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Vídeo de la lección: El término general en el teorema del binomio de Newton Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar un término determinado en el desarrollo de Newton de un binomio y cómo hallar la relación entre dos términos consecutivos.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar un término determinado en el desarrollo de Newton de un binomio y cómo hallar la relación entre dos términos consecutivos. Antes de nada, explicaremos qué es el teorema, o fórmula, del binomio de Newton y qué representa cada una de sus partes.

El teorema del binomio de Newton nos da una fórmula general que nos ayuda a desarrollar binomios elevados a exponentes enteros grandes. La fórmula del binomio de Newton dice que 𝑎 más 𝑏 elevado a la 𝑛-ésima potencia es igual a 𝑛 combinación cero multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 más 𝑛 combinación uno multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno por 𝑏 elevado a uno, y así sucesivamente. El término general en el desarrollo es 𝑛 combinación 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Esto continúa hasta el último término, 𝑛 combinación 𝑛 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑛. El exponente de 𝑎 disminuye, mientras que el de 𝑏 aumenta.

El número combinatorio 𝑛 combinación 𝑟, o 𝑛 C 𝑟, es igual a 𝑛 factorial dividido por 𝑛 menos 𝑟 factorial multiplicado por 𝑟 factorial. Hay otras formas de escribir esto, como ves, pero en este vídeo vamos a seguir usando la notación que hemos escrito. Al aplicar el teorema del binomio de Newton, a veces nos interesa hallar un término en particular del desarrollo binomial. Esto es lo que veremos en la primera parte del vídeo. El término general, como podemos ver en el desarrollo, es 𝑛 C 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. El término general es denotado como 𝑎 sub 𝑟 más uno. Esto se debe a que el primer término corresponde a 𝑟 igual a cero, como podemos ver en el desarrollo. Debes tener en cuenta, además, que habrá un total de 𝑛 más uno término en el desarrollo binomial.

A continuación resolveremos un problema en el que se nos pide hallar un término concreto en un desarrollo binomial.

Halla el tercer término en el desarrollo de dos 𝑥 más cinco partido por la raíz cuadrada de 𝑥, todo a la quinta.

Este es un ejemplo de un desarrollo binomial de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛. Podríamos escribir todo el desarrollo. Pero sabemos que el término general, 𝑎 sub 𝑟 más uno, es igual a 𝑛 combinación 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. En esta cuestión tenemos que hallar el tercer término, 𝑎 sub tres. Dentro del paréntesis tenemos dos términos. 𝑎, el primer término, es igual a dos 𝑥. Y 𝑏, el segundo término, es igual a cinco partido por la raíz de 𝑥.

El exponente al que está elevado el binomio es cinco. Así que 𝑛 es igual a cinco. Como queremos hallar el tercer término, 𝑟 más uno es igual a tres. Restamos uno en ambos lados de la ecuación y obtenemos 𝑟 igual a dos. Ahora sustituimos estos cuatro valores en la fórmula del término general. De esta forma, el tercer término es igual a cinco combinación dos multiplicado por dos 𝑥 al cubo multiplicado por cinco partido por la raíz cuadrada de 𝑥, todo al cuadrado.

Sabemos que 𝑛 combinación 𝑟 es igual a 𝑛 factorial dividido por 𝑛 menos 𝑟 factorial multiplicado por 𝑟 factorial. Cinco combinación dos es, por lo tanto, igual a cinco factorial dividido por tres factorial multiplicado por dos factorial. Podemos reescribir cinco factorial como cinco multiplicado por cuatro multiplicado por tres factorial. Esto se simplifica a cinco por cuatro entre dos factorial, que es igual a 10. Cinco sobre dos es 10.

Para elevar dos 𝑥 al cubo, lo mejor es elevar dos y 𝑥 al cubo por separado. Como dos al cubo es igual a ocho, dos 𝑥 al cubo es ocho 𝑥 al cubo. Podemos hacer algo parecido cuando elevamos al cuadrado una fracción. Elevamos al cuadrado el numerador y el denominador por separado. Cinco al cuadrado es 25, y la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado es 𝑥. La raíz cuadrada y el cuadrado son operaciones inversas. Por lo tanto, el tercer término es igual a 10 multiplicado por ocho 𝑥 al cubo multiplicado por 25 partido entre 𝑥.

Esto se simplifica a 2000𝑥 al cuadrado, pues 25 por ocho por 10 es 2000, y 𝑥 al cubo entre 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. El tercer término en el desarrollo de dos 𝑥 más cinco partido entre la raíz cuadrada de 𝑥, todo elevado a cinco, es 2000𝑥 al cuadrado. Si hubiésemos querido ahorrar tiempo, podríamos haber usado la calculadora para hallar cinco combinación dos.

En el próximo ejemplo veremos cómo hallar dos términos distintos en un desarrollo binomial.

Considera el desarrollo de 𝑥 a la quinta partido entre ocho menos ocho partido por 𝑥, todo elevado a nueve, en potencias decrecientes de 𝑥. ¿Para qué valores de 𝑥 es la suma de los dos términos centrales igual a cero?

En este problema tenemos una expresión binomial de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛. Al desarrollar una expresión de este tipo, sabemos que habrá 𝑛 más un término. Esto significa que nuestro desarrollo tendrá 10 términos, y que los dos términos centrales van a ser el quinto y el sexto. Queremos hallar 𝑎 sub cinco y 𝑎 sub seis, el quinto y el sexto términos del desarrollo.

Sabemos que el término general de un desarrollo binomial, 𝑎 sub 𝑟 más uno, es igual a 𝑛 combinación 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Por lo tanto, el quinto término es igual a nueve combinación cuatro multiplicado por 𝑥 a la quinta partido por ocho, todo elevado a cinco, multiplicado por menos ocho partido por 𝑥, todo elevado a cuatro.

Por otro lado, el sexto término es igual a nueve combinación cinco multiplicado por 𝑥 a la quinta partido por ocho, todo elevado a cuatro, multiplicado por menos ocho partido entre 𝑥, todo elevado a cinco. Nos dicen que la suma de estos dos términos ha de ser igual a cero. Esto significa que el quinto término es igual a menos el sexto término. Observamos que nueve combinación cuatro es igual a nueve combinación cinco, pues ambos son iguales a nueve factorial dividido por cinco factorial multiplicado por cuatro factorial.

Así que cancelamos esto en ambos lados de la ecuación. Y dividimos los dos lados de la ecuación por 𝑥 a la quinta partido por ocho elevado a la cuarta. Esto significa que el lado izquierdo se convierte en 𝑥 a la quinta partido por ocho. Asimismo, dividimos ambos lados por menos ocho partido por 𝑥 a la cuarta. Y el lado derecho se convierte en menos menos ocho sobre 𝑥. Y los dos signos menos se convierten en un signo más.

Ahora pasamos a multiplicar en cruz. O sea, multiplicamos ambos lados por ocho y por 𝑥. Y obtenemos que 𝑥 a la sexta es igual a 64. Seguidamente calculamos la raíz sexta de ambos lados. Y obtenemos que 𝑥 es igual a más o menos dos, pues más y menos dos, ambos elevados a seis, es 64.

Del término «valores» del enunciado deducimos que tendremos más de una respuesta. La suma de los dos términos centrales es igual a cero cuando 𝑥 es igual a dos o menos dos.

En la segunda parte del vídeo vamos a ver qué obtenemos cuando tratamos de hallar la razón entre los términos consecutivos de un desarrollo binomial.

Considera el desarrollo de ocho 𝑥 más dos 𝑦, todo elevado a 23. Calcula la razón entre los términos octavo y séptimo.

Como ya hemos visto, el término general 𝑎 sub 𝑟 más uno es igual a 𝑛 combinación 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Esto significa que la razón entre los términos octavo y séptimo, 𝑎 sub ocho dividido por 𝑎 sub siete, es igual a 23 combinación siete multiplicado por ocho 𝑥 elevado a 16 multiplicado por dos 𝑦 elevado a siete, todo dividido entre 23 combinación seis multiplicado por ocho 𝑥 elevado a 17 multiplicado por dos 𝑦 elevado a seis.

Vemos que podemos dividir el numerador y el denominador por ocho 𝑥 elevado a 16. Por lo que nos quedamos con ocho 𝑥 en el denominador. Y observamos que esto es igual al primer término del binomio.

Dividimos el numerador y el denominador por dos 𝑦 elevado a seis. Y obtenemos dos 𝑦 en el numerador, que es igual al segundo término del binomio. Recordamos que el cociente entre números combinatorios consecutivos, 𝑛 combinación 𝑟 dividido por 𝑛 combinación 𝑟 menos uno, está dado por 𝑛 menos 𝑟 más uno partido por 𝑟. Esto significa que 23 sobre siete dividido por 23 sobre seis es igual a 23 menos siete más uno todo partido por siete. Esto se simplifica a 17 séptimos.

La razón del octavo término dividido por el séptimo término es, por lo tanto, igual a 17 multiplicado por dos 𝑦 dividido por siete multiplicado por ocho 𝑥. Esto, a su vez, se simplifica a 17𝑦 partido por 28𝑥. Esta es la razón entre los términos séptimo y octavo.

Con este ejemplo obtenemos una expresión sencilla para hallar la razón general entre términos consecutivos. Si tenemos dos términos consecutivos, 𝑎 sub 𝑟 más uno y 𝑎 sub 𝑟, del desarrollo de 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛, entonces la razón de estos dos términos es igual a 𝑛 combinación 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟, todo dividido por 𝑛 combinación 𝑟 menos uno multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 más uno multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟 menos uno. Esto se simplifica a 𝑛 menos 𝑟 más uno partido por 𝑟 multiplicado por 𝑏 partido por 𝑎. Podemos usar esta fórmula para resolver problemas en los que se nos pide hallar la razón entre términos consecutivos de un desarrollo binomial.

En el último problema vamos a aprender cómo hallar la razón entre términos no consecutivos.

Halla la razón entre los términos 15 y 17 en el desarrollo de 𝑥 menos 12 elevado a 19.

Para resolver este problema vamos a aplicar dos fórmulas vinculadas al desarrollo de una expresión de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛. Sabemos que el término general de este desarrollo, 𝑎 sub 𝑟 más uno, es igual a 𝑛 combinación 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. También sabemos que la razón entre términos consecutivos del desarrollo de Newton de una potencia binomial, 𝑎 sub 𝑟 más uno partido por 𝑎 sub 𝑟, es igual a 𝑛 menos 𝑟 más uno partido por 𝑟 multiplicado por 𝑏 sobre 𝑎.

En este problema nos interesan los términos 15 y 17 del desarrollo binomial. El 15.º término es igual a 19 combinación 14 multiplicado por 𝑥 a la quinta multiplicado por menos 12 elevado a 14. El 17º. término es igual a 19 combinación 16 multiplicado por 𝑥 al cubo multiplicado por menos 12 elevado a 16. Dividimos 𝑥 a la quinta y 𝑥 al cubo por 𝑥 al cubo, y nos queda 𝑥 al cuadrado en el numerador. Del mismo modo, si dividimos el numerador y el denominador por menos 12 elevado a 14, nos queda menos 12 al cuadrado en el denominador. Esto es lo mismo que 𝑎 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado.

Ahora tenemos que ver lo que sucede cuando dividimos números combinatorios no consecutivos. Como el 17.º término se encuentra dos lugares después del 15.º término, tenemos 𝑎 sub 𝑟 partido por 𝑎 sub 𝑟 más dos. La parte de los números combinatorios será igual a 𝑛 combinación 𝑟 menos uno partido de 𝑛 combinación 𝑟 más uno. Al escribir esto en términos de factoriales, vemos que tiene un aspecto bastante feo. Pero no te preocupes, pues enseguida veremos cómo bastantes términos se cancelan. Podemos aplicar las propiedades de los factoriales y el hecho de que dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la recíproca de la segunda. Por lo tanto, la parte de los números combinatorios es igual a 𝑟 multiplicado por 𝑟 más uno dividido por 𝑛 menos 𝑟 más uno multiplicado por 𝑛 menos 𝑟.

Es fácil darse cuenta de la relación que existe entre esto y la razón entre términos consecutivos. Volvamos al problema y hallemos 19 combinación 14 dividido por 19 combinación 16. Como 𝑛 es igual a 19 y 𝑟 es igual a 15, tenemos 15 multiplicado por 16 dividido por cinco multiplicado por cuatro. Sabemos que menos 12 al cuadrado es 144. Así que tenemos que multiplicar la primera parte por 𝑥 al cuadrado por 144. Esto, a su vez, se simplifica a 12𝑥 al cuadrado partido por 144. Por último, dividimos el numerador y el denominador por 12 y obtenemos que la razón entre los términos 15 y 17 es 𝑥 al cuadrado partido por 12.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. El término general en el desarrollo de una potencia de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛 se denota como 𝑎 sub 𝑟 más uno. Esto es igual a 𝑛 combinación 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Los términos consecutivos en un desarrollo o expansión binomial se relacionan por la fórmula 𝑎 sub 𝑟 más uno partido por 𝑎 sub 𝑟 es igual a 𝑛 menos 𝑟 más uno partido por 𝑟, todo multiplicado por 𝑏 sobre 𝑎. Además, en el último problema hemos visto que podemos hacer uso de esta fórmula cuando queremos hallar la razón entre términos que no son consecutivos.

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