Transcripción del vídeo
En este video, vamos a ver algunas gráficas de funciones de segundo grado y a hallar relaciones entre sus características y los diferentes coeficientes en sus ecuaciones. Vamos a explorar por qué existen esas relaciones, considerando la fórmula cuadrática.
Recuerda que toda ecuación de segundo grado tiene un término en 𝑥 al cuadrado, un término en 𝑥 y un término constante. Así que eso es un número por 𝑥 al cuadrado más o menos un número por 𝑥 más o menos algún número constante al final.
Por ejemplo, 𝑦 es igual a tres 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos cinco. En ese caso, el valor de 𝑎 es positivo, es más tres. El valor de 𝑏 es positivo, es más dos. Pero el valor de 𝑐 es negativo, es menos cinco.
Otro ejemplo es 𝑦 igual a menos dos 𝑥 al cuadrado. En este caso, el valor de 𝑎, el coeficiente de 𝑥 al cuadrado, es menos dos. Pero el coeficiente del término en 𝑥 y la constante son ambos cero, o sea, 𝑏 es igual a cero y 𝑐 es igual a cero.
Y, un ejemplo más, 𝑦 igual a un cuarto de 𝑥 al cuadrado más dos quintos. En este caso, el valor de 𝑎 es un cuarto, el valor de 𝑏 es cero y el valor de 𝑐 es dos quintos.
Así que 𝑏 o 𝑐 pueden ser cero, pero para ser una ecuación de segundo grado, el valor de 𝑎 nunca puede ser cero.
Si trazamos la gráfica de cualquier función de segundo grado, obtenemos una parábola simétrica como una de estas dos, bien en forma de U o bien en forma de U invertida. Probablemente recuerdes que el valor de 𝑎, es decir, el coeficiente de 𝑥 al cuadrado, te dice qué tan ancha o delgada es la curva, y en qué sentido está, recuerda: curvas positivas con carita feliz o curvas negativas y con cara tristes Y cambiando el coeficiente de 𝑥, o sea, el valor de 𝑏, la curva se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha en la gráfica. Y el valor 𝑐, el término constante, nos dice el valor de la función cuando la variable independiente 𝑥 es cero. En otras palabras, dónde corta el eje 𝑦, o sea, la ordenada 𝑦 en el origen.
Por lo tanto, simplemente mirar los coeficientes y el término constante puede decirnos mucho sobre cómo es la gráfica de la función. Y al revés, si nos fijamos en la gráfica, podemos decir cuáles serán los coeficientes. Pero también hay otro aspecto que debemos conocer. ¿Dónde interseca la curva el eje 𝑥? En otras palabras, ¿qué valores de la variable independiente 𝑥 generan resultados de 𝑦 iguales a cero?
Probablemente hayas pasado bastante tiempo resolviendo tales cosas, tal vez leyendo valores de gráficos, usando ensayo y mejoras sistemáticas. Tal vez factorizando, o usando la fórmula cuadrática, o incluso completando el cuadrado. Pero es posible que hayas notado que a veces obtienes dos respuestas, a veces obtiene una y, a veces, no obtienes ninguna. Tal vez la expresión cuadrática no se puede factorizar, o tal vez la fórmula simplemente falla y refleja un error matemático en tu calculadora, cuando la escribes.
Algunas ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces y eso es equivalente a que intersecan el eje 𝑥 en dos lugares. Así que hay dos valores de 𝑥 que generan coordenadas 𝑦 de cero. Algunas ecuaciones tienen solo una raíz. Más propiamente se dice que son raíces repetidas: son dos raíces, pero simplemente están en el mismo lugar. Y otras no tienen raíces, no tienen raíces reales. Hay una forma de usar cosas tales como los números imaginarios y los números complejos para generar más raíces. Pero no nos vamos a ocupar de eso todavía. Si la curva cambia de tendencia y se tuerce hacia arriba, o tal vez cambia de tendencia y se tuerce hacia abajo dependiendo de si viene desde arriba o desde abajo, sin cruzar el eje 𝑥 en ninguna parte, entonces es que no hay raíces. Y eso es porque no hay puntos en esa curva que tengan una coordenada 𝑦 de cero. Ninguna de los valores de entrada 𝑥 genera una coordenada 𝑦 de cero.
Echemos un vistazo a la fórmula cuadrática. Las soluciones de 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero, donde 𝑎 no es igual a cero, están dadas por 𝑥 igual a menos 𝑏 más o menos la raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 todo sobre dos 𝑎.
Así que la idea es tomar la ecuación de segundo grado y sustituir los valores 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Y eso nos dirá las coordenadas 𝑥 para las cuales la coordenada 𝑦 es cero. Pero si hay dos soluciones, una solución o ninguna solución, todo depende de esta expresión de aquí; y esta expresión se llama discriminante. Por lo tanto, cuando usamos la fórmula cuadrática, necesitamos calcular la raíz cuadrada del discriminante para, seguidamente, poder hallar las coordenadas 𝑥 de los puntos donde la curva interseca el eje 𝑥. Ese es el problema. Si el discriminante es positivo, tenemos la raíz cuadrada de un número positivo. Y eso nos da dos valores diferentes, una versión positiva y una versión negativa, por lo que habrá dos valores de 𝑥. Si el discriminante es igual a cero, tenemos la raíz cuadrada de cero, que es cero. Ese es solo un valor, así que vamos a encontrar solo una raíz. Y si el discriminante es negativo, vamos a intentar hallar la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible… a menos que echemos mano de un conjunto de números llamado números complejos.
Veamos entonces un par de ejemplos. Si 𝑦 es igual a 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más dos, eso significa que 𝑎 es uno, 𝑏 es tres y 𝑐 es dos. Si ponemos la coordenada 𝑦 igual a cero para así intentar averiguar dónde corta el eje 𝑥, si reemplazamos todos esos números en la fórmula cuadrática, el discriminante aquí es tres al cuadrado. Eso es, nueve, menos cuatro por uno por dos; y eso es ocho. Así que es nueve menos ocho, o sea, más uno. Y más o menos la raíz cuadrada de uno puede ser más uno o puede ser menos uno. Más uno por uno es uno, y menos uno por menos uno también es uno. Eso genera dos posibles soluciones. Para esta ecuación de segundo grado en particular, una coordenada 𝑥 de menos uno genera una coordenada 𝑦 de cero, y una coordenada 𝑥 de menos dos genera también una coordenada 𝑦 de cero. En otras palabras, interseca el eje 𝑥 en dos lugares: cuando 𝑥 es igual a menos uno y cuando 𝑥 es igual a menos dos. Cuando el discriminante 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es mayor que cero, tenemos dos raíces reales en nuestras ecuaciones; dos valores de 𝑥 que generan una coordenada 𝑦 de cero.
Perfecto. Veamos otro ejemplo. 𝑦 es igual a 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno. Así que en esta ecuación de segundo grado 𝑎 es igual a uno, 𝑏 es igual a dos y 𝑐 es igual a uno. Si ponemos 𝑦 igual a cero porque queremos tratar de hallar las coordenadas 𝑥 donde la gráfica corta el eje 𝑥, cuando reemplazamos esos números en nuestra ecuación de segundo grado, esta parte dentro de la raíz cuadrada aquí, el discriminante, resulta ser cuatro menos cuatro, que es cero. Cuando resolvemos esa ecuación, los valores de 𝑥 serán menos dos más o menos la raíz cuadrada de cero. Obviamente, la raíz cuadrada de cero es cero. Así que estamos sumando cero a menos dos y restamos cero de menos dos. Claramente, nuestras dos soluciones serán exactamente las mismas, en este caso, menos uno. Básicamente, un valor de la variable independiente 𝑥 de menos uno genera un valor de la variable dependiente 𝑦 de cero. Pero no hay otros valores de 𝑥 que hagan eso, por lo que esta es una curva que solo toca el eje 𝑥 en un lugar.
Echemos un vistazo a un ejemplo más. 𝑦 es igual a dos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más tres. Así que ahora 𝑎 es dos, 𝑏 es uno y 𝑐 es tres. Y reemplazar esos números en nuestra fórmula cuadrática nos da un discriminante de uno al cuadrado menos cuatro por dos por tres; eso es menos veintitrés. Y si queremos resolver esto, tendremos que hallar la raíz cuadrada de menos veintitrés. Pero no se puede obtener la raíz cuadrada de un número negativo porque si tomamos un número multiplicado por sí mismo, ya sea positivo o negativo, siempre obtendremos una respuesta positiva.
Así que este es un ejemplo de una ecuación de segundo grado que no tiene raíces. En otras palabras, no hay coordenadas 𝑥 que generen una coordenada 𝑦 de cero. No podemos hallar ningún valor real de 𝑥 que nos permita calcular esta raíz cuadrada de un número negativo aquí. Así que podemos usar esta información, es decir, simplemente analizar el discriminante, para saber si hay dos raíces, una raíz o ninguna raíz para nuestra ecuación de segundo grado. Si 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es mayor que cero, habrá dos raíces. Así que puedes calcular el valor de 𝑏 al cuadrado y el valor de cuatro 𝑎𝑐; y si 𝑏 al cuadrado es mayor que cuatro 𝑎𝑐, entonces sabes que hay dos raíces. Si 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es igual a cero, esa raíz cuadrada será cero. Así que solo tendremos una raíz.
Y tal vez una forma más rápida de detectar, es decir, si el valor de 𝑏 al cuadrado es igual a cuatro 𝑎𝑐, significa lo mismo; eso será solo una raíz. Y si 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es menor que cero, vas a intentar calcular la raíz cuadrada de un número negativo. No va a funcionar; no habrá raíces. Y eso sucede cuando el cuadrado de 𝑏 es menor que cuatro por 𝑎 por 𝑐.
Ahora bien. Antes de terminar, solo quiero que respondas estas tres preguntas.
¿Cuántas raíces tienen estas ecuaciones de segundo grado? Vamos a igualar la coordenada 𝑦 a cero y ver cuántas soluciones obtenemos. Y hacemos esto analizando el discriminante en cada caso. Vamos a hacer una pausa ahora, solo esperaré un par de segundos y luego explicaré las respuestas.
De acuerdo. En cada caso, lo primero que debemos hacer es escribir el valor de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Y luego podemos usar esos valores para evaluar el discriminante. Y el discriminante, recuerda, es 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐.
En esta primera cuestión, eso es cinco al cuadrado menos cuatro por dos por cinco. Así que eso es veinticinco menos cuarenta, que es menos quince. En este caso, el discriminante 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es menor que cero y eso significa que no hay raíces reales.
Pasando al número dos, podemos ver que 𝑎 es dos, 𝑏 es menos cuatro y 𝑐 es dos. Así que el discriminante es 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐. Eso es menos cuatro al cuadrado menos cuatro por dos por dos. Cuatro al cuadrado es dieciséis y cuatro por dos es ocho por dos es dieciséis. Dieciséis menos dieciséis, es igual a cero. Así que 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐, el discriminante, es igual a cero y eso significa que tenemos una raíz repetida.
Y para la última cuestión, tenemos 𝑎 igual a dos, 𝑏 igual a uno porque eso significa uno por 𝑥 y 𝑐 es igual a menos tres. Y el discriminante 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es uno al cuadrado menos cuatro por dos por menos tres. Cuatro por dos es ocho por tres es veinticuatro. Así que estamos restando menos veinticuatro, lo que significa que estamos sumando veinticuatro.
Ten cuidado con estas situaciones; estamos quitando algo, pero debido a que uno de esos valores, el valor 𝑐 en este caso, es negativo, tenemos menos de menos, que es más. Por lo tanto, el discriminante es veinticinco, que es positivo. Eso significa que, en la fórmula cuadrática, hallaremos más y menos la raíz cuadrada de veinticinco, que es más cinco y menos cinco. Así que estamos sumando o restando para hallar la respuesta. El discriminante es mayor que cero, en este caso, el número tres, así que tenemos dos raíces.
