Vídeo: Hallar el valor numérico de una fórmula mediante sustitución directa

El radio 𝑟 de una esfera viene dado por la fórmula 𝑟 = (3𝑉/4𝜋)¹ᐟ³, siendo 𝑉 el volumen de la esfera. Calcula la diferencia en radio entre una esfera de volumen 36𝜋 y una esfera de volumen 2304𝜋.

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Transcripción del vídeo

El radio 𝑟 de una esfera viene dado por la fórmula 𝑟 igual a tres 𝑉 sobre cuatro 𝜋, todo elevado a un tercio, donde 𝑉 es el volumen de la esfera. Determina la diferencia en radio entre una esfera de volumen 36𝜋 y una esfera de volumen 2304𝜋.

Para resolver este problema, vamos a necesitar calcular el radio de la esfera de volumen 36𝜋 y el radio de la esfera de volumen 2304𝜋. Voy a comenzar con la esfera de volumen 36𝜋. Así que vamos a usar la ecuación 𝑟 igual a tres 𝑉 sobre cuatro 𝜋 elevado a un tercio.

Bien, sustituyamos, pues, este valor 36𝜋 en 𝑉. Obtenemos 𝑟 es igual a tres multiplicado por 36𝜋 sobre cuatro 𝜋, todo elevado a un tercio. Bien, ahora vamos a simplificar. Primero que todo, podemos dividir 36 por cuatro, y obtenemos nueve. Además, al dividir 36𝜋 por 𝜋, un 𝜋 se cancela con otro. Así que nos quedamos con tres multiplicados por nueve, todo elevado a un tercio.

Ahora podemos usar una de las reglas de los exponentes, que dice que, si tenemos 𝑥 elevada a uno sobre 𝑎, esto es igual a la raíz de índice 𝑎 de 𝑥. Por lo tanto, tenemos tres multiplicado por nueve. Así que serán 27, y luego 27 elevado a un tercio, que es la raíz cúbica de 27, que es igual a tres. Perfecto, hemos hallado el radio de nuestra primera esfera. Y el radio de esta primera esfera ha resultado ser igual a tres.

Ahora, pasemos a la esfera con volumen de 2304𝜋. Esta vez hemos de sustituir 𝑉 por 2304𝜋 en nuestra fórmula. Así que obtenemos 𝑟 igual a tres multiplicado por 2304𝜋 sobre cuatro 𝜋, todo elevado a un tercio.

Una vez más, vamos a simplificar. Antes que nada, hemos de dividir 2304 por cuatro. Vamos a hacer eso usando el método usual. Así que tenemos cuatro entre dos, que no va. Así que es cero. Y nos llevamos dos. Luego, 23 entre cuatro es cinco, con un resto de tres. A continuación, 30 entre cuatro es siete, con dos de resto. Y, finalmente, 24 entre cuatro es seis. Así que tenemos 576. Y también, una vez más, los 𝜋 se cancelan porque 𝜋 dividido por 𝜋 es uno. Así que nos queda 𝑟 igual a tres multiplicado por 576 elevado a un tercio.

Ahora, usamos nuevamente la regla de los exponentes que nos dice que 𝑥 a la potencia de uno sobre 𝑎 es igual a la raíz de índice 𝑎 de 𝑥. Haciendo esto obtenemos la raíz cúbica de 1728. Obtenemos, pues, que 𝑟 es igual a 12.

Así que ahora pasamos a la parte final del problema, que dice «determina la diferencia de radio entre una esfera con volumen 36𝜋 y una esfera con volumen 2304𝜋». Así que, para hallar la diferencia, necesitamos calcular 12, que es el radio de la esfera con volumen 2304𝜋, menos tres, que es el radio de la esfera de volumen 36𝜋.

Por lo tanto, podemos decir que, usando la fórmula 𝑟 igual a tres 𝑉 sobre cuatro 𝜋 elevado a un tercio, hemos hallado que la diferencia de radio entre una esfera con volumen 36𝜋 y una esfera con volumen 2304𝜋 es nueve.

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