Lesson Video: La integral definida como el límite de una suma de Riemann

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En este vídeo vamos a definir formalmente la integral definida de una función como el límite de una suma de Riemann. Al hacerlo, vamos a ver cómo podemos expresar integrales definidas como límites de sumas de Riemann y viceversa. Además, vamos a calcular integrales definidas usando el límite de la suma de Riemann correspondiente expresada en notación sigma o de sumatorio.

Sabemos que el área entre una curva y el eje de las 𝑥, si está acotada además por las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, puede aproximarse dividiendo la región en 𝑛 rectángulos y calculando el área de cada uno de ellos. Este procedimiento se conoce como el método de la suma de Riemann. Y se define usando notación sigma o de sumatoria, pues el área es aproximadamente igual a la suma de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 asterisco por Δ𝑥 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Δ𝑥 es igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Con esta fórmula obtenemos la anchura de los rectángulos. Y 𝑥 sub 𝑖 asterisco es cualquier punto de muestra en el subintervalo 𝑥 sub 𝑖 menos uno, 𝑥 sub 𝑖.

Cuando 𝑛 aumenta, la anchura de los rectángulos disminuye. De esta forma obtenemos una aproximación más precisa del área. De hecho, cuando 𝑛 tiende a ∞ — el número de rectángulos tiende a ∞ — el límite de esta suma se aproxima al área exacta de la región.

Por lo tanto, el área que debemos hallar es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 asterisco por Δ𝑥 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Este límite es muy importante, pues aparece en una gran variedad de situaciones, incluso cuando 𝑓 no es una función positiva. Así que lo vamos a denotar con un nombre especial, notación 𝑛.

Ahora vamos a explicar lo que es una integral definida. Si 𝑓 es una función definida para 𝑥 mayor o igual que 𝑎 y menor o igual que 𝑏, podemos dividir el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 en 𝑛 subintervalos de la misma anchura. Llamemos 𝑥 sub 𝑖 asterisco a los puntos de muestra en cada subintervalo, de forma que 𝑥 sub 𝑖 asterisco se halla en el intervalo cerrado de 𝑥 sub 𝑖 menos uno a 𝑥 sub 𝑖. La integral definida de 𝑓 desde 𝑎 hasta 𝑏 es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del sumatorio de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 asterisco por Δ𝑥, para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Esto es, por supuesto, siempre y cuando este límite exista y dé el mismo valor independientemente de los puntos de muestra. Si el límite existe, decimos que 𝑓 es integrable en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏.

Este símbolo de integración fue introducido por Leibniz. Es una S alargada y la eligió porque la integral es el límite de las sumas. Ahora bien, ten en cuenta que no todas las funciones son integrables, aunque muchas sí lo son. De hecho, si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 o si tiene un número finito de discontinuidades de salto, entonces 𝑓 es integrable en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏. Es decir, la integral definida de 𝑎 a 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 existe.

En definitiva, 𝑓 es integrable en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, si el límite existe. Y, además, debemos obtener la misma respuesta sin importar el valor, es decir, el punto de muestra 𝑥 sub 𝑖 asterisco que escojamos. Así que podemos simplificar nuestro cálculo escogiendo los 𝑛 extremos superiores. Si 𝑓 es integrable en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, entonces la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del sumatorio de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 por Δ𝑥, para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Aquí Δ𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, y 𝑥 sub 𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥.

Esta es la definición que vamos a usar a lo largo del vídeo. Muy bien, ya tenemos lo que necesitamos para expresar integrales definidas como límites de sumas de Riemann y viceversa.

Expresa la integral definida entre tres y nueve de tres 𝑥 elevado a seis con respecto a 𝑥 como el límite de una suma de Riemann.

Recuerda que, si 𝑓 es integrable en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏, entonces la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 puede expresarse como el límite de una suma de Riemann. Vamos a comparar el teorema con nuestra integral. Nuestra función es un polinomio. Y sabemos que un polinomio es continuo en su dominio, lo que significa que es integrable en su dominio. Por lo tanto, la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 elevado a seis es continua e integrable en el intervalo cerrado con extremo inferior tres y extremo superior nueve.

Por lo tanto, 𝑎 es igual a tres y 𝑏 es igual a nueve. Vamos a hallar Δ𝑥. Es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Y hemos dicho que 𝑏 es nueve y 𝑎 es tres. Esto es válido para todo 𝑛. Así, obtenemos que Δ𝑥 es igual a seis sobre 𝑛. Ya podemos hallar 𝑥𝑖. Es 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥. 𝑎 es tres. Y necesitamos 𝑖 veces Δ𝑥, que hemos hallado es seis sobre 𝑛. Escribimos esto como tres más seis 𝑖 sobre 𝑛.

En nuestro límite tenemos que calcular 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖. Lo hacemos sustituyendo la expresión de 𝑥 sub 𝑖 en la función. Y obtenemos tres por tres más seis 𝑖 sobre 𝑛, elevado a seis. Muy bien, ya podemos sustituir lo que hemos obtenido en la definición de la integral. Al hacerlo, vemos que la integral definida entre seis y nueve de tres 𝑥 elevado a seis con respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma de tres por tres más seis 𝑖 sobre 𝑛 elevado a seis por seis sobre 𝑛 calculado desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑛.

Como la multiplicación es conmutativa, podemos reescribir tres por seis sobre 𝑛 como 18 sobre 𝑛. Y ya tenemos la integral definida expresada como el límite de una suma de Riemann. Es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma de 18 sobre 𝑛 por tres más seis 𝑖 sobre 𝑛 elevado a seis calculado desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑛.

Veamos ahora un ejemplo un poco más complicado.

Sin calcular el límite, expresa la integral definida entre menos cinco y dos de la raíz cuadrada de siete menos cuatro 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 como el límite de una suma de Riemann.

Como ya sabemos, si 𝑓 es integrable en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, entonces la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la sumatoria de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 por Δ𝑥 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Calculamos Δ𝑥 restando 𝑎 de 𝑏 y dividiendo por 𝑛. Y 𝑥 sub 𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥.

En este caso, sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de siete menos cuatro 𝑥 al cuadrado. El límite inferior de la integral es menos cinco. Así que 𝑎 es igual a menos cinco y el límite superior es dos. Por lo que 𝑏 es igual a dos. Ahora vamos a calcular Δ𝑥. O sea, 𝑏 menos 𝑎. Que es dos menos menos cinco, todo partido por 𝑛. Así obtenemos que Δ𝑥 es igual a siete sobre 𝑛. Ahora podemos calcular 𝑥 sub 𝑖. Es 𝑎, que es menos cinco, más 𝑖 veces Δ𝑥, que es siete sobre 𝑛. Simplificamos y obtenemos menos cinco más siete 𝑖 sobre 𝑛.

A continuación, calculamos 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖. Y lo hacemos sustituyendo 𝑥 sub 𝑖 en la expresión de 𝑓 de 𝑥. Es la raíz cuadrada de siete menos cuatro por menos cinco más siete 𝑖 sobre 𝑛 al cuadrado. Ahora ya tenemos todo lo que necesitamos para expresar nuestro límite. Sustituimos Δ𝑥 por siete sobre 𝑛 y 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 por raíz cuadrada de siete menos cuatro por menos cinco más siete 𝑖 sobre 𝑛 todo al cuadrado.

De esta forma obtenemos que nuestra integral, expresada como el límite de sumas de Riemann, es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del sumatorio de siete sobre 𝑛 por la raíz cuadrada de siete menos cuatro por menos cinco más siete 𝑖 sobre 𝑛 al cuadrado para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Este es un ejemplo interesante, pues esta función no es integrable en el intervalo. Recordemos que, para que 𝑓 sea integrable, debe ser continua en el intervalo de 𝑎 a 𝑏. La gráfica de 𝑦 igual a la raíz cuadrada de siete menos cuatro 𝑥 al cuadrado tiene más o menos este aspecto. Evidentemente, no es continua en todo el intervalo cerrado de menos cinco a dos. Así que no podemos calcular este límite.

Sin embargo, podemos aplicar el procedimiento y obtener una suma de Riemann. Pero primero debemos comprobar que la función es integrable en esa región. Aunque tengamos una expresión final en este caso, no es una solución válida de la cuestión. Si, en su lugar, tuviéramos límites de integración, digamos, de menos raíz cuadrada de siete sobre dos y más raíz cuadrada de siete sobre dos, no tendríamos ningún problema. Vamos a ver cómo podemos realizar el proceso al revés y expresar el límite en forma de integral.

Expresa el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma de 𝑒 elevado a 𝑥 sub 𝑖 sobre dos menos cuatro 𝑥 sub 𝑖 por Δ𝑥 sub 𝑖 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛 como una integral definida en el intervalo cerrado de menos cinco a menos tres.

Como sabemos, si 𝑓 es integrable en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, entonces la integral definida entre 𝑏 y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del sumatorio de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 por Δ𝑥 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Como podemos ver, nuestro intervalo va de menos cinco a menos tres. Así que hacemos 𝑎 igual a menos cinco y 𝑏 igual a menos tres.

Vamos a comparar nuestro límite con la forma general. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥 sub 𝑖 sobre dos menos cuatro 𝑥 sub 𝑖. Esto nos viene de perlas, pues significa que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥 sobre dos menos cuatro 𝑥. Esto quiere decir que el límite de la suma de Riemann puede expresarse como una integral definida. Es la integral definida entre menos cinco y menos tres de 𝑒 elevado a 𝑥 sobre dos menos cuatro 𝑥 con respecto a 𝑥.

En el último ejemplo vamos a ver cómo podemos calcular la integral hallando el límite de las sumas de Riemann.

Calcula la integral definida entre menos cuatro y dos de menos 𝑥 menos cuatro con respecto a 𝑥 usando el límite de las sumas de Riemann.

Recuerda que, si 𝑓 es una función integrable en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, entonces la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 se define como el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del sumatorio de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 por Δ𝑥 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Y Δ𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛 y 𝑥 sub 𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥.

Vamos a comparar esta definición con la integral. Como vemos, 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 𝑥 menos cuatro. Esto es un polinomio. Y los polinomios son continuos en su dominio. Así que la función menos 𝑥 menos cuatro es continua, y, por lo tanto, es integrable en el intervalo cerrado definido por el extremo inferior menos cuatro y el extremo superior dos.

Así que 𝑎 es menos cuatro y 𝑏 es dos. Ahora vamos a definir Δ𝑥. Es 𝑏 menos 𝑎. Que es dos menos menos cuatro sobre 𝑛. Que se simplifica a seis sobre 𝑛. A continuación, definimos 𝑥 sub 𝑖. Es 𝑎, que es menos cuatro, más 𝑖 veces Δ𝑥, que es seis sobre 𝑛. Y obtenemos que 𝑥 sub 𝑖 es menos cuatro más seis 𝑖 sobre 𝑛.

Podemos hallar 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 sustituyendo esta expresión en la función. Y obtenemos menos menos cuatro más seis 𝑖 sobre 𝑛 menos cuatro. Desarrollamos el paréntesis y obtenemos que 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 es igual a cuatro menos seis 𝑖 sobre 𝑛 menos cuatro. Y cuatro menos cuatro es cero. Así que 𝑓 de 𝑥𝑖 sub es menos seis 𝑖 sobre 𝑛.

Ahora sustituimos los datos que tenemos en la definición de la integral. Y obtenemos que la integral definida entre menos cuatro y dos de menos 𝑥 menos cuatro con respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la sumatoria de menos seis 𝑖 sobre 𝑛 por seis sobre 𝑛 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Menos seis 𝑖 sobre 𝑛 por seis sobre 𝑛 es menos 36𝑖 sobre 𝑛 al cuadrado. Muy bien, esta es la suma.

Este factor, menos 36 sobre 𝑛 al cuadrado, es independiente de 𝑖. Así que podemos reescribir nuestro límite como el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos 36 sobre 𝑛 al cuadrado por el sumatorio desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑖 igual a 𝑛. Y, como no entra dentro de los objetivos del vídeo probar esto, vamos a usar un resultado general. La suma de 𝑖 desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑛 es igual a 𝑛 por 𝑛 más uno sobre dos. Así que podemos sustituir esta suma por la expresión 𝑛 por 𝑛 más uno sobre dos.

Por lo tanto, nuestra integral definida puede evaluarse calculando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos 36 sobre 𝑛 al cuadrado por 𝑛 por 𝑛 más uno sobre dos. Y, como ves, podemos dividir 36 y dos por dos. Y cancelamos una 𝑛. De esta forma el límite se reduce al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos 18 por 𝑛 más uno sobre 𝑛.

Vamos a desarrollar el paréntesis. Al hacerlo, obtenemos menos 18𝑛 sobre 𝑛 menos 18 sobre 𝑛. Menos 18𝑛 sobre 𝑛 es menos 18. Ya podemos evaluar el límite usando sustitución directa. Cuando 𝑛 tiende a ∞, menos 18 sobre 𝑛 tiende a cero. Así, el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos 18 menos 18 sobre 𝑛 es menos 18. Por lo tanto, la integral definida entre menos cuatro y dos de menos 𝑥 menos cuatro con respecto a 𝑥 es menos 18.

En este vídeo hemos aprendido que podemos escribir una integral definida como un límite de sumas de Riemann. Además, hemos visto que para una función integrable 𝑓 en un intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏, la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma de 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 por Δ𝑥 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Aquí Δ𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Y 𝑥 sub 𝑖 es igual a 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥.

Hemos aprendido que podemos usar esta definición para escribir una integral como el límite de una suma y viceversa. Además, podemos hallar el valor de la integral calculando estos límites.