Vídeo: Lugares geométricos en el plano complejo definidos en términos del argumento

En este video vamos a aprender cómo dibujar y cómo interpretar los lugares geométricos en el plano complejo que están expresados en términos del argumento.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo dibujar y cómo interpretar los lugares geométricos en el plano complejo que están expresados en términos del argumento. Así como podemos usar el módulo para definir lugares geométricos en el plano complejo, haciendo uso de la geometría de este plano también podemos usar el argumento de un número complejo para definir un lugar geométrico como el conjunto de los puntos que satisfacen ciertos criterios. Vamos a analizar como lugares geométricos los semiplanos, los arcos mayores, las semicircunferencias, los arcos menores, y vamos a analizar las ecuaciones cartesianas correspondientes.

Recuerda que para un número complejo representado en el plano complejo que está unido por un segmento o por una semirrecta al origen, el argumento es el ángulo que este segmento hace con el semieje real positivo. Y siempre se mide en sentido antihorario. Para calcular el argumento, primero notamos en qué cuadrante se encuentra el punto que representa el número complejo. Para un número complejo de la forma 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖, su argumento se da como arctan de 𝑏 dividido por 𝑎, para números complejos que se hallan en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante. Para números complejos que se representan en el segundo cuadrante, el argumento es arctan de 𝑏 dividido por 𝑎 más 𝜋. Y si estamos viendo un número complejo que se halla en el tercer cuadrante, su argumento es arctan de 𝑏 dividido por 𝑎 menos 𝜋.

En lugar de preguntar cuál es el argumento de un número complejo, podríamos preguntar cuál es el lugar geométrico de todos los números complejos con un mismo argumento, por ejemplo, argumento de 𝑧 igual a 𝜋 sobre tres radianes. Esto representa el conjunto de los números complejos que se hallan en la semirrecta que forma un ángulo 𝜋 sobre tres con el eje 𝑥 en sentido antihorario. El lugar geométrico de 𝑧 es por lo tanto una semirrecta. Sin embargo, recuerda que el argumento no está definido cuando 𝑧 es igual a cero. Así que este lugar geométrico no incluye el origen.

Podemos generalizar esto para cualquier semirrecta en el plano complejo si aplicamos una transformación consistente en restar el número complejo 𝑧 uno. Podemos decir que el lugar geométrico del punto 𝑧 tal que el argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno es igual a 𝜃 es una semirrecta desde 𝑧 uno, pero sin incluir este punto. Esta semirrecta forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal que se extiende desde 𝑧 uno en la dirección positiva de 𝑥. Y se mide en sentido antihorario. Veamos un ejemplo de esto.

Dibuja el lugar geométrico de los números complejos 𝑧 tales que el argumento de 𝑧 más dos más 𝑖 es igual a 𝜋 sobre cuatro.

Recuerda que el lugar geométrico del punto 𝑧 cuando el argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno es igual a 𝜃 es una semirrecta desde 𝑧 uno pero sin incluir este punto. Esta semirrecta forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal en la dirección positiva de 𝑥. Y se mide en sentido antihorario. Vamos a comenzar por escribir el argumento de 𝑧 más dos más 𝑖 en la forma argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno, para asegurarnos de que podamos identificar correctamente nuestro valor de 𝑧 uno. Factorizamos menos uno, y obtenemos el argumento de 𝑧 menos menos dos menos 𝑖. Y esto significa que podemos reescribir nuestra ecuación como el argumento de 𝑧 menos menos dos menos 𝑖 igual a 𝜋 sobre cuatro.

Podemos ver que 𝑧 uno es igual a menos dos menos 𝑖. Este es el origen de la semirrecta. Y necesitamos recordar que la semirrecta no incluye este punto. En el plano complejo, 𝑧 uno puede ser representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son menos dos, menos uno. Y hemos añadido este circulito para mostrar que no queremos incluir este punto en nuestro lugar geométrico.

Ahora nos ocupamos del argumento. El argumento de 𝑧 más dos más 𝑖 ha de ser 𝜋 sobre cuatro radianes. Esto significa que el lugar geométrico de 𝑧 es el conjunto de los puntos que hacen con la horizontal un ángulo 𝜋 sobre cuatro radianes en sentido antihorario. 𝜋 sobre cuatro radianes es equivalente a 45 grados. Así que trazamos una semirrecta, como se muestra, con este ángulo. Y esto significa que el lugar geométrico de 𝑧 cuando el argumento de 𝑧 más dos más 𝑖 es igual a 𝜋 por cuatro es como se muestra. Podemos hacer este proceso al revés y formular una ecuación conociendo un diagrama del lugar geométrico de 𝑧.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo un lugar geométrico se puede expresar mediante una ecuación cartesiana.

Halla la ecuación cartesiana del lugar geométrico de 𝑤 definido por argumento de 𝑤 más tres más 𝑖 igual a 𝜋 sobre tres.

Recuerda, un lugar geométrico definido así es una semirrecta. Queremos hallar la ecuación cartesiana de esta semirrecta. Y un punto de partida razonable es hallar la pendiente de esta recta. Podemos hallar la pendiente de esta recta considerando el argumento, que es 𝜋 sobre tres radianes. La fórmula para la pendiente es cambio vertical sobre cambio horizontal. Eso es lo mismo que opuesto sobre contiguo. Y, por supuesto, es igual a la función tangente. Podemos decir que la pendiente de nuestra recta es igual a tan de 𝜋 sobre tres, que es la raíz cuadrada de tres.

Nuestra próxima tarea es hallar un punto por el que debe pasar esta línea. Usamos la definición del lugar geométrico para reescribir nuestra ecuación. Factorizamos menos uno. Y podemos ver que esto es lo mismo que argumento de 𝑤 menos menos tres menos 𝑖 igual a 𝜋 sobre tres. Y vemos entonces que nuestra recta comienza en el punto que representa el número complejo menos tres menos 𝑖. Esto tendrá las coordenadas cartesianas menos tres, menos uno. Y ahora sustituimos estos valores en la fórmula de la recta, 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 uno.

Cuando lo hacemos, obtenemos 𝑦 menos menos uno igual a la raíz de tres por 𝑥 menos menos tres. Desarrollamos los paréntesis y simplificamos lo más posible. Y podemos ver que la ecuación cartesiana de la línea es 𝑦 igual a la raíz de tres 𝑥 más tres raíz de tres menos uno. Pero debemos recordar que esto es una semirrecta. Y que no incluye el punto menos tres, menos uno. Por lo tanto, necesitaremos agregar una restricción en 𝑥 o 𝑦. Podemos decir que 𝑥 debe ser mayor que menos tres. Y hemos hallado la ecuación cartesiana del lugar geométrico de 𝑤 definido por argumento de 𝑤 más tres más 𝑖 igual a 𝜋 sobre tres.

El siguiente lugar geométrico en el que estamos interesados ​​es la circunferencia. Podemos decir que el lugar geométrico del punto 𝑧 definido como argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno sobre 𝑧 menos 𝑧 dos igual a 𝜃 es un arco de circunferencia que subtiende un ángulo 𝜃 entre los puntos representados por 𝑧 uno y 𝑧 dos, como se muestra en el diagrama. Si 𝜃 es menor que 𝜋 sobre dos radianes, el lugar geométrico es un arco mayor. Si 𝜃 es igual a 𝜋 sobre dos, el lugar geométrico es una semicircunferencia. Y si 𝜃 es mayor que 𝜋 sobre dos radianes, el lugar geométrico es un arco menor. Y los dos puntos no son parte del lugar geométrico. Por lo tanto, incluimos circulitos que representan estos puntos, como se muestra. Veamos un ejemplo de esta situación.

La figura muestra un lugar geométrico de números 𝑧 en el plano complejo. Escribe una ecuación en la forma argumento de 𝑧 menos 𝑎 sobre 𝑧 menos 𝑏 igual a 𝜃, en donde 𝑎 y 𝑏, que son números complejos, y 𝜃, que es mayor que cero y menor o igual que 𝜋, son constantes por hallar.

Hemos dicho que el lugar geométrico de un punto 𝑧 en esta forma es un arco de circunferencia que subtiende un ángulo 𝜃 entre los puntos representados por 𝑧 uno y 𝑧 dos. Tenemos tres posibilidades para 𝜃. Si es menor que 𝜋 sobre dos, el lugar geométrico es un arco mayor. Si es igual a 𝜋 sobre dos, es una semicircunferencia. Y si es mayor que 𝜋 sobre dos, el lugar geométrico es un arco menor. Y, recordemos que los puntos finales no son parte de este lugar. Si nos fijamos en el diagrama, podemos ver que el lugar geométrico de nuestro 𝑧 es un arco mayor de circunferencia. Y esto tiene sentido porque 𝜃 es igual a 𝜋 sobre cinco radianes.

Los extremos de nuestro lugar geométrico son 𝐴 y 𝐵 cuyas coordenadas cartesianas son cuatro, menos tres y menos tres, uno, respectivamente. Estos representan los números complejos cuatro menos tres 𝑖 y menos tres más 𝑖. Y debemos recordar que este lugar se traza en sentido antihorario. Dado que el punto de partida está representado por el número complejo cuatro menos tres 𝑖, podemos decir que la ecuación de nuestro lugar geométrico es argumento de 𝑧 menos cuatro menos tres 𝑖 sobre 𝑧 menos menos tres más 𝑖 igual a 𝜋 sobre cinco. De hecho, nos pidieron hallar el valor de las constantes 𝑎, 𝑏 y 𝜃. 𝑎 es cuatro menos tres 𝑖, 𝑏 es menos tres más 𝑖, y 𝜃 es 𝜋 sobre cinco.

En nuestro próximo ejemplo, vamos a practicar cómo dibujar un lugar geométrico de esta forma.

El punto 𝑧 satisface la ecuación argumento de 𝑧 menos seis sobre 𝑧 menos seis 𝑖 igual a 𝜋 sobre cuatro. Dibuja el lugar geométrico de 𝑧 en el plano complejo.

El lugar geométrico de 𝑧 es el arco de círcunferencia que subtiende un ángulo 𝜋 sobre cuatro radianes entre los puntos representados por seis y seis 𝑖. Recordemos que este se traza en sentido antihorario de seis a seis 𝑖. Pero no incluye ninguno de estos dos puntos. Estos son los puntos en el plano complejo cuyas coordenadas cartesianas son seis, cero y cero, seis, respectivamente. Y dado que 𝜋 sobre cuatro es menor que 𝜋 sobre dos, sabemos que tenemos un arco mayor. Así que comenzamos colocando los puntos seis, cero y cero, seis en nuestro plano complejo.

Y nos encontramos con un problema. ¿Cómo sabemos dónde está el arco mayor? Obviamente, es el arco principal de una circunferencia. Pero sin conocer el centro de la circunferencia, no podemos usar esa información para hallarlo. En realidad, podría ser cualquiera de estos dos arcos que se muestran. Pero debemos recordar el hecho de que el lugar geométrico se traza en sentido antihorario. Necesitamos que el arco que comienza en el punto seis, cero y termina en el punto cero, seis, sea un arco mayor, cuando se dibuja en esta dirección.

Esto significa que tenemos que elegir este arco a la derecha. Y, por lo tanto, el lugar es como se muestra. En realidad, no es necesario agregar las cuerdas que se muestran. Pero si lo hacemos, podemos ver que obtenemos un ángulo inferior a 𝜋 sobre dos radianes. También es posible hallar la ecuación cartesiana de los lugares geométricos dados en esta forma. Para ello, ocasionalmente es conveniente adoptar un enfoque geométrico. Pero, en general, conviene adoptar un enfoque algebraico

En nuestro ejemplo final, vamos a considerar uno de estos enfoques algebraicos.

El lugar geométrico de 𝑧 satisface la ecuación argumento de 𝑧 menos tres 𝑖 sobre 𝑧 menos cinco 𝑖 igual a dos 𝜋 sobre tres. Traza este lugar geométrico en el plano complejo y halla su ecuación cartesiana.

Sabemos que el lugar geométrico de números 𝑧 definido como argumento de 𝑧 menos tres 𝑖 sobre 𝑧 menos cinco 𝑖 igual a dos 𝜋 sobre tres es un arco de circunferencia que subtiende un ángulo de dos 𝜋 sobre tres radianes entre los puntos representados por tres 𝑖 y cinco 𝑖. El arco comienza en tres 𝑖 y se ha de recorrer en sentido antihorario. Dos 𝜋 sobre tres es mayor que 𝜋 sobre dos. Así que sabemos que se trata de un arco menor. Y como siempre, los puntos finales no son parte del lugar geométrico. Los puntos representados por tres 𝑖 y cinco 𝑖 tienen coordenadas cartesianas cero, tres y cero, cinco, respectivamente.

Una vez que hemos trazado estos puntos en el plano complejo, ¿cómo decidimos dónde está el arco menor? Una vez más, no conocemos el centro del círculo. Por lo tanto, no podemos usar esa información para encontrar la ubicación del arco. Sin embargo, sabemos que el lugar geométrico se dibuja en sentido antihorario. Necesitamos que el arco de cero, tres a cero, cinco sea un arco menor, cuando se dibuja en esa dirección en sentido antihorario. Esto significa que nos hemos de mover a lo largo de este arco como se muestra.

Después, necesitamos hallar la ecuación cartesiana de este lugar. En algunos casos, podemos determinar esta ecuación hallando el centro y el radio de la circunferencia. Aquí, eso no es tan fácil. Por lo tanto, vamos a necesitar sustituir 𝑧 por 𝑥 más 𝑦𝑖 en nuestra ecuación. Cuando lo hacemos, obtenemos que el argumento de 𝑥 más 𝑦𝑖 menos tres 𝑖 sobre 𝑥 más 𝑦𝑖 menos cinco 𝑖 es dos 𝜋 sobre tres. Comencemos evaluando 𝑥 más 𝑦𝑖 menos tres 𝑖 sobre 𝑥 más 𝑦𝑖 menos cinco 𝑖. Para simplificar este cociente, necesitamos multiplicar tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción por el conjugado del denominador.

Para hallar el conjugado de un número complejo, cambiamos el signo de la parte imaginaria. El conjugado de 𝑥 más 𝑦 menos cinco 𝑖 es 𝑥 menos 𝑦 menos cinco 𝑖. Multiplicamos tanto el numerador como el denominador de esta fracción por este número. En el numerador, obtenemos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 𝑦 menos cinco 𝑖 más 𝑥 𝑦 menos tres 𝑖 menos 𝑦 menos tres por 𝑦 menos cinco por 𝑖 al cuadrado. Y en el denominador, tenemos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 por 𝑦 menos cinco por 𝑖 más 𝑥 por 𝑦 menos cinco por 𝑖 menos 𝑦 menos cinco al cuadrado 𝑖 al cuadrado. Y podemos ver que menos 𝑥 por 𝑦 menos cinco por 𝑖 más 𝑥 por 𝑦 menos cinco por 𝑖 se cancelan.

Usando el hecho de que 𝑖 cuadrado es igual a menos uno y desarrollando nuestros paréntesis, obtenemos la expresión mostrada. A continuación, agrupamos las partes reales e imaginarias. Y con esto podemos hallar el argumento de 𝑥 más 𝑦𝑖 menos tres 𝑖 sobre 𝑥 más 𝑦𝑖 menos cinco 𝑖. Si suponemos que 𝑎 es la parte real de nuestro número complejo y 𝑏 es la parte imaginaria, eso es dos 𝑥 sobre 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos 10𝑥 más 25, podemos decir que 𝑏 dividido por 𝑎, la parte imaginaria dividida por la parte real, debe ser igual a tan de dos 𝜋 sobre tres. Normalmente, nos preocuparía en qué cuadrante se encuentra el número complejo. Pero dado que la tangente es periódica con un período de 𝜋 radianes, sumar o restar múltiplos de 𝜋 a nuestro valor de 𝜃 no tiene efecto sobre el valor de tan 𝜃. Hagamos algo de espacio para el siguiente paso.

Podemos decir que dos 𝑥 dividido por 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑦 más 15 es igual a tan de dos 𝜋 sobre tres, que es igual a menos raíz de tres. Multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑦 más 15. Después podemos simplificar un poco multiplicando por menos raíz de tres. Y luego agregamos dos raíz de tres 𝑥 a ambos lados de esta ecuación. Ahora necesitamos completar el cuadrado para 𝑥 y 𝑦.

Recuerda que estamos tratando de hallar la ecuación de una circunferencia. Eso es 𝑥 más raíz de tres todo al cuadrado menos tres más 𝑦 menos cuatro todo al cuadrado menos 16 más ese 15. Menos tres menos 16 más 15 es menos cuatro. Sumamos cuatro a ambos lados de esta ecuación. Y obtenemos 𝑥 más raíz de tres todo al cuadrado más 𝑦 menos cuatro todo al cuadrado es igual a cuatro. Y podemos ver que el centro de nuestra circunferencia se encuentra en el punto con coordenadas cartesianas menos raíz de tres, cuatro. Por supuesto, necesitamos agregar una restricción en 𝑥 y 𝑦 para asegurarnos de que los puntos tres 𝑖 y cinco 𝑖 no se hallen en el lugar geométrico. Esta restricción es que 𝑥 es mayor que cero. Por tanto, la ecuación cartesiana de nuestro lugar geométrico es cuatro igual a 𝑥 más raíz de tres todo al cuadrado más 𝑦 menos cuatro todo al cuadrado, siendo 𝑥 mayor que cero.

En este video, hemos visto que podemos usar el argumento de la misma manera que podemos usar el módulo para definir lugares geométricos en el plano complejo. Hemos visto que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisface la ecuación argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝜃 es una semirrecta desde 𝑧 uno pero sin incluir este punto. Y forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal que se extiende desde 𝑧 uno en la dirección positiva de 𝑥.

También hemos visto que 𝜃 debe medirse en sentido antihorario. Hemos visto que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisface la ecuación argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno sobre 𝑧 menos 𝑧 dos igual a 𝜃 es un arco de circunferencia. Cuando 𝜃 es menor que 𝜋 sobre dos, es un arco mayor. Cuando es igual a 𝜋 sobre dos, es una semicircunferencia. Y cuando es mayor que 𝜋 sobre dos, el lugar geométrico es un arco menor. Y también hemos visto que los extremos no son parte del lugar geométrico. Y que el lugar geométrico se mide en sentido antihorario.

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