Vídeo: Integración por cambio de variable: integrales definidas

En este vídeo vamos a aprender cómo usar el método de integración por sustitución (cambio de variable) para calcular integrales definidas.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar el método de integración por sustitución (cambio de variable) para calcular integrales definidas. Para sacar el mayor provecho de este vídeo conviene que sepas cómo hallar la antiderivada de una variedad de funciones, incluidas las funciones polinómicas, las trigonométricas y las logarítmicas. En esta lección vamos a aprender cómo aplicar el método de cambio de variable para hallar la antiderivada de funciones más complejas.

Debido al teorema fundamental del cálculo, es importante saber hallar la antiderivada de una función, pero nuestras fórmulas no nos dicen cómo calcular integrales como la integral definida entre uno y dos de 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cubo menos tres al cubo. Por lo tanto, para hallar esta integral, vamos a usar un procedimiento nuevo, un método que se basa en introducir una nueva variable. Este método se conoce como integración por sustitución o por cambio de variable. Y se trata de una especie de regla de la cadena a la inversa.

Lo primero que debemos hacer es expresar nuestra integral en esta forma. Es la integral de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 por 𝑔 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥. Fíjate en que 𝑔 de 𝑥 está dentro de la función compuesta y luego tenemos su derivada, 𝑔 prima de 𝑥. Una vez que hemos expresado la integral en esta forma podemos aplicar el método de cambio de variable para integrales definidas.

Este método dice que, si 𝑔 prima es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏, y 𝑓 es continua en el recorrido de 𝑢, que es 𝑔 de 𝑥, entonces la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 por 𝑔 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral definida entre 𝑔 de 𝑎 y 𝑔 de 𝑏 de 𝑓 de 𝑢 con respecto a 𝑢. Pero lo mejor para entender cómo funciona esto es ver un ejemplo.

Calcula la integral definida entre uno y dos de 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cubo menos tres al cubo con respecto a 𝑥.

Como puedes ver, esto no es un polinomio que sea fácil de integrar usando las reglas básicas para hallar la antiderivada. Y tampoco queremos desarrollar el paréntesis para hallar la antiderivada término a término. En vez de eso, vemos que nuestra integral está expresada en la siguiente forma. Es la integral definida entre los límites 𝑎 y 𝑏 de una función de 𝑔 de 𝑥 por la derivada de la parte interna de la función compuesta. Aquí, 𝑔 de 𝑥, la parte interna de la función compuesta, es 𝑥 al cubo menos tres.

Y aquí al lado tenemos un múltiplo de la derivada. Así que vamos a usar el método de integración por sustitución para calcular la integral. Este método dice que, si 𝑔 prima, la derivada de 𝑔, es continua en un intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏, y 𝑓 es continua en el recorrido de 𝑢, que es nuestra función 𝑔 de 𝑥. Entonces, la integral definida es igual a la integral definida entre 𝑔 de 𝑎 y 𝑔 de 𝑏 de 𝑓 de 𝑢 con respecto a 𝑢. Por lo que igualamos 𝑢 a la función que hemos definido como 𝑔 de 𝑥. Es la función dentro de una función cuya derivada también aparece.

Bien, hacemos 𝑢 igual a 𝑥 al cubo menos tres. Esto nos viene de perlas, pues cuando derivamos 𝑢 con respecto a 𝑥, vemos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a tres 𝑥 al cuadrado. En la integración por sustitución, consideramos d𝑢 y d𝑥 como diferenciales. Así que podemos expresar esto como d𝑢 igual a tres 𝑥 al cuadrado d𝑥. Fíjate que, aunque d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, aquí la tratamos como si lo fuera. Dividimos ambos lados por tres. Y obtenemos que un tercio de d𝑢 es igual a 𝑥 al cuadrado d𝑥.

Bien, volvamos de nuevo a la integral original. Como vemos, podemos sustituir 𝑥 al cuadrado d𝑥 por un tercio de d𝑢. Y 𝑥 al cubo menos tres por 𝑢. Pero, ¿qué hacemos con los límites de uno y dos? Bueno, los sustituimos por 𝑔 de uno y 𝑔 de dos. Vamos a volver a la primera sustitución. Hemos dicho que 𝑢 es igual a 𝑥 al cubo menos tres, y que el límite inferior es cuando 𝑥 es igual a uno. Entonces, es cuando 𝑢 es igual a uno al cubo menos tres, que es menos dos.

El límite superior es cuando 𝑥 es igual a dos. Por lo tanto, en este punto, 𝑢 es igual a dos al cubo menos tres, que es cinco. Ahora podemos cambiar la variable en cada parte de la integral mediante distintas sustituciones. Así que tenemos que calcular la integral definida entre menos dos y cinco de un tercio de 𝑢 al cubo con respecto a 𝑢. Recordemos que podemos sacar cualquier factor constante fuera de la integral para centrarnos en integrar 𝑢 al cubo.

A continuación, recordamos que para integrar una potencia cuyo exponente es distinto de menos uno debemos sumar uno a ese exponente y luego dividirlo por ese valor. De esta forma, la integral de 𝑢 al cubo es 𝑢 elevado a cuatro entre cuatro. Esto quiere decir que nuestra integral es igual a un tercio por 𝑢 elevado a cuatro dividido por cuatro calculada entre menos dos y cinco. Sustituimos 𝑢 igual a cinco y 𝑢 igual a menos dos, y hallamos la diferencia.

En este caso es un tercio de cinco elevado a cuatro dividido por cuatro menos menos dos elevado a cuatro dividido por cuatro. Y obtenemos un tercio de 609 sobre cuatro. Simplificamos dividiendo por tres. Y obtenemos que la solución es 203 sobre cuatro, o 50.75. Por lo tanto, la integral definida entre uno y dos de 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cubo menos tres al cubo con respecto a 𝑥 es 50.75.

En este ejemplo hemos visto que se trata de escoger una 𝑢 que sea un factor del integrando y cuya derivada sea otro factor, aunque sea un múltiplo de ella. Sin embargo, si no es posible, tendremos que escoger una 𝑢 que sea una parte más complicada del integrando. A menudo esta debe ser la función interna de una función compuesta o algo así.

Veamos un ejemplo de este tipo.

Halla la integral definida entre menos uno y cuatro de 𝑥 por la raíz cuadrada de 𝑥 más cinco con respecto a 𝑥, y redondea la respuesta a la milésima más cercana.

Como puedes ver, en este problema el integrando es el producto de dos funciones, una de las cuales es una función compuesta. Sin lugar a dudas, es una función difícil de integrar. Tenemos dos opciones para hacerlo. Podemos emplear, o bien el método de cambio de variable, o bien el método de integración por partes. Fíjate en que la parte interna de la función compuesta tiene una derivada bastante sencilla. Esto quiere decir que parece adecuado aplicar el método de integración por sustitución.

El método por sustitución para integrales definidas dice que, si 𝑔 prima es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏, y 𝑓 es continua en el recorrido de 𝑢, o sea, de 𝑔 de 𝑥. Entonces, la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 por 𝑔 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral definida entre 𝑔 de 𝑎 y 𝑔 de 𝑏 de 𝑓 de 𝑢 con respecto a 𝑢. Por lo tanto, utilizando este método, vamos a tratar de hacer que 𝑢, que es 𝑔 de 𝑥, sea un factor del integrando cuya diferencial también ocurre, aunque sea un múltiplo suyo. Sin embargo, aquí no nos parece evidente qué puede ser.

Por lo tanto, en su lugar vamos a hacer que 𝑢 sea una parte diferente de la función, en este caso, la parte interna de una función compuesta con una derivada sencilla. Vamos a probar con 𝑢 igual a 𝑥 más cinco. La derivada de 𝑥 más cinco con respecto a 𝑥 es uno. Y aunque sabemos que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, vamos a tratarla como si lo fuera. Consideramos a d𝑢 y a d𝑥 como diferenciales. Así que decimos que d𝑢 es igual a d𝑥. Ahora bien, puede que esto no nos parezca útil de primeras, pues si sustituimos d𝑥 por d𝑢 y 𝑥 más cinco por 𝑢, seguimos teniendo una parte de la función en términos de 𝑥.

En vez de preocuparnos, vamos a fijarnos de nuevo en la sustitución para reorganizar esto y hacer 𝑥 igual a 𝑢 menos cinco. De esa forma ya podemos sustituir d𝑥 por d𝑢 y así todas las partes de nuestro integrando. Pero, ¿y los límites? Bueno, aquí aplicamos el cambio de variable para redefinirlos. El límite inferior es cuando 𝑥 es igual a menos uno. Y como 𝑢 es igual a 𝑥 más cinco, 𝑢 es menos uno más cinco, que es cuatro. Y, cuando 𝑥 es igual a cuatro, que es el límite superior, 𝑢 es igual a cuatro más cinco, que es nueve.

Así que reescribimos la integral definida como la integral definida entre cuatro y nueve, los nuevos límites, de 𝑢 menos cinco — acuérdate de que hemos dicho que 𝑥 es igual a 𝑢 menos cinco — por la raíz cuadrada de 𝑢 con respecto a 𝑢. De hecho, vamos a reescribir la raíz cuadrada de 𝑢 como 𝑢 elevado a un medio. A continuación desarrollamos el paréntesis. Multiplicamos 𝑢 por 𝑢 elevado a un medio y sumamos sus exponentes. Y obtenemos 𝑢 elevado a tres medios. De esta forma, nuestro integrando es 𝑢 elevado a tres medios menos cinco 𝑢 elevado a un medio.

Cuando integramos polinomios sencillos cuyo exponente es distinto de menos uno, sumamos uno al exponente y dividimos por el nuevo valor. De esta forma, cuando integramos 𝑢 elevado a tres medios, obtenemos 𝑢 elevado a cinco medios dividido por cinco medios. Eso es lo mismo que dos quintos por 𝑢 elevado a cinco medios. Asimismo, cuando integramos menos cinco 𝑢 elevado a un medio, obtenemos menos cinco 𝑢 elevado a tres medios dividido por tres medios. Y eso se simplifica a menos 10 tercios por 𝑢 elevado a tres medios.

Debemos tener cuidado de no olvidar que debemos calcular esto entre los límites de cuatro y nueve. Eso es dos quintos de nueve elevado a cinco medios menos diez tercios de nueve elevado a tres medios menos dos quintos por cuatro elevado a cinco medios menos diez tercios por cuatro elevado a tres medios. Eso es 316 sobre 15, que, redondeado a la milésima más cercana es 21.067.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo funciona este proceso en funciones con fracciones.

Determina la integral definida entre menos cinco y menos dos de dos sobre la raíz cuadrada de 𝑥 más seis d𝑥.

No es obvio de inmediato cómo podemos calcular esta integral. Sin embargo, si nos fijamos atentamente, nos daremos cuenta de que el numerador es un múltiplo escalar de la derivada de la función interna de nuestro denominador. Esto es, la derivada de 𝑥 más seis por dos es igual al numerador. Que es dos. Esto nos da a entender que tiene sentido aplicar el método de integración por cambio de variable para calcular la integral.

Recuerda que, como ya hemos dicho, en el método de integración por sustitución, introducimos una nueva función. Esa es 𝑢, y hacemos que 𝑏 sea igual a 𝑔 de 𝑥. Así, observamos que la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 por 𝑔 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral definida entre 𝑔 de 𝑎 y 𝑔 de 𝑏 de 𝑓 de 𝑢 con respecto a 𝑢. Hacemos 𝑢 igual a la parte interna de la función compuesta, esto es, 𝑥 más seis, de modo que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a uno. Y, a pesar de que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, podemos tratarla como tal cuando operamos con el método de integración por sustitución. Así, decimos que d𝑢 es igual a d𝑥.

De esta forma podemos sustituir d𝑥 por d𝑢 y 𝑥 más seis por 𝑢. Pero tenemos que hacer algo con los límites. Vamos a aplicar sustitución para redefinirlos. El límite inferior es 𝑥 igual a menos cinco. Por lo tanto, 𝑢 es igual a 𝑥 más seis, que es menos cinco más seis, que es uno. Y el límite superior es 𝑥 igual a menos dos. Así que 𝑢 es menos dos más seis, que es cuatro. Por lo tanto, concluimos que nuestra integral es la integral definida entre uno y cuatro de dos sobre la raíz cuadrada de 𝑢 con respecto a 𝑢.

Y, de hecho, podemos expresar uno sobre la raíz cuadrada de 𝑢 como 𝑢 elevado a menos un medio. Lo cierto es que este siguiente paso no es del todo necesario, pero puede facilitarnos las cosas. Como ya sabemos, podemos sacar cualquier factor constante fuera de la integral para centrarnos en integrar la función en 𝑢. Así que tenemos que esto es igual a dos por la integral definida entre uno y cuatro de 𝑢 elevado a menos un medio. Y cuando integramos 𝑢 elevado a menos un medio, sumamos uno al exponente y dividimos por el nuevo número. De esta forma 𝑢 elevado a un medio se convierte en 𝑢 elevado a un medio dividido por un medio, que es lo mismo que dos por 𝑢 elevado a un medio.

A continuación, sustituimos 𝑢 por cuatro y uno y calculamos la diferencia. Obtenemos dos por dos veces cuatro elevado a un medio menos dos veces uno elevado a un medio. Cuatro elevado a un medio es dos. Y uno elevado a un medio es uno. Por lo tanto, tenemos dos por dos por dos menos dos por uno, que es cuatro. Y ya hemos terminado. Como hemos cambiamos los límites, ya no tenemos que hacer nada más. La integral definida es igual a cuatro.

En los dos ejemplos anteriores, hemos visto cómo aplicar el método de integración por sustitución incluso cuando no es evidente al principio cómo se puede hacer. Ahora vamos a ver cómo utilizar el proceso para integrar una función trigonométrica más compleja.

Halla la integral definida entre cero y 𝜋 sobre cuatro de menos nueve por tangente de 𝑧 por secante al cuadrado de 𝑧 con respecto a 𝑧.

Primero de todo, no hay que preocuparse porque esta función esté en términos de 𝑧. Estamos integrando con respecto a 𝑧, así que aplicamos el mismo procedimiento de siempre. A continuación debemos recordar que secante al cuadrado de 𝑧 es la derivada de tangente de 𝑧. Esto nos dice que tiene sentido aplicar el método de integración por sustitución para calcular la integral. Hacemos 𝑢 igual a tangente de 𝑧. Y sabemos que la primera derivada de tangente de 𝑧 es secante al cuadrado por 𝑧. Y, aunque d𝑢 sobre d𝑧 no es una fracción, la tratamos como tal, y decimos que d𝑢 es igual a secante al cuadrado de 𝑧 d𝑧.

Bien, podemos sustituir tangente de 𝑧 por 𝑢 y secante al cuadrado de 𝑧 d𝑧 por d𝑢. Sin embargo, antes de continuar, vamos a ver cuáles son los nuevos límites. Para ello, aplicamos sustitución. Hemos dicho que 𝑢 es igual a tangente de 𝑧, y que el límite inferior es cuando 𝑧 es igual a cero, que es cuando 𝑢 es igual a tangente de cero, que es cero. El límite superior es 𝑧 igual a 𝜋 sobre cuatro. Por lo tanto, 𝑢 es igual a tangente de 𝜋 sobre cuatro, que es uno. Muy bien, ya podemos reescribir nuestra integral definida como la integral definida entre cero y uno de menos nueve 𝑢 con respecto a 𝑢.

Si queremos podemos sacar el factor constante menos nuevo. Evidentemente, esto no es necesario. En caso de no hacerlo, hallamos que la integral de menos nueve 𝑢 es menos nueve 𝑢 al cuadrado dividido por dos. Vamos a calcular esto entre cero y uno. Es menos nueve por uno al cuadrado sobre dos menos menos nueve por cero al cuadrado sobre dos, que es menos nueve sobre dos. Y obtenemos que nuestra integral definida es menos nueve medios.

En el último ejemplo vamos a aprender cómo usar el método de integración por sustitución para calcular la integral de una función logarítmica.

Determina la integral definida entre uno y 𝑒 del logaritmo neperiano de 𝑥 sobre 𝑥 con respecto a 𝑥.

En primer lugar, para calcular esta integral tenemos que darnos cuenta de que la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 es uno sobre 𝑥, y de que una parte de esta función es un múltiplo escalar de uno sobre 𝑥. Por lo tanto, hacemos 𝑢 igual al logaritmo neperiano de 𝑥. Y cuando derivamos 𝑢 con respecto a 𝑥, obtenemos uno sobre 𝑥. Aunque d𝑢 sobre d𝑥 no sea una fracción, vamos a tratarla como tal. Así vemos que esto es lo mismo que decir que d𝑢 es igual a uno sobre 𝑥 d𝑥. Esto nos viene muy bien, pues ya podemos sustituir el logaritmo neperiano de 𝑥 por 𝑢 y uno sobre 𝑥 d𝑥 por d𝑢.

Bueno, tenemos que cambiar nuestros límites. Así que hacemos uso de la sustitución. Hemos dicho que 𝑢 es igual al logaritmo neperiano de 𝑥. Y cuando 𝑥 es igual a uno, 𝑢 es igual al logaritmo neperiano de uno, que es cero. Y cuando 𝑥 es igual a 𝑒, el límite superior, 𝑢 es igual al logaritmo neperiano de 𝑒, que es uno. Muy bien, ahora nuestra integral definida es igual a la integral definida entre cero y uno de 𝑢 con respecto a 𝑢.

La integral de 𝑢 es 𝑢 al cuadrado partido por dos. Y cuando calculamos esto entre los límites de cero y uno, obtenemos uno al cuadrado partido por dos menos cero al cuadrado partido por dos, que es un medio. La integral definida entre uno y 𝑒 del logaritmo neperiano de 𝑥 sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es un medio.

En este vídeo hemos aprendido que el método del cambio de variable para intervalos definidos dice que, si 𝑔 prima, la primera derivada de 𝑔, es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏, y 𝑓 es continua en el recorrido de 𝑢, o sea, de 𝑔 de 𝑥. Entonces, la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 por 𝑔 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral definida entre 𝑔 de 𝑎 y 𝑔 de 𝑏 de 𝑓 de 𝑢 con respecto a 𝑢.

También hemos visto que, en general, tratamos de hacer que 𝑢 sea un factor del integrando cuya derivada también sea un factor, aunque haya otros factores constantes. Sin embargo, si no vemos esto al instante, tratamos de que 𝑢 sea una parte más complicada del integrando. A menudo debe ser la función interna de una función compuesta. Asimismo, hemos aprendido que es muy importante aplicar la sustitución para hallar los nuevos límites antes de calcular la integral. Además, este método puede aplicarse para integrar funciones con raíces, funciones trigonométricas y logarítmicas.

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