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Vídeo de la lección: Aproximación de radicales mediante rectas numéricas Matemáticas

En este video, vamos a aprender cómo aproximar la raíz 𝑛-ésima de un número usando rectas numéricas.

17:04

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo aproximar y hallar la raíz 𝑛-ésima de un número usando rectas numéricas. Esto se conoce como aproximación de radicales. Comencemos por definir qué son los radicales.

Un radical es una expresión que contiene un símbolo de radical. Si no tiene índice, el símbolo de radical significa raíz cuadrada. Si tiene un tres como índice, significa raíz cúbica. Si hay un cuatro, es la raíz cuarta. Y, si hay un índice variable 𝑛, significa raíz general, o raíz 𝑛-ésima. Para entender qué significan estas raíces, veamos algunos ejemplos.

Consideremos la raíz cuadrada de nueve, la raíz cúbica de ocho y la raíz cuarta de 10000. Hallar la raíz cuadrada de nueve es lo mismo que preguntar «¿Qué número multiplicado por sí mismo nos da una respuesta de nueve?». Sabemos que tres por tres es igual a nueve. Por lo tanto, la raíz cuadrada de nueve es tres. La raíz cuadrada es lo opuesto o inverso al cuadrado.

Cuando se trata de la raíz cúbica, nos preguntamos qué número multiplicado por sí mismo, y multiplicado por sí mismo otra vez, nos da esa respuesta. En este caso, 𝑥 multiplicado por 𝑥 multiplicado por 𝑥 es igual a ocho. Dos al cubo es igual a ocho. Por lo tanto, la raíz cúbica de ocho es dos. Vamos a repetir este proceso para calcular la raíz cuarta de 10000. 10 multiplicado por 10 es 100. Multiplicar esto por 10 nos da 1000 y multiplicar por 10 nuevamente nos da 10000. Por lo tanto, 10 elevado a cuatro es 10000. Por lo tanto, la raíz cuarta de 10000 es 10.

Estos tres casos tienen soluciones enteras. Esto significa que los tres radicales, la raíz cuadrada de nueve, la raíz cúbica de ocho y la raíz cuarta de 10000, son racionales. Pueden escribirse como números enteros o como fracciones. Sin embargo, cuando hacemos cálculos con radicales, a menudo obtenemos soluciones irracionales.

Un número real que no se puede expresar como una fracción cuyo numerador y denominador son números enteros es un número irracional. Ejemplos de números irracionales son 𝜋 y la raíz cuadrada de tres. Si escribimos la raíz cuadrada de tres en nuestra calculadora, obtenemos una respuesta de 1.732050808 etcétera. En realidad es un número con cifras decimales que no terminan y que no se repiten periódicamente. Por lo tanto, no se puede escribir en forma de fracción. En este video, vamos a explorar estos valores irracionales y a tratar de obtener valores aproximados para ellos.

Si tenemos dos cuadrados, el primero con una longitud de lado de tres y el segundo con una longitud de lado de cuatro, sabemos que el área del primer cuadrado será igual a tres al cuadrado. Y el área del segundo cuadrado será igual a cuatro al cuadrado. Tres al cuadrado es igual a nueve y cuatro al cuadrado es igual a 16. Teniendo en cuenta estos diagramas, podemos concluir que la raíz cuadrada de nueve es igual a tres y la raíz cuadrada de 16 es igual a cuatro.

Supongamos ahora que tenemos un tercer cuadrado y no sabemos la longitud de su lado, pero sabemos que su área es 12. Si el área es igual a 12, la longitud del lado será igual a la raíz cuadrada de 12. Como 12 es mayor que nueve y menor que 16, la raíz cuadrada de 12 tiene que ser mayor que tres y menor que cuatro. Esta es una forma de aproximar radicales: hallando el número cuadrado inmediatamente por encima de 12 y el número cuadrado inmediatamente por debajo de 12.

Esto también se puede mostrar en una recta numérica. Si consideramos la recta numérica entre los números enteros tres y cuatro, ya que estos valores son iguales a la raíz cuadrada de nueve y la raíz cuadrada de 16, sabemos que la raíz cuadrada de 12 debe estar entre tres y cuatro. Como 12 está un poco más cerca de nueve que de 16, esperamos que la raíz cuadrada de 12 esté más cerca de tres que de cuatro. Esperamos que esté ligeramente por debajo de 3,5. Veamos algunos ejemplos específicos usando rectas numéricas.

Determina cuál de las flechas representa la posición de la raíz cuadrada de 30.

Para resolver esta cuestión, primero necesitamos recordar nuestros números cuadrados. Los números cuadrados se pueden calcular multiplicando los números enteros por sí mismos. El primer número cuadrado es uno pues uno al cuadrado, o sea, uno multiplicado por uno, es uno. El segundo cuadrado es cuatro, ya que dos al cuadrado es cuatro. Tres al cuadrado es igual a nueve. Los números cuadrados siguientes hasta 10 al cuadrado son 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.

Como la raíz cuadrada es el inverso o el opuesto de elevar al cuadrado, sabemos que la raíz cuadrada de nueve es tres. De la misma manera, la raíz cuadrada de 16 es cuatro. Podemos repetir este proceso haciendo coincidir los radicales con sus valores enteros en la recta numérica, como se muestra. En esta cuestión, nos piden identificar la flecha que representa la posición de la raíz cuadrada de 30. Como 30 está entre 25 y 36, la raíz cuadrada de 30 debe ser mayor que la raíz cuadrada de 25 y menor que la raíz cuadrada de 36. Esto significa que debe estar entre cinco y seis. La respuesta correcta es, por lo tanto, la flecha b.

En nuestra siguiente cuestión, necesitamos averiguar a qué entero está más cerca nuestro radical.

Identifica qué flecha representa la posición de la raíz cuadrada de 24 en la recta numérica.

Recordemos que elevar al cuadrado y hallar la raíz cuadrada son operaciones inversas. Cuatro al cuadrado es igual a 16, ya que cuatro multiplicado por cuatro es 16. Esto significa que la raíz cuadrada de 16 es igual a cuatro. Esto significa que el radical, la raíz cuadrada de 16, estará en el mismo lugar en la recta numérica que el cuatro. Si repetimos este proceso para nuestro otro valor entero, cinco, obtenemos que cinco al cuadrado es igual a 25, lo que significa que la raíz cuadrada de 25 es cinco.

En esta pregunta, necesitamos identificar si la flecha a o la flecha b representa la raíz cuadrada de 24. Como 24 se encuentra entre 16 y 25, la raíz cuadrada de 24 debe ser mayor que la raíz cuadrada de 16 y menor que la raíz cuadrada de 25. Esto significa que la raíz cuadrada de 24 se encuentra entre los números enteros cuatro y cinco. 24 está bastante más cerca de 25 que de 16. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 24 estará bastante más cerca de cinco que de cuatro. La respuesta correcta es, por tanto, la flecha b.

En nuestra próxima pregunta, necesitamos escoger la afirmación correcta.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? Las cinco afirmaciones quieren que evaluemos la raíz cuadrada de 17. La opción (A) dice que la respuesta está entre tres y 3.5. Opción (B) la respuesta está entre 3.5 y cuatro. Opción (C) la respuesta está entre cuatro y 4.5. Opción (D) la respuesta está entre 4.5 y cinco. O la opción (E) la respuesta está entre cinco y 5.5.

Comencemos dibujando una recta numérica para establecer entre qué dos valores enteros se encuentra la raíz cuadrada de 17. Consideremos los números enteros de tres a seis. Sabemos que hallar la raíz cuadrada de un número es lo opuesto a elevarlo al cuadrado. Como tres al cuadrado es igual a nueve, la raíz cuadrada de nueve es igual a tres. Esto significa que podemos poner los radicales, la raíz cuadrada de nueve, la raíz cuadrada de 16, la raíz cuadrada de 25 y la raíz cuadrada de 36, en nuestra recta numérica.

El número 17 está entre 16 y 25. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 17 es mayor que la raíz cuadrada de 16 y menor que la raíz cuadrada de 25. Sabemos que la raíz cuadrada de 16 es cuatro y la raíz cuadrada de 25 es cinco. Así que, podemos concluir que la raíz cuadrada de 17 se halla entre cuatro y cinco. Y descartamos las opciones (A), (B) y (E) .

4.5 está en la mitad entre cuatro y cinco. 17 está mucho más cerca de 16 que de 25. Está a una distancia de uno de 16 pero a una distancia de ocho de 25. Esto significa que la raíz cuadrada de 17 estará más cerca de la raíz cuadrada de 16 que de la raíz cuadrada de 25. Por lo tanto, concluimos que la raíz cuadrada de 17 está entre cuatro y 4.5. Esto significa que la afirmación (C) es la correcta. Si evalúas la raíz cuadrada de 17 con una calculadora, verás que la respuesta está entre cuatro y 4.5.

Las dos últimas cuestiones que vamos a analizar incluyen aproximar raíces cúbicas.

¿Cuál de los siguientes números está representado por la flecha en la recta numérica? ¿Es (A) la raíz cúbica de 12, (B) la raíz cúbica de 15, (C) la raíz cúbica de 27, (D) la raíz cúbica de 45 o (E) la raíz cúbica de 64?

Para responder a esta pregunta, vale la pena considerar inicialmente nuestros números cúbicos. Para elevar un número al cubo, lo multiplicamos por sí mismo, y otra vez por sí mismo. Esto significa que uno al cubo es igual a uno. Dos al cubo es igual a ocho, ya que dos multiplicado por dos es cuatro, y cuatro por dos es ocho. Tres al cubo es igual a 27. Continuando con esta lista para los valores enteros que tenemos en nuestra recta numérica, tenemos 64, 125, 216 y 343.

La raíz cúbica es lo opuesto o inverso al cubo. La raíz cúbica de ocho es dos. Así que podemos hacer coincidir los radicales, la raíz cúbica de uno, la raíz cúbica de ocho, la raíz cúbica de 27, etc., con los valores enteros del uno al siete. La flecha en la recta numérica se halla entre tres y cuatro. Esto significa que nuestra respuesta es mayor que la raíz cúbica de 27 y menor que la raíz cúbica de 64. El único de nuestros cinco valores que está entre estos dos es la raíz cúbica de 45. La respuesta correcta es, por lo tanto, la opción (D). La raíz cúbica de 45 es mayor que tres y menor que cuatro.

Las opciones (C) y (E) no pueden ser correctas ya que son iguales a tres y cuatro, respectivamente. Estos son valores enteros; por tanto, la raíz cúbica de 27 y la raíz cúbica de 64 son racionales. La raíz cúbica de 12 y la raíz cúbica de 15 están entre dos y tres, ya que 12 y 15 son mayores que ocho, pero menores que 27.

Identifica cuál de las flechas representa la posición de la raíz cúbica de 23.

Para responder a esta pregunta, consideremos primero algunos números al cubo. Para elevar al cubo un número, multiplicamos el número por sí mismo. y luego lo multiplicamos por sí mismo otra vez. Por lo tanto, uno al cubo es igual a uno, dos al cubo es igual a ocho, tres al cubo es igual a 27. Esta lista continua con cuatro al cubo, cinco al cubo y seis al cubo, según se muestra. Sabemos que hallar la raíz cúbica es lo inverso o lo opuesto a elevar al cubo. Por lo tanto, la raíz cúbica de ocho es dos, la raíz cúbica de 27 es tres, la raíz cúbica de 64 es cuatro, y así sucesivamente.

Nos piden que identifiquemos la flecha que representa la raíz cúbica de 23. Vemos que 23 está entre los números cúbicos ocho y 27. Esto significa que la raíz cúbica de 23 es mayor que la raíz cúbica de ocho, pero menor que la raíz cúbica de 27. Estos valores son iguales a dos y tres, respectivamente. La raíz cúbica de 23 está, por lo tanto, entre los números enteros dos y tres. Esto significa que la flecha correcta es la flecha b. El radical, la raíz cúbica de 23, está entre dos y tres.

Resumamos los puntos clave de este video. Podemos aproximar el valor de una raíz cuadrada o cúbica irracional identificando los dos números cuadrados o cúbicos más cercanos. Por ejemplo, sabemos que 30 está entre los números cuadrados 25 y 36. Esto significa que la raíz cuadrada de 30 debe estar entre la raíz cuadrada de 25 y la raíz cuadrada de 36. La raíz cuadrada de 25 es igual a cinco, y la raíz cuadrada de 36 es seis. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 30 es mayor que cinco y menor que seis. Está entre los dos valores enteros cinco y seis.

También hemos visto que podemos usar una recta numérica para identificar a qué valor entero está más cerca un radical. Como en el ejemplo anterior, sabemos que la raíz cuadrada de 26 se encuentra entre cinco y seis. Si observamos la recta numérica entre cinco y seis, sabemos que el punto medio es 5.5. Esto está a medio camino entre la raíz cuadrada de 25 y la raíz cuadrada de 36. Como 26 está significativamente más cerca de 25 que de 36, la raíz cuadrada de 26 estará más cerca de la raíz cuadrada de 25. Así que podemos concluir que la raíz cuadrada de 26 está bastante cerca del número entero cinco.

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