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Vídeo de la lección: Potencias de exponente cero o de exponente negativo Matemáticas • Octavo grado

En este video, vamos a aprender cómo simplificar y evaluar expresiones que incluyen potencias que tienen un exponente que vale cero o que tiene un valor negativo.

17:57

Transcripción del vídeo

En la lección de hoy, vamos a ver potencias de exponente cero y potencias de exponente negativo. Ya debes saber que una potencia es una forma abreviada de mostrar una multiplicación repetida, y que está compuesta por dos números. En una potencia, hay un número, al que llamamos «base», y, luego, en la parte de arriba y a la derecha de este número, hay otro número, más pequeño, al que llamamos «exponente».

Ahora bien, en esta potencia de aquí tenemos tres como base y cero como exponente. Bueno, exponentes negativos y exponentes cero, ¿qué significan? Vamos a ver esto precisamente en este video. Vamos a ver qué son las potencias y vamos a ver también cómo podemos entender qué significan los exponentes cero y negativos.

Veamos, pues, con un poco más de detalle qué es una potencia. Por ejemplo, el número tres elevado a cuatro —que, a menudo, se dice «tres a la cuarta» o «tres a la cuatro»— es igual a tres multiplicado por tres multiplicado por tres multiplicado por tres. Tres a la cuarta es una potencia, el tres es la base de la potencia y el cuatro es el exponente de la potencia. Y como ya hemos dicho, esto significa tres multiplicado por tres multiplicado por tres multiplicado por tres. Por lo tanto, lo que nos dice el exponente es cuántas veces tenemos que multiplicar la base por sí misma. Porque podemos ver aquí que tenemos cuatro treses y luego tenemos un signo de multiplicación entre cada par de estos treses.

Un signo de multiplicación que se usa mucho es el punto a media altura, como este de aquí. Y otro signo de multiplicación muy utilizado también es el que parece una equis. Cualquiera de estos signos puede usarse cuando escribimos una potencia en forma desarrollada. Bien, y aquí tenemos tres al cubo. Esto es tres multiplicado por tres multiplicado por tres. Tres al cuadrado es tres por tres. Y tres elevado a uno es simplemente tres.

Calculemos esto y veamos cuál es su valor. Tenemos que tres elevado a cuatro es 81. Tres al cubo es 27. Tres al cuadrado es nueve. Y tres elevado a uno, es tres. Exploremos ahora cómo funciona todo esto. Cada vez que sumamos uno a nuestro exponente, multiplicamos la base una vez más. Porque si nos movemos hacia arriba, vemos que pasamos de tres a nueve, luego de nueve a 27, luego de 27 a 81. Hemos multiplicado por tres cada vez.

Muy bien, hemos visto qué son los exponentes y cómo resolverlos. Pero tenemos que pensar en qué debe tratar este video. Y debe tratar de exponentes cero y negativos. Así que vamos a ver cómo funcionan. Primero que nada, tenemos tres elevado al exponente cero. No sabemos qué es esto, pero ¿podemos descubrirlo usando la secuencia que hemos visto?

Si nos movemos hacia atrás, podemos ver que, de hecho, cada vez que restamos uno al exponente, lo que hacemos es dividir por tres. Porque 81 dividido por tres es 27, 27 dividido por tres es nueve, nueve dividido por tres es tres. Por lo tanto, si dividimos tres por tres, nos queda uno. Así que podemos deducir que tres elevado a cero debe ser igual a uno. Y, en efecto, cualquier cosa elevada al exponente cero es igual a uno. Perfecto, y ahora que ya sabemos lo que vale nuestra potencia de exponente cero, ¿qué pasa con los exponentes negativos?

Para llegar a los exponentes negativos, o sea, para bajar de cero a menos uno, lo que tenemos que hacer es dividir por tres una vez más. Si tenemos uno dividido por tres, obtenemos un tercio. Decimos que tres elevado a menos uno es igual a un tercio. Pero ¿podemos obtener una regla general para esto? Veamos si podemos bajar una vez más. Si bajamos a menos dos, es decir, a tres elevado a menos dos, dividimos por tres una vez más. Pero esto no es tan sencillo, ¿cómo vamos a dividir un tercio por tres?

Voy a mostrar este cálculo en detalle porque nos ayudará a entender el resultado. Si tenemos un tercio dividido por tres, también podemos pensar en ello como un tercio dividido por tres sobre uno. Si estamos dividiendo por un quebrado, lo que hacemos es hallar el recíproco. Así que volteamos ese quebrado. Ese es el segundo quebrado. Y luego, multiplicamos. Esto nos da un tercio multiplicado por un tercio, que es igual a uno al cuadrado sobre tres al cuadrado, que es igual a uno sobre nueve. Excelente, haciendo uso de estos ejemplos no es difícil deducir cuál será la regla general de esto.

La regla general es 𝑥 elevado a menos 𝑛 es igual a uno sobre 𝑥 elevado a 𝑛. Es la potencia del recíproco. Muy bien, bueno, veamos ahora cómo funciona esto en la práctica. Echemos un vistazo a una cuestión.

¿Cuál de los siguientes números es igual a 46 elevado a menos uno? (A) Uno sobre 46, (B) 46, (C) 45, (D) uno sobre 45, o (E) 0.46.

Sabemos que 𝑥 elevado a menos 𝑛 es igual a uno partido por 𝑥 elevado a 𝑛. Esta es una de las reglas que tenemos de nuestros exponentes. Partiendo de esto, vemos que 𝑥 a la menos uno es igual a uno sobre 𝑥. Es el recíproco. Analicemos lo que tenemos. Tenemos 46 elevado a menos uno. Si pensamos en 46 como 46 sobre uno, entonces 46 elevado a menos uno es el recíproco de 46 sobre uno. Lo que nos da uno sobre 46, porque lo que hacemos es intercambiar el numerador y el denominador para obtener nuestro recíproco.

Por lo tanto, podemos decir que la opción (A) es igual a 46 elevado a menos uno. Y eso es porque la opción (A) es igual a uno sobre 46.

De acuerdo, este es un buen ejemplo simplemente para mostrarnos lo que obtenemos cuando calculamos una potencia de exponente negativo. Pero ¿qué vamos a ver a continuación? Vamos a calcular la potencia cinco elevado a menos dos. Para ello, vamos a recordar, una vez más, que 𝑥 a la menos 𝑛 es igual a uno sobre 𝑥 a la 𝑛. Por lo tanto, cinco elevado a menos dos es igual a uno sobre cinco al cuadrado, lo que nos da uno sobre 25.

En definitiva, como mostramos anteriormente, lo que tenemos es uno al cuadrado sobre cinco al cuadrado, lo que nos da uno sobre 25. La regla general es, como ya hemos dicho, que 𝑥 a la menos 𝑛 es igual a uno sobre 𝑥 elevado a 𝑛. Y esto nos será muy útil en las siguientes cuestiones que vamos a resolver.

¿Y qué hacemos ahora? Ahora es el momento de la siguiente cuestión. Así que sigamos adelante y veamos qué tenemos a continuación. En esta cuestión, tenemos un caso que incluye un decimal, y esto es bastante interesante. Vamos, pues, con ello y resolvamos el ejercicio.

¿Cuánto vale 0.2 elevado a menos tres?

Si nos fijamos en 0.2 vemos que 0.2 es lo mismo que dos décimas o dos décimos. Ya que, si miramos los valores posicionales, nuestro cero son las unidades y nuestro dos son las décimas. Por lo tanto, decimos que 0.2 es igual a dos décimas o, lo que es lo mismo, dos décimos. Pero ¿podemos hacer esto más simple? Pues, sí, podemos simplificar la fracción dividiendo el numerador y el denominador por dos. Y al hacer esto, obtenemos uno sobre cinco o un quinto porque dos dividido por dos es uno y 10 dividido por dos es cinco. Tenemos, pues, que 0.2 es igual a un quinto. Y, de hecho, esta es una igualdad entre un número decimal y un quebrado que deberíamos saber de memoria.

Así que lo que obtenemos es un quinto elevado a menos tres. Sabemos que 𝑥 elevado a la menos 𝑛 es igual a uno sobre 𝑥 elevado a la 𝑛, pero aquí hay una pequeña dificultad extra porque tenemos un quebrado, uno sobre cinco. Pero es exactamente el mismo procedimiento porque lo que vamos a hacer es hallar el recíproco de uno sobre cinco. Y después lo vamos a elevar a tres.

Y lo que obtenemos es cinco al cubo sobre uno al cubo. Y eso se debe a que el recíproco de uno sobre cinco es cinco sobre uno. Generalmente no nos molestamos en escribir el uno al cubo en el denominador. Cinco al cubo significa cinco multiplicado por cinco multiplicado por cinco. Y cinco multiplicado por cinco es 25, y 25 por cinco es 125. Por lo tanto, podemos decir que 0.2 elevado a menos tres es 125.

Bien, perfecto, hemos visto otro ejemplo. Y este tenía un número decimal. Así que estamos empezando a familiarizarnos con diferentes tipos de potencias con exponentes negativos. Pero ¿cuál es el siguiente tipo de cuestión que podemos hacer? Con la siguiente cuestión queremos saber si podemos hacer cálculos con potencias negativas. Y la respuesta va a ser que sí, que podemos.

Calcula dos elevado a menos dos multiplicado por tres elevado a menos uno, todo elevado a menos uno, dando la respuesta en su forma más simple.

Primero vamos a usar la regla que acabamos de descubrir, es decir, 𝑥 a la menos 𝑛 es igual a uno sobre 𝑥 a la 𝑛, para convertir nuestros exponentes negativos en quebrados. Comenzamos con dos elevado a menos dos. Y esto es igual a uno sobre dos al cuadrado, que es igual a uno sobre cuatro. Por lo que podemos decir que dos elevado a menos dos es igual a un cuarto. Después tenemos tres elevado a menos uno. Y sabemos que tres elevado a menos uno es igual a uno sobre tres. Y eso es porque es el recíproco de tres sobre uno. Y tres sobre uno es tres. El recíproco de eso es uno sobre tres. Muy bien, los hemos convertido a ambos en quebrados.

Ahora tenemos un cuarto multiplicado por un tercio, todo elevado a menos uno. Cuando multiplicamos quebrados, lo que hacemos es multiplicar los numeradores y luego multiplicar los denominadores. Uno multiplicado por uno es uno. Cuatro multiplicado por tres es 12. Como resultado tenemos uno sobre 12, o un doceavo, elevado a menos uno. Bueno, como dijimos antes, cuando tenemos algo elevado a menos uno, lo que tenemos que hacer es simplemente hallar el recíproco. Y para hallar el recíproco, solo tenemos que invertir el numerador y el denominador.

Por lo tanto, nuestro dos elevado a menos dos multiplicado por tres elevado a menos uno, todo elevado a menos uno se convierte en 12. Y eso se debe a que el paso final es calcular uno sobre 12, o un doceavo, elevado a menos uno. Y el recíproco de uno sobre 12 es simplemente 12.

Muy bien, hemos visto cómo calcular utilizando nuestros exponentes negativos, pero ahora lo que vamos a hacer es calcular una potencia cuya base es un quebrado. Y en este quebrado tenemos un número que no es la unidad en el numerador y un número que no es la unidad en el denominador.

¿Cuál de los siguientes números es igual a dos tercios elevado a menos tres? Las opciones son (A) 27 sobre ocho, (B) ocho sobre 27, (C) menos ocho sobre 27, (D) menos seis sobre menos nueve, o (E) menos 27 sobre ocho.

Para resolver esta cuestión, lo que vamos a hacer es generalizar la regla de las potencias que venimos usando en este video. Y esta regla dice que 𝑥 elevado a menos 𝑛 es igual a uno sobre 𝑥 elevado a 𝑛. De hecho, lo que esto realmente significa es que 𝑥 a la menos 𝑛 es igual a uno a la 𝑛 sobre 𝑥 a la 𝑛. Sin embargo, como uno elevado a 𝑛 es simplemente uno, escribimos uno sobre 𝑥 a la 𝑛. Es decir que, si tenemos 𝑥 sobre 𝑦 a la menos 𝑛, esto es igual a 𝑦 a la 𝑛 sobre 𝑥 a la 𝑛. Porque lo que hacemos es hallar el recíproco de nuestra fracción y elevar cada uno de los números al exponente 𝑛.

Si tenemos dos tercios, o dos sobre tres, elevado a menos tres, lo primero que hacemos es hallar el recíproco. Y el recíproco es lo que obtenemos si intercambiamos el numerador y el denominador. Los dos tercios se convierten en tres medios o tres sobre dos. Y lo que hacemos ahora es elevar tanto el numerador como el denominador al exponente de tres porque, en nuestro ejemplo, esta es nuestra 𝑛. Tres al cubo significa tres multiplicado por tres multiplicado por tres, y dos al cubo significa dos multiplicado por dos multiplicado por dos.

Por lo tanto, podemos decir que dos tercios elevado a menos tres es igual a 27 sobre ocho. Y eso es porque tres por tres por tres es 27 y dos por dos por dos es ocho. Por consiguiente, la opción correcta de nuestra lista es la respuesta (A) porque es 27 sobre ocho o veintisiete octavos.

Lo que vamos a hacer ahora es pasar a la etapa final de nuestra excursión con exponentes negativos. Empezamos con exponentes de menos uno. Luego pasamos a exponentes que no eran solo menos uno, sino menos dos, menos tres, etcétera. Después, hicimos cálculos con potencias de exponente negativo, por ejemplo, dos elevado a menos dos multiplicado por tres elevado a menos uno. Y luego, trabajamos con quebrados, es decir, 𝑥 sobre 𝑦 elevado a la menos 𝑛, y en concreto dos tercios elevado a menos tres.

Habiendo hecho todo esto, hemos llegado al final de nuestro viaje. Y vamos a hacer uso de todas las habilidades que hemos adquirido hasta aquí para multiplicar quebrados elevados a exponentes negativos.

¿Cuál de las opciones siguientes es igual a menos tres cuartos elevado a cinco multiplicado por menos tres cuartos elevado a menos siete? Las opciones son (A) uno con siete novenos, (B) menos tres cuartos elevado a menos 35, (C) menos uno con siete novenos, (D) nueve sobre 16, o (E) menos nueve sobre dieciséis.

Para resolver esta cuestión, lo que vamos a hacer es hacer uso de un par de reglas generales que tenemos para los exponentes. En primer lugar, si tenemos 𝑥 a la 𝑎 multiplicado por 𝑥 a la 𝑏, esto es igual a 𝑥 a la 𝑎 más 𝑏. Así que sumamos los exponentes. Y para la segunda regla, tenemos 𝑥 sobre 𝑦 a la menos 𝑛 es igual a 𝑦 a la 𝑛 sobre 𝑥 a la 𝑛. Lo que hacemos es hallar el recíproco de nuestro quebrado y luego elevamos tanto el numerador como el denominador a la 𝑛.

Usamos la primera regla porque notamos en nuestra cuestión que las bases son iguales, las dos son menos tres sobre cuatro o menos tres cuartos. Por lo tanto, el resultado de menos tres cuartos a la quinta multiplicado por menos tres cuartos a la menos siete va a ser igual a menos tres cuartos a la quinta más menos siete. Y esto es igual a menos tres cuartos elevado a menos dos.

Vamos a seguir adelante y aplicar la segunda regla. Aplicar la segunda regla significa en primer lugar hallar el recíproco. Y en lugar de tres sobre cuatro, tenemos cuatro sobre tres. Pero como era menos tres sobre cuatro, tenemos menos cuatro sobre tres. Pero lo que hacemos es poner el signo menos en el numerador para que no se quede fuera o simplemente para no obtener la respuesta incorrecta, es decir, un valor negativo cuando debería ser positivo, etcétera.

Tenemos menos cuatro al cuadrado sobre tres al cuadrado. Y esto se debe a que ambos están elevados a la potencia de dos. Lo que nos da 16 sobre nueve. Porque menos cuatro multiplicado por menos cuatro es 16 y tres multiplicado por tres es nueve. Y después, para convertir esto en un número mixto, lo que hacemos es ver cuántos nueves caben en 16. Y, en 16 cabe un nueve y sobra siete. Lo hacemos así porque ninguna de nuestras opciones de respuesta (A), (B), (C), (D) y (E), es 16 sobre nueve.

Por lo tanto, nuestra respuesta es uno con siete novenos. Veamos nuestras respuestas en el lado izquierdo. Vemos que nuestra respuesta coincide con la opción (A). Así que la opción (A) es la respuesta correcta. De modo que (A), que es uno y siete novenos, es la respuesta correcta. Pero también, vale la pena señalar que podríamos haber obtenido algunas de las otras respuestas si hubiéramos cometido algún error simple.

Por ejemplo, podríamos haber obtenido la respuesta (C) si nos hubiéramos olvidado del signo negativo que mencionamos anteriormente. Porque si nos hubiéramos olvidado del signo negativo y lo hubiéramos dejado fuera de nuestro quebrado, habríamos obtenido menos 16 sobre nueve, lo que nos habría dado menos uno y siete novenos.

Y otro error común que podría habernos dado la respuesta (B) habría sido el multiplicar los exponentes en lugar de sumarlos. De hacerlo, no estaríamos usando bien la primera regla. Estaríamos usando una regla incorrecta que diría que, si multiplicas potencias que tienen la misma base y diferentes exponentes, se multiplican los exponentes. Y eso nos hubiera dado menos 35. Pero no hemos hecho tal cosa. Y tenemos la respuesta correcta, que es uno y siete novenos, o sea, la respuesta (A).

Pues muy bien, hemos terminado nuestra excursión. Hemos llegado al final. Todo lo que queda por hacer es resumir los puntos clave. Bien, los puntos clave que hemos aprendido hoy son que, si tienes la potencia tres elevado a dos, tres es la base y dos es el exponente. Si elevamos 𝑥 al exponente cero, esto es igual a uno. Si tenemos 𝑥 elevado a menos 𝑛, eso es igual a uno partido por 𝑥 elevado a 𝑛. Es decir, es la potencia del recíproco. Y finalmente, si tenemos 𝑥 sobre 𝑦 elevado a menos 𝑛, esto es igual a 𝑦 a la 𝑛 sobre 𝑥 a la 𝑛. Hallamos el recíproco de nuestra fracción y luego elevamos tanto el numerador como el denominador al exponente 𝑛.

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