Vídeo de la lección: Simplificar los radicales: minimizar el radicando Matemáticas

Comprender cómo usar factores cuadrados para minimizar el radicando en una expresión radical y cómo usar esto para simplificar expresiones radicales.

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Transcripción del vídeo

Echemos una mirada a la simplificación de radicales. Decir «radicales» es esencialmente otra forma de referirse a las raíces, particularmente a las raíces que no pueden «resolverse» porque tienen un valor irracional. Nos vamos a concentrar en la idea de minimizar el radical. Si tenemos algo en esta forma, digamos la raíz cuadrada de veinte, se considera de buena educación entre los matemáticos minimizar el radicando, o sea, el número que está dentro de ese signo de raíz. La idea es hallar divisores del radicando que sean números cuadrados para luego factorizarlos, como hemos hecho aquí, y sacarlos fuera de la raíz y simplificarlos. Pues queremos que el radical —o sea, el número que queda dentro de la raíz cuadrada— sea lo más pequeño posible. A este proceso se le conoce como «simplificación de radicales». Veamos algunos ejemplos.

Nuestro primer ejemplo es simplificar la raíz cuadrada de ocho. Lo que tenemos que hacer es fijarnos en el ocho y ver si podemos hallar divisores que sean números cuadrados. De hecho, lo que realmente queremos hacer es hallar el número más grande que sea divisor de ocho y un número cuadrado que podamos encontrar. Hallamos que cuatro y dos son dos factores de ocho. Y cuatro es un número cuadrado, así que, si sacamos la raíz cuadrada de cuatro, obtendremos un número entero. Y ahora lo escribimos de una forma ligeramente diferente. La raíz cuadrada de ocho es lo mismo que la raíz cuadrada de cuatro por dos. Y podemos escribir esto como el producto de dos factores, la raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de dos. Así que esta parte de aquí y esta parte de acá son equivalentes. La raíz cuadrada de cuatro es dos. Eso nos da dos por raíz de dos, así que esa es nuestra respuesta.

La siguiente cuestión es simplificar la raíz cuadrada de cincuenta. Hay varias maneras de descomponer cincuenta en factores. Tenemos cinco y diez, pero ninguno es un número cuadrado. Lo que queremos hallar es el divisor más grande de cincuenta que sea un número cuadrado. Una forma eficiente de hacer esto es preguntar cuánto es cincuenta dividido por dos, cincuenta dividido por tres, cincuenta dividido por cuatro y seguir haciendo esto hasta obtener un número cuadrado. Y, de hecho, cincuenta dividido por dos es veinticinco, y veinticinco es un número cuadrado. Podemos reescribir la raíz cuadrada de cincuenta como la raíz cuadrada de veinticinco por dos. Y eso es lo mismo que la raíz cuadrada de veinticinco por la raíz cuadrada de dos. Y, por supuesto, la raíz cuadrada de veinticinco es cinco. Así que la respuesta es cinco raíz de dos.

Y el siguiente, simplifica la raíz cuadrada de veintiocho. Estamos buscando factores de veintiocho que sean números cuadrados. Veintiocho dividido por dos es catorce; dos y catorce, no son números cuadrados. Veintiocho dividido por cuatro es siete, así que cuatro y siete, cuatro es un número cuadrado. Probemos, ¿es divisible por tres? No. Y lo dividimos por cuatro; ¡oh!, hemos vuelto a cuatro de nuevo. Así que nos hemos quedado sin divisores. Con esto estamos seguros de que el divisor cuadrado más grande es cuatro. Podemos escribir esto como la raíz cuadrada de cuatro por siete, que es equivalente a la raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de siete. Y, por supuesto, la raíz cuadrada de cuatro es dos. Esto nos da nuestra respuesta de dos por la raíz de siete o, simplemente, dos raíz de siete.

El último ejemplo rápido que vamos a ver es este: la raíz cuadrada de treinta y dos. Así que pensemos en divisores que son números cuadrados. Si dividimos por dos, luego por tres, por cuatro y podemos ver cuál de los otros factores es un número cuadrado, treinta y dos dividido por dos es dieciséis. Y, por supuesto, dieciséis es un número cuadrado. Por lo tanto, raíz de treinta y dos es lo mismo que raíz de dieciséis por dos. Y como hemos visto antes, eso es lo mismo que raíz cuadrada de dieciséis por raíz cuadrada de dos. Y como la raíz cuadrada de dieciséis es cuatro, esto es equivalente a cuatro por raíz de dos o, simplemente, cuatro raíz de dos.

Vale la pena hacer esto otra vez, ahora de una manera un poco diferente, aunque sea solo para mostrar lo que pasa si no se obtiene al primer intento el divisor cuadrado más grande del radicando. Por ejemplo, treinta y dos también tiene factores cuatro y ocho, cuatro por ocho. Cuatro es un número cuadrado. Por eso escribimos nuestro radical como raíz cuadrada de cuatro por ocho, que, por supuesto, es la raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de ocho, lo que nos da dos raíz de ocho. Y podríamos pensar que tenemos dos respuestas diferentes para la misma cuestión. Pero lo que pasa es que este radical que tenemos aquí no está completamente simplificado porque, como vimos, la raíz cuadrada de ocho se puede escribir como dos raíz de dos en su forma más simple. Debido a que no habíamos hallado el divisor cuadrado más grande de treinta y dos, hemos simplificado el radicando un poco, pero no lo hemos simplificado todo lo posible. Como raíz de ocho es lo mismo que dos raíz de dos, esta expresión de aquí significa dos por dos raíz de dos, que obviamente es cuatro raíz de dos. Al darnos cuenta de que no lo habíamos simplificado por completo, y continuar, aún podemos obtener la misma respuesta correcta. Pero el proceso es mucho más fácil si se halla al principio el factor cuadrado más grande del radicando.

Bien, veamos ahora otra cuestión.

Resuelve 𝑥 al cuadrado igual a doscientos, y expresa la respuesta como un radical en su forma más simple. Aquí nos piden un radical. Nos pueden pedir expresar la respuesta como un radical en su forma más simple, o que lo expresemos como un múltiplo de un número radical; puede ser en cualquiera de esas formas. Así que vamos a escribir esa ecuación: 𝑥 al cuadrado es igual a doscientos. Si estamos resolviendo esto, queremos saber cuánto vale 𝑥. ¿Qué tenemos que hacer con 𝑥 al cuadrado para convertirlo en 𝑥? Tenemos que sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. La raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado es 𝑥 y eso es igual a la raíz cuadrada de doscientos. Pero hay que tener cuidado, pues puede ser más raíz de doscientos o menos raíz de doscientos, porque un signo menos por un signo menos es igual a un signo más.

Hemos llegado hasta aquí, 𝑥 es igual a más o menos raíz de doscientos. Hemos resuelto la ecuación, pero aún tenemos que poner la solución en su forma más simple. Así que tenemos que intentar buscar divisores de doscientos que sean números cuadrados, y queremos además el mayor de ellos. Así que buscamos el divisor cuadrado más grande de doscientos y luego lo multiplicaremos por algo más. Vamos a dividir doscientos por dos, por tres, por cuatro hasta que hallemos que el otro factor es un número cuadrado. Y doscientos dividido por dos es cien. Ah, ¡ese es un número cuadrado! Doscientos es cien por dos. Y recordamos que debemos separar el cien y el dos, así que eso es más o menos la raíz cuadrada de cien por la raíz cuadrada de dos. Y como la raíz cuadrada de cien es diez. Se convierte en diez por raíz de dos o diez raíz de dos. Nuestra respuesta final aquí es más o menos diez raíz de dos.

En el siguiente ejemplo, un rectángulo tiene lados de cinco más raíz de siete centímetros y cinco menos raíz de siete centímetros. Calcula el perímetro y el área del rectángulo, dando la respuesta en su forma más simple. En primer lugar, es recomendable hacer un dibujo, siempre nos ayuda a ordenar nuestras ideas y comprender mejor lo que tenemos que hacer. Básicamente, tenemos un lado que tiene una longitud de cinco más raíz de siete. Lo ponemos entre paréntesis solo para aclarar un poco algunos de nuestros cálculos. Y el otro lado mide cinco menos raíz de siete. Para calcular el perímetro, solo tenemos que sumar la longitud de todos los lados, este lado más este lado más este lado más este lado. Y para calcular el área, simplemente tenemos que multiplicar la longitud del rectángulo por el ancho.

Comenzamos con el perímetro, tenemos cinco menos raíz de siete aquí y cinco menos raíz de siete aquí. Así que vamos a sumarlos, son estos dos de aquí. Cinco menos raíz de siete y tenemos cinco más raíz de siete aquí. Y tenemos que sumar eso a otros cinco más raíz de siete aquí, tenemos dos de esos que estamos sumando aquí. Y multiplicamos los paréntesis de esta manera. Tenemos dos lotes de cinco y dos lotes de raíz siete y luego dos lotes de cinco y dos lotes de menos raíz siete. El primer paréntesis, dos lotes de cinco son diez y dos lotes de raíz de siete son dos raíz de siete. Y para el segundo paréntesis, tenemos dos lotes de raíz de cinco, ¡perdón!, dos lotes de cinco, que son otros diez, y tenemos dos lotes de menos raíz de siete, que es menos dos raíz de siete. Tenemos diez y estamos sumando otros diez a eso, lo que nos da veinte. Después tenemos dos raíz de siete. Y restamos la misma cantidad, dos raíz de siete. Esos dos términos se cancelan entre sí. Así que la longitud total es veinte. Recuerda agregar las unidades, que son centímetros, a la longitud. La respuesta es que el perímetro es de veinte centímetros.

Y para a calcular el área, vamos a multiplicar la longitud por la anchura. Y eso es cinco más raíz de siete por cinco menos raíz de siete. Para multiplicar los paréntesis, usamos el método PEIÚ (Primero, Externo, Interno, Último). Cinco por cinco son veinticinco; cinco por menos raíz de siete es menos cinco raíz de siete. Continuamos con cinco por raíz de siete de nuevo, pero esto es más por más en este caso, que es cinco por raíz de siete. Y luego raíz de siete por menos raíz de siete, y sabemos que un signo más por un signo menos es un signo menos.

La expresión es veinticinco menos cinco raíz de siete más cinco raíz de siete. Bien, estos términos se cancelan entre sí. Porque si tenemos cinco menos raíz de siete y sumamos cinco raíz de siete, vamos a...; bueno, obtenemos cero, estos dos términos valen cero en total, y ahora tenemos menos raíz de siete por raíz de siete.

La definición de la raíz cuadrada de un número es que cuando multiplicas la raíz por sí misma, obtienes el número. Raíz de siete por raíz de siete es, por lo tanto, siete. Pensemos en la raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de cuatro, y sabemos que la raíz cuadrada de cuatro es dos. Y dos por dos es cuatro. Y si tenemos la raíz cuadrada de dieciséis por la raíz cuadrada de dieciséis, y sabemos que la raíz cuadrada de dieciséis es cuatro, y cuatro por cuatro nos da dieciséis. La raíz cuadrada de siete por la raíz cuadrada de siete es, sencillamente, siete. Así que esto significa que tenemos veinticinco menos siete, y veinticinco menos siete es dieciocho. Recuerda que la unidad de área en este caso son centímetros cuadrados porque las medidas estaban en centímetros. Así que nuestra respuesta es dieciocho centímetros cuadrados.

Bien, pasemos a nuestro ejemplo final en este video.

Simplifica completamente uno más raíz de dos por cuatro menos raíz de dos, y da la respuesta en la forma 𝑎 más 𝑏 raíz de dos, siendo 𝑎 y 𝑏 números enteros. Básicamente, lo que tenemos que hacer es multiplicar estos paréntesis y luego simplificar. Y acabamos de ver un ejemplo de eso usando el método PEIÚ, pero nos están pidiendo la respuesta en una forma muy específica. Y la intención de añadir todos estos pequeños detalles es simplemente tratar de confundirte o despistarte. 𝑎 más 𝑏 raíz de dos, lo que esto solo significa es un número entero, más un número entero multiplicado por la raíz cuadrada de dos. Por lo tanto, no nos están preguntando específicamente por el valor de 𝑎 o 𝑏, solo que demos la respuesta en esta forma. Bien, escribamos la cuestión y multipliquemos los paréntesis.

Multiplicamos uno por cuatro, lo que nos da cuatro. Después tenemos uno por menos raíz de dos, que es simplemente menos raíz de dos. Luego raíz de dos por cuatro o cuatro por raíz de dos, ambos son números positivos; por lo que dan una respuesta positiva. Después tenemos más raíz de dos por menos raíz de dos. Más por menos es menos, así que tenemos menos raíz de dos por raíz de dos. Que de momento está muy bien, pero sabemos que raíz de dos por raíz de dos, como acabamos de ver, es simplemente dos. Así que, en lo que respecta a números racionales, tenemos cuatro menos dos, y cuatro menos dos es dos. Y luego tenemos menos raíz de dos. Esto significa que solo hay una de estas raíces. Así que es lo mismo que menos una raíz de dos. Y después tenemos cuatro raíz de dos. Si comenzamos con menos uno en la recta numérica y sumamos cuatro, vamos a llegar —uno, dos, tres, cuatro pasos— hasta tres.

Así que aquí está nuestra respuesta, dos más tres raíz de dos. Esta respuesta está en la forma en la que nos pidieron que la diéramos. En este caso, 𝑎, el término entero, es dos, y 𝑏, el multiplicador de la raíz de dos de aquí, es tres. Hay que repasar los signos con cuidado. Nos pidieron 𝑎 más 𝑏 raíz de dos. Bueno, tenemos dos más tres raíz de dos. Así que 𝑎 será dos y 𝑏 será tres. Como dijimos antes, de hecho no nos preguntaron explícitamente por los valores de 𝑎 y 𝑏. Pero en algunas cuestiones, sí lo hacen; por lo que ahora sabemos también cómo resolver ese tipo de cuestiones.

Así que, con estos ejemplos básicos, este video tal vez, con un poco de suerte, te habrá ayudado a saber cómo simplificar radicales.

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