Vídeo: Modelos logísticos de crecimiento

En este vídeo vamos a aprender cómo usar ecuaciones diferenciales logísticas para modelar situaciones en las que el crecimiento de una magnitud viene limitado por una capacidad de carga.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo utilizar modelos logísticos de crecimiento, también llamados modelos de Verhulst, para representar el crecimiento de la población. En primer lugar vamos a repasar los modelos simples que solemos emplear para representar el crecimiento de una población y vamos a analizar por qué estos modelos no son adecuados en ciertos casos. Luego, veremos cómo podemos desarrollar estos modelos para incorporar algunas de las restricciones prácticas del crecimiento poblacional, como por ejemplo el máximo número de individuos que puede admitir la población. Y, finalmente, vamos a ver una serie de ejemplos en los que aplicaremos este nuevo modelo.

Ya debes estar familiarizado con modelos simples de crecimiento poblacional en los que la población aumenta a un ritmo proporcional a la misma población. Este crecimiento demográfico se rige por la ecuación diferencial d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃, donde la constante de proporcionalidad 𝑘 es la tasa a la que la población aumenta. Si separamos las variables de la ecuación diferencial e integramos, obtenemos que la solución general de esta ecuación diferencial es de la forma 𝑃 igual a 𝐴𝑒 elevado a 𝑘𝑡. Y si conocemos el valor inicial de la población cuando 𝑡 es igual a cero, 𝑃 cero, hallaremos que la solución particular es 𝑃 igual a 𝑃 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡. De esta forma sabemos que la población crece exponencialmente. Por lo tanto, la gráfica de la población a lo largo del tiempo tendrá más o menos este aspecto.

Sin embargo, debemos cuestionar la viabilidad de este modelo, pues sugiere que la población seguirá creciendo a un ritmo cada vez mayor. Lo cierto es que es poco probable que esto ocurra, pues el ambiente en el que vive la población no contará con recursos ilimitados. Sí es posible, en cambio, que llegue un momento en el que la población sea demasiado numerosa para ser abastecida con los recursos disponibles. Y, llegados a este punto, este modelo dejará de ser preciso a la hora de predecir el cambio demográfico a lo largo del tiempo. Así que vamos a tratar de cambiar este modelo para incluir dos nuevos supuestos.

En primer lugar, el crecimiento de la población disminuirá a medida que la población aumente. Por lo tanto, aunque es posible que el crecimiento exponencial sea conveniente inicialmente, el ritmo al que aumenta la población disminuirá con el tiempo. El segundo supuesto que tenemos es que existe una población máxima que pueda ser sustentada en un entorno determinado. Esto se conoce como capacidad de carga o de sustentación del ambiente. Y lo denotamos con la letra 𝐿.

Vamos a ver enseguida el nuevo modelo con las dos condiciones que acabamos de introducir. Y la gráfica de la solución a este modelo tendrá más o menos este aspecto. La población crece inicialmente de forma exponencial. Pero el ritmo de crecimiento disminuye con el tiempo. Por último, la población se estabiliza a un nivel igual a la capacidad de carga, 𝐿, del medio.

El modelo más sencillo de crecimiento poblacional que incorpora las dos condiciones que acabamos de presentar, es el siguiente. Uno sobre 𝑃 por d𝑃 sobre d𝑡 es igual a 𝑘 por uno menos 𝑃 sobre 𝐿. Pero demostrar esto no se encuentra dentro de los objetivos de este vídeo. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 𝑃 y obtenemos que d𝑃 sobre d𝑡 es igual a 𝑘𝑃 por uno menos 𝑃 sobre 𝐿. Esto se conoce como la ecuación diferencial logística para el crecimiento poblacional.

En este modelo, 𝑘 representa la tasa de crecimiento de la población y 𝐿 la capacidad de carga. Podemos ver que, si la población es pequeña en comparación con la capacidad de carga, entonces 𝑃 sobre 𝐿 estará próximo a cero. Uno menos 𝑃 sobre 𝐿 estará cerca de uno. Y, por lo tanto, d𝑃 sobre d𝑡 será aproximadamente 𝑘𝑃. Y tenemos el usual modelo simple para el crecimiento poblacional.

Resulta, pues, que, cuando 𝑃 es pequeño en relación con 𝐿, el modelo exponencial del crecimiento de la población es adecuado. Sin embargo, cuando la población se acerca a su nivel de saturación o capacidad de carga, 𝑃 sobre 𝐿 tenderá a uno. Por lo tanto, uno menos 𝑃 sobre 𝐿 tenderá a cero. Y, de este modo, la tasa de variación de la población, d𝑃 sobre d𝑡, también tenderá a cero. Si la población excede la capacidad de carga, entonces 𝑃 sobre 𝐿 será mayor que uno, lo que significa que uno menos 𝑃 sobre 𝐿 será negativo. Y, por lo tanto, la tasa de variación de la población también será negativa, esto es, la población estará disminuyendo, pues ha superado el número máximo de individuos que puede sustentar el ambiente.

Veamos ahora cómo resolver esta ecuación logística. Aunque es más compleja que la del modelo de crecimiento poblacional simple, sigue siendo una ecuación diferencial separable. Vamos a reescribir el lado derecho de la ecuación como 𝑘𝑃 por 𝐿 menos 𝑃 sobre 𝐿, y luego separamos las variables, obteniendo así que 𝐿 sobre 𝑃 por 𝐿 menos 𝑃 d𝑃 es igual a 𝑘 d𝑡. Por último, resolvemos integrando ambos lados de la ecuación.

Integrar el lado derecho va a ser fácil. Pero para integrar el lado izquierdo, necesitamos usar fracciones simples. Podemos expresar 𝐿 sobre 𝑃 por 𝐿 menos 𝑃 como 𝐴 sobre 𝑃 más 𝐵 sobre 𝐿 menos 𝑃. A continuación, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 𝑃 𝐿 menos 𝑃 y obtenemos que 𝐿 es igual a 𝐴 por 𝐿 menos 𝑃 más 𝐵𝑃. Luego, sustituimos valores particulares de la población 𝑃 para determinar los valores de las constantes 𝐴 y 𝐵.

Cuando 𝑃 es igual a cero, 𝐿 es igual a 𝐿𝐴. Y, por lo tanto, 𝐴 es igual a uno. Cuando la población 𝑃 es igual a 𝐿, 𝐿 es igual a 𝐵𝐿. Así que 𝐵 también es igual a uno. Por lo tanto, la fracción 𝐿 sobre 𝑃 por 𝐿 menos 𝑃 puede descomponerse en fracciones simples como uno sobre 𝑃 más uno sobre 𝐿 menos 𝑃.

Sustituimos de nuevo en la integral para poder resolverla. Como sabemos, la integral de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más una constante de integración 𝑐. Y, si aplicamos el método de sustitución, obtendremos que la integral de uno sobre 𝑘 menos 𝑥 con respecto a 𝑥 para una constante 𝑘 es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑘 menos 𝑥 más una constante 𝑐.

Por lo tanto, tenemos que el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑃 menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝐿 menos 𝑃 es igual a 𝑘𝑡. Y añadimos la constante de integración 𝑐 en el lado derecho.

Ahora bien, la población 𝑃 es mayor que cero. Y como queremos que el nivel de la población se encuentre por debajo del nivel de saturación o capacidad de carga 𝐿 para que este modelo nos sirva, 𝐿 menos 𝑃 también es mayor que cero. Por lo tanto, el valor absoluto de 𝑃 es 𝑃 y el valor absoluto de 𝐿 menos 𝑃 es 𝐿 menos 𝑃. Así, tenemos que el logaritmo neperiano de 𝑃 menos el logaritmo neperiano de 𝐿 menos 𝑃 es igual a 𝑘𝑡 más 𝑐.

Multiplicamos por menos uno, aplicamos las propiedades de los logaritmos, y obtenemos que el logaritmo neperiano de 𝐿 menos 𝑃 sobre 𝑃 es igual a menos 𝑘𝑡 más una constante 𝑐 dos. A continuación, ponemos una base 𝑒 a ambos lados, por lo que el logaritmo neperiano del lado izquierdo se cancela, y obtenemos que 𝐿 menos 𝑃 sobre 𝑃 es igual a 𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 más 𝑐 dos. Y, si aplicamos las propiedades de las potencias, podemos expresar esto como 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡.

Así que reescribimos la fracción del lado izquierdo como 𝐿 sobre 𝑃 menos 𝑃 sobre 𝑃, que se simplifica a 𝐿 sobre 𝑃 menos uno. Sumamos uno a ambos lados de la ecuación y obtenemos que 𝐿 sobre 𝑃 es igual a 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 más uno. Por último, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 𝑃 y dividimos por 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 más uno para obtener que 𝑃 es igual a 𝐿 sobre uno más 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡. Esta es la solución general del modelo logístico de crecimiento poblacional.

Podemos hallar el valor de la constante 𝐴 si conocemos la población en el instante cero. Si 𝑃 es igual a un valor 𝑃 cero en 𝑡 igual a cero, entonces tenemos la ecuación 𝑃 cero igual a 𝐿 sobre uno más 𝐴𝑒 elevado a cero. Pero 𝑒 elevado a cero es uno. Reorganizamos esta ecuación y obtenemos una expresión para 𝐴 en términos de la capacidad de carga 𝐿 y de la población inicial 𝑃 cero. 𝐴 es igual a 𝐿 menos 𝑃 cero sobre 𝑃 cero.

De esta forma hemos obtenido la solución general del modelo logístico de crecimiento poblacional. Podemos citar esta solución como un resultado general cuando resolvemos problemas de este tipo. Fíjate que, ahora, cuando 𝑡 tiende a infinito, 𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 tiende a cero. Y, por lo tanto, la población tenderá a 𝐿 sobre uno, que es 𝐿, la capacidad de carga de la población. Veamos ahora algunos ejemplos de modelos logísticos. En el primer ejemplo, vamos a aprender cómo plantear una ecuación diferencial logística a partir de una descripción física.

Supongamos que una población crece según un modelo logístico con una capacidad de carga de 7500 personas y con 𝑘 igual a 0.006. Escribe la ecuación diferencial logística que representa esta situación.

Ya sabemos el tipo de modelo de crecimiento poblacional que debemos usar en este problema. Así que vamos a citar la ecuación diferencial logística normal. Es d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃 por uno menos 𝑃 sobre 𝐿, donde 𝑘 es la tasa de crecimiento de la población y 𝐿 es la capacidad de carga. En el enunciado se nos han dado estos dos valores. Así que ahora solo tenemos que sustituirlos en la ecuación diferencial logística.

Tenemos entonces que d𝑃 sobre d𝑡 es igual a 0.006, que es 𝑘𝑃, por uno menos 𝑃 sobre 7500, que es 𝐿. El problema nos pide que escribamos la ecuación diferencial logística. Y como no es necesario que la resolvamos, ya hemos terminado.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo hallar la solución particular de una ecuación diferencial logística con una condición inicial.

Supongamos que el crecimiento de una población se rige por la ecuación logística d𝑃 sobre d𝑡 igual a 0.07𝑃 por uno menos 𝑃 sobre 900, donde 𝑃 de cero es igual a 50. Escribe la fórmula para 𝑃 de 𝑡.

Escribir la fórmula para 𝑃 de 𝑡 significa que tenemos que hallar la solución de esta ecuación logística. Comenzamos escribiendo su forma general. Sabemos que la solución de la ecuación logística d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃 por uno menos 𝑃 sobre 𝐿 viene dada por 𝑃 igual a 𝐿 sobre uno más 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡, donde 𝐴 es igual a 𝐿 menos 𝑃 cero sobre 𝑃 cero. Aquí 𝑘 representa la tasa de crecimiento de la población. 𝐿 es la capacidad de carga. Y 𝑃 cero es la población inicial. Y podemos hallar estos valores a partir de la información que nos ha dado el enunciado.

En primer lugar sabemos que 𝑘 es igual a 0.07 y que 𝐿 es igual a 900. El enunciado también nos dice que 𝑃 cero es igual a 50. Así que podemos escribir cada uno de estos valores en la solución general. Vamos a hallar 𝐴 primero. 𝐴 es igual a 𝐿 menos 𝑃 cero sobre 𝑃 cero. Eso es 900 menos 50 sobre 50 o 850 sobre 50, que es 17.

Ahora podemos sustituir esto en la forma general de la solución. 𝑃 es igual a 𝐿, que es 900, sobre uno más 𝐴, que es 17, 𝑒 elevado a menos 𝑘, que es menos 0.07, 𝑡. Y ya tenemos nuestra solución para 𝑃 o 𝑃 de 𝑡. Es 900 sobre uno más 17𝑒 elevado a menos 0.07𝑡.

En el último ejemplo vamos a ver cómo calcular la tasa de crecimiento de la población y cómo hallar la población en un instante 𝑡.

Supongamos que una población crece según un modelo logístico con una población inicial de 1000 individuos y una capacidad de carga de 10000 individuos. Si, transcurrido un año, la población es de 2500 individuos, ¿cuál será la población tras otros tres años?

Sabemos que la solución general del modelo logístico viene dada por 𝑃 de 𝑡 igual a 𝐿 sobre uno más 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡, donde 𝐴 es igual a 𝐿 menos 𝑃 cero sobre 𝑃 cero. Aquí 𝐿 es la capacidad de carga de la población, 𝑃 cero es la población inicial, y 𝑘 es la tasa de crecimiento de la población.

Se nos han dado estos datos en el enunciado. Sabemos que la población inicial, 𝑃 cero, es de 1000 individuos. Y que la capacidad de carga, 𝐿, es de 10000 individuos. Pero no se nos ha dado la tasa de crecimiento de la población. En su lugar, se nos han dado otros dos valores para 𝑃 y 𝑡. Sabemos que la población, después de un año, es de 2500 individuos. Vamos a combinar esta información con los valores de 𝐿 y 𝑃 cero para calcular la tasa de crecimiento de la población.

Primero vamos a hallar el valor de la constante 𝐴. Es 𝐿 menos 𝑃 cero sobre 𝑃 cero, 10000 menos 1000 sobre 1000, que es 9000 sobre 1000, que es nueve. Sustituimos 𝐿 y 𝐴 en nuestro modelo y obtenemos que 𝑃 de 𝑡 es igual a 10000 sobre uno más nueve 𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡.

Ahora vamos a usar la población que hay después de un año para hallar el valor de 𝑘. Sustituimos 2500 en lugar de 𝑃 y uno en lugar de 𝑡, y obtenemos que 2500 es igual a 10000 sobre uno más nueve por 𝑒 elevado a menos 𝑘. Para hallar 𝑘, primero multiplicamos por uno más nueve 𝑒 elevado a menos 𝑘 y luego dividimos por 2500, y obtenemos que uno más nueve 𝑒 elevado a menos 𝑘 es igual a cuatro. A continuación, restamos uno y dividimos por nueve, y obtenemos que 𝑒 elevado a menos 𝑘 es igual a cuatro menos uno sobre nueve, que es tres novenos o un tercio.

Luego tomamos el logaritmo neperiano de ambos lados, pues sabemos que uno de ellos se va a cancelar con la exponencial en el lado izquierdo, y obtenemos que menos 𝑘 es igual al logaritmo neperiano de un tercio. A continuación multiplicamos por menos uno y obtenemos que 𝑘 es igual a menos el logaritmo neperiano de un tercio. Usamos las leyes de los logaritmos y vemos que esto es igual al logaritmo neperiano de tres. Muy bien, ya hemos hallado el valor de 𝑘, la tasa de crecimiento de la población. De esta forma obtenemos que nuestro modelo es 𝑃 de 𝑡 igual a 10000 sobre uno más nueve 𝑒 elevado a menos 𝑡 por el logaritmo neperiano de tres.

El enunciado nos pide que calculemos la población después de otros tres años, por lo que queremos calcular la población cuando 𝑡 es igual a cuatro. Ahora, lo último que nos queda por hacer es sustituir 𝑡 igual a cuatro en nuestro modelo. Así, tenemos que 𝑃 de cuatro es igual a 10000 sobre uno más nueve 𝑒 elevado a menos cuatro logaritmo neperiano de tres. Y esto se puede calcular de una forma muy sencilla, y eso es porque podemos aplicar las propiedades de los logaritmos en el denominador. Obtenemos 10000 partido por 10 novenos, que es 10000 por nueve sobre 10, que es 9000. De esta forma hemos obtenido que la población después de otros tres años, o sea, cuatro años después del comienzo, es de 9000 individuos.

Vamos a resumir lo que hemos visto en este vídeo. Hemos presentado los modelos logísticos, que pueden utilizarse como modelos más realistas de crecimiento poblacional pues tienen en cuenta que las poblaciones no pueden crecer sin límites debido a unos recursos naturales limitados. La ecuación diferencial logística para el crecimiento de la población es d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃 por uno menos 𝑃 sobre 𝐿, donde 𝑘 es la tasa de crecimiento y 𝐿 es la capacidad de carga.

Separando las variables e integrando, hemos hallado que la solución general de la ecuación diferencial logística con una población inicial 𝑃 cero es 𝑃 de 𝑡 igual a 𝐿 sobre uno más 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡, donde 𝐴 es igual a 𝐿 menos 𝑃 cero sobre 𝑃 cero. Esto produce un modelo mucho más realista de crecimiento poblacional, en el que la población crece inicialmente de forma exponencial. Pero, luego, el crecimiento se ralentiza. Y, por último, la población se nivela a la capacidad de carga de la población.

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