Vídeo: Determinar la relación entre lados de un triángulo usando relaciones entre ángulos

Usa los datos de la figura y determina cuál de las siguientes desigualdades es correcta: [A] 𝐴𝐵 > 𝐶𝐵 [B] 𝐴𝐵 < 𝐶𝐵 [C] 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶 [D] 𝐴𝐶 < 𝐶𝐵.

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Transcripción del vídeo

Usa los datos de la figura, y determina cuál de las siguientes desigualdades es correcta: 𝐴𝐵 es mayor que 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 es menor que 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 es mayor que 𝐴𝐶 o 𝐴𝐶 es menor que 𝐶𝐵.

Si nos fijamos en el diagrama, vemos que 𝐴𝐵, 𝐶𝐵 y 𝐴𝐶 representan las longitudes de los lados de un triángulo. Se nos han dado cuatro posibilidades de las relaciones que podrían existir entre las longitudes de distintos pares de lados. No se nos ha dado ninguna longitud en el diagrama. En su lugar, se nos han dado algunos datos sobre los ángulos. Esto nos sugiere que debemos considerar la relación entre las longitudes de los lados y el tamaño de los ángulos en un triángulo. Por lo tanto, vamos a enfocar este problema aplicando la desigualdad ángulo-lado del triángulo.

Esto es lo que nos dice la desigualdad ángulo-lado del triángulo. Si un ángulo de un triángulo tiene una medida mayor que la de otro ángulo, entonces el lado opuesto al ángulo mayor es más largo que el lado opuesto al ángulo menor. Básicamente, lo que esto quiere decir es que el lado más largo de un triángulo es opuesto al ángulo más grande. El lado más corto es opuesto al ángulo más pequeño. Y el lado mediano es opuesto al ángulo mediano. En el diagrama, sin embargo, ahora solo tenemos el tamaño de uno de los ángulos en el triángulo. Así que tenemos que pensar en cómo vamos a calcular los otros ángulos.

En primer lugar, vamos a fijarnos en el ángulo 𝐴𝐵𝐶. Podemos ver que los segmentos 𝐴𝐷 y 𝐶𝐵 son paralelos, ya que están marcados con flechas azules en sus longitudes. El segmento 𝐴𝐵 es una recta transversal a través de las otras dos rectas paralelas. Por lo tanto, podemos ver que el ángulo 𝐴𝐵𝐶 y el ángulo de 66 grados son ángulos alternos interiores. Lo que significa que son congruentes. Así que el ángulo 𝐴𝐵𝐶 también mide 66 grados.

Ahora que ya conocemos la medida de dos de los ángulos del triángulo, podemos calcular el tercero, pues la suma de los ángulos en un triángulo siempre es 180 grados. Así que el ángulo 𝐴𝐶𝐵 puede hallarse restando 52 grados y 66 grados a 180 grados. Esto es 62 grados.

Ahora que conocemos los tamaños de los tres ángulos del triángulo, podemos deducir algo sobre las longitudes de los tres lados. El ángulo más grande en el triángulo mide 66 grados. Y la desigualdad triangular ángulo-lado nos dice que el lado más largo del triángulo será opuesto a este ángulo. Por lo que el lado más largo del triángulo es el lado 𝐴𝐶. El segundo ángulo más grande en el triángulo es el ángulo de 62 grados, que es opuesto al lado 𝐴𝐵. Esto quiere decir, entonces, que 𝐴𝐵 es el segundo lado más largo del triángulo. El ángulo más pequeño, de 52 grados, es opuesto al lado más corto del triángulo. Por lo que 𝐶𝐵 es el lado más corto.

Ahora que tenemos los tres lados del triángulo ordenados de mayor a menor, podemos centrarnos en las cuatro desigualdades y determinar cuál de ellas es cierta. En primer lugar, ¿es 𝐴𝐵 mayor que 𝐶𝐵? Sí, 𝐴𝐵 aparece por delante de 𝐶𝐵 en la lista. Lo que significa que la primera desigualdad es cierta. ¿Es 𝐴𝐵 menor que 𝐶𝐵? Bueno, esta desigualdad es la opuesta de la desigualdad que acabamos de decir que es cierta. Por lo tanto, esta debe ser falsa. En tercer lugar, ¿es 𝐴𝐵 mayor que 𝐴𝐶? No, 𝐴𝐶 es el lado más largo del triángulo. Por lo que esta desigualdad también es falsa. Y, por último, ¿es 𝐴𝐶 menor que 𝐶𝐵? De nuevo, esto es falso. 𝐴𝐶 es el lado más largo del triángulo.

Por lo que podemos concluir que, de las cuatro desigualdades, solo una es cierta. 𝐴𝐵 es mayor que 𝐶𝐵.

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