie sumatoria de 饾憥饾憶 desde 饾憶 igual a uno hasta infinito es convergente, entonces, el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 vale cero. Pero es realmente importante darse cuenta de que lo contrario de esto no es necesariamente cierto. Si el l铆mite cuando 饾憶 tiende a infinito de 饾憥饾憶 es igual a cero, no podemos concluir que la serie es convergente. Y, de hecho, decimos que la prueba falla.

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