Vídeo: Hallar el conjunto de soluciones de ecuaciones exponenciales sobre el conjunto de números reales usando factorización y las propiedades de las potencias

Determina el conjunto de soluciones de 2^(𝑥²) = 4^(6𝑥 − 16) en ℝ.

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Transcripción del vídeo

Determina el conjunto de las soluciones de dos a la potencia de 𝑥 al cuadrado igual a cuatro a la potencia de seis 𝑥 menos 16, en el conjunto de los números reales.

Para resolver este problema, en primer lugar, vamos a echar un vistazo rápido al lado derecho de la ecuación. Podemos ver que en el lado derecho del problema tenemos cuatro a la potencia de seis 𝑥 menos 16. Y la información que nos ayuda en este problema es que cuatro es igual a dos a la potencia de dos o dos al cuadrado. Esto es interesante porque queremos que ambos lados de nuestra ecuación tengan la base misma numérica. Y, en este caso, es dos. Esto es excelente, pues como sabemos que cuatro es igual a dos a la potencia de dos, lo que podemos hacer es sustituir esto en nuestra ecuación.

Por lo tanto, nuestra ecuación es: dos a la potencia de 𝑥 al cuadrado es igual a dos a la potencia de dos, pues es dos a la potencia de dos lo que nos da nuestro cuatro, y luego se multiplica por seis 𝑥 menos 16. Muy bien, hemos logrado lo que se nos pidió. Y eso es obtener la misma base numérica en ambos lados de las ecuaciones. Puesto que tenemos la misma base en ambos lados de nuestra ecuación, lo que podemos hacer ahora es igualar los exponentes.

Así que tenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a dos multiplicado por seis 𝑥 menos 16. Muy bien, ahora tenemos una ecuación más manejable. Vamos a resolverla para hallar 𝑥. Lo primero que vamos a hacer para resolver la ecuación es quitar los paréntesis. Así que comenzamos con dos multiplicado por seis 𝑥, que es 12𝑥. Y luego tendremos dos multiplicado por menos 16, que es menos 32. Vale, muy bien, nuestra ecuación ahora será 𝑥 al cuadrado igual a 12𝑥 menos 32. Como lo que queremos hacer es resolver esta ecuación para hallar la 𝑥, lo que vamos a hacer es restar 12𝑥 y sumar 32 en ambos lados. Así que tenemos que esta expresión es igual a cero.

Hemos obtenido, en definitiva, una ecuación de segundo grado. Tenemos 𝑥 al cuadrado menos 12𝑥 más 32 igual a cero. Y si nos fijamos en esta ecuación, vemos que podemos factorizarla para resolverla. Así que tenemos que 𝑥 menos cuatro por 𝑥 menos ocho es igual a cero. Obtenemos esto porque la suma de menos cuatro y menos ocho es menos 12, que es nuestro coeficiente de 𝑥. Y el producto de menos cuatro y menos ocho es igual a más 32. Vale, muy bien. Son nuestros factores. Ahora, vamos a hallar 𝑥.

Ahora, como queremos hallar 𝑥, para hacerlo, lo que tenemos que hacer es igualar nuestros factores a cero. Para que la ecuación sea igual a cero, entonces uno de nuestros factores tendrá que ser igual a cero. Así que, primero, vamos a empezar con 𝑥 menos cuatro igual a cero. Y sumamos cuatro a cada lado de la ecuación. Obtenemos 𝑥 igual a cuatro. Bien, esa es nuestra primera solución.

Luego nos vamos a 𝑥 menos ocho igual a cero. Así que sumamos ocho a cada lado de la ecuación. Y ahí obtenemos que 𝑥 es igual a ocho. Muy bien, esa es la otra solución de nuestra ecuación.

Por consiguiente, podemos decir que el conjunto de las soluciones de dos a la potencia de 𝑥 al cuadrado igual a cuatro a la potencia de seis 𝑥 menos 16, en el conjunto de los números reales es: ocho, cuatro.

Y conviene recordar que la parte clave de un problema como este es asegurarse de que ambos lados de la ecuación tengan la misma base. Para hacerlo, nos fijamos en un problema en el que tenemos, digamos, un dos y un cuatro o un dos y un ocho, un dos y un 16 o un tres y un nueve, un tres y un 27. Así que debemos estar atentos, pues es el tipo de cosas que veremos en problemas como este. Y es así como empezaríamos el problema, y continuaríamos resolviéndolo y hallando el conjunto de soluciones.

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