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En este video vamos a aprender cómo aplicar la regla del producto para hallar la
derivada de una función que puede expresarse como el producto de dos o más
funciones. Vamos a comenzar por aprender qué es la regla del producto antes de aplicarla para
hallar la derivada de una variedad de funciones, incluyendo funciones que son el
producto de al menos tres funciones diferentes. También vamos a considerar brevemente su aplicación para calcular las coordenadas de
los puntos críticos o estacionarios de una gráfica.
Considera el ejemplo de 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más uno por 𝑥 menos cuatro 𝑥 a
la quinta.
Pensemos cómo podemos derivar esta expresión con respecto a 𝑥. En el pasado, habríamos tratado de desarrollar los paréntesis para luego aplicar las
reglas normales de la derivación a cada término resultante. Sin embargo, esta expresión es obviamente el producto de dos funciones separadas. La primera es la función 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más uno. La segunda es la función 𝑥 menos cuatro 𝑥 a la quinta.
Y existe una regla que nos permite derivar cualquier expresión que es el producto de
dos o más expresiones. Esta regla se llama la regla del producto. La demostración de la regla del producto es bastante larga y está fuera del alcance
de este video. En vez de eso, vamos simplemente a presentar la regla del producto y, seguidamente,
exploraremos su aplicación al cálculo.
La regla del producto dice que la derivada del producto de las funciones 𝑓 y 𝑔 es
igual a 𝑓 multiplicada por la derivada de 𝑔 más la derivada de 𝑓 multiplicada por
𝑔. Y esto también se suele escribir como la derivada de 𝑢𝑣 con respecto a 𝑥 es igual
a 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥, donde 𝑢 y 𝑣 son funciones de
𝑥. Es una cuestión de preferencia personal en cuanto a cuál decides usar. Pero conviene aprenderse esta regla de memoria. Vamos a comenzar analizando un ejemplo sencillo de su aplicación.
Halla la primera derivada de la función 𝑦 igual a tres 𝑥 a la quinta más siete por
siete menos tres 𝑥 a la quinta.
Aquí tenemos una ecuación que es el producto de dos funciones. Ya que este es el caso, podemos hallar la derivada de esta función aplicando la regla
del producto. Recuerda que esta regla dice que la derivada del producto de 𝑓 y 𝑔 es igual a 𝑓
por la derivada de 𝑔 más la derivada de 𝑓 por 𝑔. Es siempre recomendable escribir lo que sabemos sobre la expresión que queremos
derivar. Podemos decir que es el producto de dos funciones. Llamemos 𝑓 de 𝑥 a la primera, es decir, a tres 𝑥 a la quinta más siete. Y llamemos 𝑔 de 𝑥 a la segunda. Es siete menos tres 𝑥 a la quinta. Vamos a necesitar hallar la derivada de cada una de estas funciones.
Recuerda que la derivada de una expresión algebraica simple tal como 𝑎𝑥 elevado a
𝑛, donde 𝑎 y 𝑛 son constantes reales, es 𝑛 por 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Multiplicamos por el exponente y después reducimos el exponente en uno. Y esto significa que la derivada de una constante es cero ya que una constante,
digamos el número uno, es en realidad uno por 𝑥 elevado a cero. Así que, cuando multiplicamos por el exponente, obtenemos una respuesta de cero. Esto significa que la derivada de 𝑓 de 𝑥 es cinco por tres 𝑥 a la cuarta más cero
que es simplemente 15𝑥 a la cuarta. De forma similar, la derivada de 𝑔 de 𝑥 es cero menos cinco por tres 𝑥 a la
cuarta, que es menos 15𝑥 a la cuarta.
Reemplacemos lo que sabemos en la fórmula de la regla del producto. d𝑦 sobre d𝑥 es
igual a tres 𝑥 a la quinta más siete por menos 15𝑥 a la cuarta más 15𝑥 a la
cuarta por siete menos tres 𝑥 a la quinta. Desarrollamos luego los paréntesis multiplicando cada término por el término de
fuera. Y obtenemos menos 45𝑥 elevado a nueve menos 105𝑥 elevado a cuatro más 105𝑥 a la
cuarta menos 45𝑥 elevado a nueve. Menos 105𝑥 a la cuarta más 105𝑥 a la cuarta es cero. Y podemos ver que la primera derivada de nuestra función es menos 90𝑥 elevado a
nueve. Es útil saber que podemos aplicar esta regla para hallar la derivada en un punto
dado.
Veamos un ejemplo de esto.
Halla la primera derivada de 𝑓 de 𝑥 igual a nueve 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos
siete por siete 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 menos siete en menos uno, 24.
Tenemos, pues, una función que es el producto de dos funciones. Siendo este el caso, podemos hallar la derivada de esta función aplicando la regla
del producto. Recuerda que esta regla dice que podemos hallar la derivada del producto de 𝑓 y 𝑔
hallando 𝑓 por la derivada de 𝑔 más la derivada de 𝑓 por 𝑔. Sin embargo, nuestra función es 𝑓 de 𝑥. Así que vamos a llamar las otras dos funciones 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥. Podemos decir que 𝑔 de 𝑥 es igual a nueve 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos siete, y
que ℎ de 𝑥 es igual a siete 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 menos siete. Y hemos adaptado un poco la regla del producto. Ahora dice que la derivada de 𝑔 por ℎ es 𝑔 por la derivada de ℎ más la derivada de
𝑔 por ℎ. Hallemos la derivada de 𝑔.
La derivada de nueve 𝑥 al cuadrado es 18𝑥 y la derivada de menos 𝑥 es menos
uno. Así que la derivada de 𝑔 de 𝑥 es 18 𝑥 menos uno. De forma similar, la derivada de ℎ de 𝑥 es 14𝑥 menos ocho. Reemplacemos lo que sabemos en la fórmula de la regla del producto. La derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥 es por tanto nueve 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos
siete por 14𝑥 menos ocho más siete 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 menos siete por
18𝑥 menos uno. Desarrollamos los paréntesis y agrupamos términos semejantes. Y vemos que la derivada de 𝑓 de 𝑥 es 252𝑥 al cubo menos 237𝑥 al cuadrado menos
208𝑥 más 63.
Pero aún no hemos terminado. Nos piden hallar la derivada en el punto menos uno, 24. Este es el punto en nuestro plano cartesiano donde 𝑥 es igual a menos uno y 𝑦 es
igual a 24. Así que hemos de sustituir 𝑥 por menos uno en la expresión de nuestra derivada. Y obtenemos 252 por menos uno al cubo menos 237 por menos uno al cuadrado menos 208
por menos uno más 63, que es menos 218. De hecho, es muy útil recordar que esto nos da la pendiente de la tangente a la curva
en el punto menos uno, 24.
En nuestro próximo ejemplo, vamos a ver cómo aplicar la regla del producto para
derivar una expresión que es el producto de más de dos funciones.
La regla del producto dice que la derivada de 𝑓𝑔 es igual a la derivada de 𝑓 por
𝑔 más 𝑓 por la derivada de 𝑔. Usa esto para hallar una fórmula para la derivada de 𝑓 por 𝑔 por ℎ.
En esta pregunta, nos han dado la regla del producto para que la usemos para hallar
la fórmula del producto de tres funciones. Estas son 𝑓, 𝑔, y ℎ. Vamos a comenzar por reagrupar 𝑓 por 𝑔 por ℎ. Vamos a escribir el producto como 𝑓𝑔 por ℎ. Y como la multiplicación es asociativa, también podríamos haberlo escrito como 𝑓 por
𝑔ℎ y habríamos obtenido la misma respuesta. Así que podemos decir que la derivada de 𝑓𝑔ℎ es igual a la derivada de 𝑓𝑔 por
ℎ.
Y ahora vamos a aplicar la regla del producto. Podemos ver que es igual a la derivada de 𝑓𝑔 por ℎ más 𝑓𝑔 por la derivada de
ℎ. Y vemos que el primer término que tenemos es la derivada de 𝑓𝑔. Ahora bien, sabemos por la definición de la regla del producto que esto es lo mismo
que la derivada de 𝑓 por 𝑔 más 𝑓 por la derivada de 𝑔. Así que reemplazamos esto en nuestra fórmula. Y seguidamente desarrollamos estos paréntesis.
Haciendo esto vemos que la fórmula de la derivada de 𝑓𝑔ℎ es la derivada de 𝑓 por
𝑔 por ℎ más 𝑓 por la derivada de 𝑔 por ℎ más 𝑓 por 𝑔 por la derivada de ℎ. Quizás también quieras intentar aplicar esta idea para hallar una fórmula para la
derivada del producto de cuatro funciones, digamos 𝑓𝑔ℎ𝑖.
A continuación, veremos cómo esta fórmula puede ayudarnos a hallar la derivada de una
expresión que es el producto de tres expresiones.
Halla la derivada de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 elevado a ocho más cuatro por tres 𝑥 raíz
de 𝑥 menos siete por tres 𝑥 raíz de 𝑥 más siete en 𝑥 igual a menos uno.
Para responder esta cuestión tenemos dos opciones. Podemos usar la regla del producto dos veces o podemos aplicar la fórmula de la
derivada del producto de tres funciones. La derivada de 𝑓 por 𝑔 por ℎ es la derivada de 𝑓 por 𝑔 por ℎ más 𝑓 por la
derivada de 𝑔 por ℎ más 𝑓 por 𝑔 por la derivada de ℎ. Como nuestra función es 𝑓 de 𝑥, las funciones en esta fórmula han sido cambiadas
para que sean 𝑢, 𝑣 y 𝑤. Escribamos ahora cada una de las funciones 𝑢, 𝑣, y 𝑤. Podemos decir que 𝑢 de 𝑥 es igual a 𝑥 elevado a ocho más cuatro. 𝑣 de 𝑥 es igual a tres 𝑥 raíz de 𝑥 menos siete. Y 𝑤 de 𝑥 es igual a tres 𝑥 raíz de 𝑥 más siete.
Necesitamos derivar cada una de estas funciones con respecto a 𝑥 para poder aplicar
la fórmula de la regla del producto para tres funciones. La derivada de 𝑢 es bastante sencilla. Es solo ocho 𝑥 elevado a siete. ¿Pero qué sucede con 𝑣 y 𝑤? Bien, podemos usar la regla del producto. Pero, de hecho, podemos simplemente reescribir cada una de estas expresiones. Sabemos que la raíz cuadrada de 𝑥 es lo mismo que 𝑥 elevado a un medio. Y las reglas de los exponentes nos dicen que podemos simplificar esta expresión
sumando sus exponentes.
Haciendo esto vemos que 𝑣 de 𝑥 puede ser escrito como tres 𝑥 elevado a tres medios
menos siete y 𝑤 de 𝑥 es tres 𝑥 elevado a tres medios más siete. Y esto significa que la derivada de 𝑣 es tres medios por tres 𝑥 elevado a un medio
o nueve medios por 𝑥 elevado a un medio. Y 𝑤 tiene la misma derivada.
Ahora tenemos todo lo que necesitamos para sustituir en la fórmula de la regla del
producto. En este punto, es posible que quieras pasar directamente a sustituir 𝑥 igual a menos
uno en la derivada. Sin embargo, tenemos algunas raíces aquí y eso puede causar problemas. Así que vamos a desarrollar cuidadosamente cada conjunto de paréntesis y a
simplificar completamente. Y una vez hemos hecho esto vemos que la derivada de 𝑓 de 𝑥 es 99𝑥 elevado a 10
menos 392𝑥 elevado a siete más 108𝑥 elevado a dos.
Y ahora evaluamos esto en 𝑥 igual a menos uno. Es 99 por menos uno elevado a 10 menos 392 por menos uno elevado a siete más 108 por
menos uno al cuadrado que es igual a 599.
En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo se usa la regla del producto para resolver
problemas que incluyen puntos críticos.
Halla las coordenadas de los puntos críticos en la curva con ecuación 𝑦 igual a 𝑥
sobre 16 más 𝑥 al cuadrado.
Los puntos críticos de una curva se hallan igualando la derivada a cero. Vamos a comenzar derivando nuestra ecuación 𝑦 con respecto a 𝑥. Podemos comenzar reescribiendo nuestra ecuación como 𝑥 por 16 más 𝑥 al cuadrado
elevado a menos uno. Y podemos derivar esto usando la regla del producto. Igualamos nuestra primera función, que hemos llamado 𝑢, a 𝑥. Y nuestra segunda función es 16 más 𝑥 al cuadrado elevado a menos uno. Hallar la derivada de 𝑢 es bastante fácil. Obtenemos uno simplemente. Pero vamos a necesitar usar la regla de la cadena para derivar 16 más 𝑥 al cuadrado
elevado a menos uno.
Vamos a definir 𝑡 como 16 más 𝑥 al cuadrado. Por lo tanto, si derivamos 𝑡 con respecto a 𝑥 nos da dos 𝑥. Y podemos decir que 𝑣 es igual a 𝑡 elevado a menos uno. Necesitamos derivar 𝑣 con respecto a 𝑡. Haciendo esto, vemos que es menos 𝑡 elevado a menos dos. La derivada de nuestra función 𝑣 con respecto a 𝑥 es igual a d𝑣 sobre d𝑡 por d𝑡
sobre d𝑥. Y, de momento, eso es menos 𝑡 elevado a menos dos por dos 𝑥. Ahora podemos reemplazar 𝑡 con 16 más 𝑥 al cuadrado. Y hemos obtenido la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑥.
Hagamos ahora algo de espacio y apliquemos la regla del producto. Hagamos 𝑢 por la derivada de 𝑣 más 𝑣 por la derivada de 𝑢. Y luego lo reescribimos un poco. Obtenemos que la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es menos dos 𝑥 al cuadrado sobre
16 más 𝑥 al cuadrado todo al cuadrado más uno sobre 16 más 𝑥 al cuadrado. Vamos a cambiar esta expresión multiplicando el denominador y el numerador de nuestra
segunda fracción por 16 más 𝑥 al cuadrado. Y ahora tenemos menos dos 𝑥 al cuadrado sobre 16 más 𝑥 al cuadrado, todo al
cuadrado más 16 más 𝑥 al cuadrado sobre 16 más 𝑥 al cuadrado, todo al
cuadrado.
Sumando los numeradores, vemos que hemos hallado la derivada con éxito. Es menos 𝑥 al cuadrado más 16 sobre 16 más 𝑥 al cuadrado, todo al cuadrado. Anteriormente dijimos que las coordenadas de los puntos críticos podían encontrarse
igualando la derivada a cero. Así que vamos a decir que nuestra fracción menos 𝑥 al cuadrado más 16 sobre 16 más
𝑥 al cuadrado, todo al cuadrado, es igual a cero. Y luego consideramos lo que debe ocurrir para que este sea el caso. Bueno, de hecho, no importa cuál sea el denominador de nuestra fracción. Si el numerador de nuestra fracción es cero, toda la fracción debe ser igual a
cero.
Así que decimos que menos 𝑥 al cuadrado más 16 es igual a cero y resolvemos
esto. Sumamos 𝑥 al cuadrado a ambos lados, lo que nos da 𝑥 al cuadrado igual a 16. Y después, hallamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y hallamos las
raíces positiva y negativa de 16. Obtenemos dos valores de 𝑥: más y menos cuatro. Los puntos críticos en nuestra curva ocurren donde 𝑥 es igual a más o menos
cuatro. Vamos a necesitar sustituir estos valores en nuestra ecuación original para hallar
las coordenadas de los puntos críticos.
Cuando 𝑥 es igual a cuatro, 𝑦 es cuatro sobre 16 más cuatro al cuadrado, que es un
octavo. Y cuando 𝑥 es igual a menos cuatro, 𝑦 es menos cuatro sobre 16 más menos cuatro al
cuadrado que es menos un octavo. Así que las coordenadas de los puntos críticos en la curva con ecuación 𝑦 igual a 𝑥
sobre 16 más 𝑥 al cuadrado son cuatro, un octavo y menos cuatro, menos un
octavo.
En este video, hemos aprendido que podemos aplicar la regla del producto para hallar
la derivada del producto de dos funciones. Hemos aprendido que para dos funciones 𝑓 y 𝑔, la derivada de su producto es 𝑓 por
la derivada de 𝑔 más la derivada de 𝑓 por 𝑔. Y finalmente hemos visto que si bien podemos aplicar la regla del producto varias
veces, también podemos hallar la derivada del producto de tres funciones utilizando
la fórmula general.
