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Vídeo de la lección: Multiplicar binomios Matemáticas • Noveno grado

En este vídeo vamos a aprender cómo multiplicar dos binomios usando dos métodos distintos: el método PEIÚ (primeros, externos, internos, últimos) y el método del área.

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Transcripción del vídeo

Multiplicar binomios. En este vídeo vamos a aprender cómo multiplicar dos binomios usando el método PEIÚ y el método del área. Para ello, vamos a recordar primero lo que es un binomio. Un binomio es una expresión que consiste en una suma o resta de dos monomios. Por ejemplo, tres 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 es un binomio. Y también lo es 𝑦 menos siete.

Entonces, si tenemos dos binomios y queremos multiplicarlos, ¿cómo lo hacemos? Por ejemplo, si tenemos el binomio 𝑥 más dos y lo multiplicamos por el binomio 𝑥 más tres, escribiríamos esto con un símbolo de multiplicación en el medio. Observa que tenemos un paréntesis alrededor de cada binomio, de modo que sabemos que estamos multiplicando cada término de un binomio por cada término del otro binomio. Normalmente escribimos este tipo de operación sin el símbolo de multiplicación entre los dos binomios. Ocurre también a menudo que, para referirse a la multiplicación de dos binomios, se menciona el desarrollo de los paréntesis, el desarrollo del producto o el uso de la propiedad distributiva.

Veamos pues cómo multiplicar nuestros dos binomios. Hay varios métodos distintos para hacerlo. En nuestro caso vamos a usar dos. El primer método es el método PEIÚ. El acrónimo PEIÚ se refiere a Primero, Externo, Interno y Último, e indica la posición de los términos en el binomio. El segundo método es el método del área o de la cuadrícula. Este método de multiplicación se emplea a menudo para multiplicar números enteros.

Consideremos primero un ejemplo en el que vamos a aplicar ambos métodos para multiplicar dos binomios.

Desarrolla el producto dos 𝑥 más uno, 3𝑥 menos dos.

En este problema, la palabra producto indica que vamos a multiplicar los dos binomios. Vamos a utilizar dos métodos distintos para obtener el desarrollo de estos binomios. El primero es el método PEIÚ. Y el segundo es el método del área o de la cuadrícula. Empecemos por el método PEIÚ, que dice que debemos multiplicar los términos primeros, luego los externos, seguidamente los internos y finalmente los últimos. Si nos fijamos en los binomios, vemos que los primeros términos son dos 𝑥 y tres 𝑥. Así que los multiplicamos y escribimos dos 𝑥 por tres 𝑥.

Los términos externos son dos 𝑥 y menos dos. Así que añadimos dos 𝑥 por menos dos. Los términos internos son más uno y tres 𝑥. Por lo tanto, añadimos uno por tres 𝑥. Y, finalmente, los dos últimos términos son más uno y menos dos. Así que añadimos más uno por menos dos. No siempre vamos a tener que hacer los cálculos de esta manera. Pero aquí nos está ayudando a ilustrar nuestro método. Ahora calculamos los productos. Dos 𝑥 por tres 𝑥 es seis 𝑥 al cuadrado. Dos 𝑥 por menos dos es menos cuatro 𝑥, más uno por tres 𝑥 es igual a más tres 𝑥. Y por último, más uno por menos dos es menos dos.

El siguiente paso ahora es simplificar reduciendo términos semejantes. Aquí, tenemos dos términos que tienen una 𝑥. Así que podemos escribir esto como seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos dos, pues menos cuatro 𝑥 más tres 𝑥 es menos 𝑥. Veamos cómo obtendríamos la misma solución usando el método de la cuadrícula. Para dibujar la cuadrícula, colocamos un binomio horizontalmente y un binomio verticalmente. El primer binomio es dos 𝑥 y uno horizontalmente. Y el segundo binomio tres 𝑥 menos dos puede descomponerse en los términos tres 𝑥 y menos dos.

Seguidamente calculamos el producto de cada fila y columna, y comenzamos por tres 𝑥 por dos 𝑥. Y obtenemos seis 𝑥 al cuadrado. A continuación, tres 𝑥 por uno es tres 𝑥. En la segunda fila, menos dos por dos 𝑥 es menos cuatro 𝑥. Y finalmente, menos dos por uno es menos dos. Seguidamente simplificamos añadiendo los cuatro términos y viendo si podemos reducir algunos términos semejantes. Empezamos por seis 𝑥 al cuadrado. Y vemos que tenemos un término más tres 𝑥 y un término menos cuatro 𝑥, lo que se simplifica a menos 𝑥 y, por último, el término final de menos dos. Por lo tanto, aplicando cualquiera de los dos métodos hemos obtenido la solución seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos dos.

En el próximo ejemplo vamos a ver dos binomios que incluyen varios términos con variables distintas. Pero podemos aplicar el mismo procedimiento y los mismos métodos para obtener una solución para el desarrollo de estos dos binomios.

Utiliza la propiedad distributiva para desarrollar completamente dos 𝑥 más 𝑦, 𝑥𝑦 menos dos 𝑧.

En este enunciado, la expresión «utilizar la propiedad distributiva» significa que podemos multiplicar la suma multiplicando cada sumando por separado y luego sumando los productos. Podríamos utilizar varios métodos para desarrollar los paréntesis. En este ejemplo vamos a ver dos de ellos. El primer método es el método PEIÚ, que es un acrónimo. Como sabes, se refiere a los términos Primero, Externo, Interno y Último de nuestros binomios.

Por lo tanto, en el producto de estos dos binomios empezamos multiplicando los dos primeros términos, dos 𝑥 por 𝑥𝑦. A continuación, los términos externos son dos 𝑥 por menos dos 𝑧. Pero ¡ojo!, debemos tener mucho cuidado con la variable 𝑧, porque podemos confundirla con el número dos. A continuación, los términos internos son 𝑦 por 𝑥𝑦. Y por último, añadimos el producto de los términos últimos, o sea, 𝑦 multiplicado por menos dos 𝑧.

Ahora tenemos que simplificar los productos. El coeficiente del primer término es dos. 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Y tenemos el término 𝑦. Así que el primer término se simplifica a dos 𝑥 al cuadrado 𝑦. El coeficiente del segundo término se calcula multiplicando más dos por menos dos, y obtenemos menos cuatro. Y tenemos 𝑥 por 𝑧. El tercer término simplificado será 𝑥𝑦 al cuadrado, pues tenemos 𝑦 por 𝑦. Y el último término es menos dos 𝑦𝑧. A estas alturas siempre debemos comprobar si podemos simplificar la respuesta agrupando términos semejantes. Y como no hay ninguno aquí, esta sería la respuesta final.

Como método alternativo, podemos usar el método del área o de la cuadrícula para multiplicar los binomios. Para dibujar la cuadrícula, descomponemos los binomios en sus términos, y colocamos un polinomio en la fila superior y otro en la columna de la izquierda. En realidad, no importa en qué orden los pongamos. Para completar las celdas de la cuadrícula, multiplicamos el término en la fila por el término en la columna.

Por lo tanto, si hacemos la primera celda, tenemos 𝑥𝑦 por dos 𝑥, que es dos 𝑥 al cuadrado 𝑦. Para la siguiente celda, multiplicamos 𝑥𝑦 por 𝑦 y obtenemos 𝑥𝑦 al cuadrado. En la siguiente fila, tenemos menos dos 𝑧 por dos 𝑥, y obtenemos menos cuatro 𝑥𝑧. Y el último valor en la cuadrícula es menos dos 𝑦𝑧. Para hallar la respuesta a partir de esta cuadrícula, sumamos los cuatro productos y obtenemos dos 𝑥 al cuadrado 𝑦 menos cuatro 𝑥𝑧 más 𝑥𝑦 al cuadrado menos dos 𝑦𝑧, que es lo mismo que obtuvimos aplicando el método PEIÚ.

Ahora vamos a ver un ejemplo en el que debemos restar el producto de dos binomios de otro término.

Desarrolla y simplifica siete menos tres menos 𝑦, 𝑦 más dos.

En este problema vemos que tenemos dos binomios que se están multiplicando. Vamos a multiplicar primero los binomios para luego restar la respuesta a siete. Vamos a utilizar el método de la cuadrícula para multiplicar estos binomios. De momento no tenemos que preocuparnos por el signo menos de delante.

Dibujamos la cuadrícula y vemos que el primer binomio es tres menos 𝑦. El segundo binomio se puede descomponer en los términos 𝑦 y dos. Y podemos escribirlo con o sin el signo más. No importa en qué orden escribamos los términos. Para completar la cuadrícula, empezamos por 𝑦 por tres, que es tres 𝑦. Seguidamente tenemos 𝑦 por menos 𝑦, que es menos 𝑦 al cuadrado. En la siguiente fila, tenemos dos por tres, que es seis. Y el término final se calcula haciendo dos por menos 𝑦, que es menos dos 𝑦.

Por lo tanto, para extraer la solución de la cuadrícula, sumamos los cuatro productos que acabamos de calcular. Empezamos con el mayor exponente de 𝑦, que es 𝑦 al cuadrado. A continuación, vemos que tenemos dos términos con una 𝑦, que podemos reducir. Así que tres 𝑦 más menos dos 𝑦 es más 𝑦. Y luego, sumamos el término final de la cuadrícula, que es más seis. Así que para responder a la pregunta de siete menos tres menos 𝑦, 𝑦 más dos, sustituimos lo que hemos calculado en el desarrollo y obtenemos siete menos menos 𝑦 al cuadrado más 𝑦 más seis.

Es importante incluir todo esto entre paréntesis, pues queremos restar todos estos términos. Vamos a distribuir ahora el signo menos a todos los términos. Así que tenemos siete menos menos 𝑦 al cuadrado, que es más 𝑦 al cuadrado. Un signo menos y un más 𝑦 nos dará menos 𝑦. Y por último, un signo menos con un más seis es menos seis.

Ahora comprobamos si hay términos semejantes para poder simplificar. Vemos que hay un siete y un menos seis, que es uno, lo que nos da una respuesta final de 𝑦 al cuadrado menos 𝑦 más uno. Podemos escribir estos términos en cualquier orden. Pero normalmente los escribimos en orden de exponentes decrecientes. Aquí, tenemos 𝑦 al cuadrado primero, luego el término 𝑦, y por último la constante.

En el siguiente ejemplo vamos a ver binomios que tienen exponentes con valores más altos. Y vamos a utilizar las propiedades de las potencias para ayudarnos a resolver el problema.

Calcula 𝐴𝐵 sabiendo que 𝐴 es igual a cinco 𝑥 al cubo menos tres 𝑥 y 𝐵 es igual a menos seis 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥.

Para calcular 𝐴𝐵 en esta cuestión tenemos que multiplicar 𝐴 y 𝐵. Por lo tanto, podemos calcular 𝐴𝐵 multiplicando todo el binomio cinco 𝑥 al cubo menos tres 𝑥 por todo el binomio menos seis 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥. Como 𝐴 y 𝐵 son binomios, podemos utilizar cualquier método para multiplicar dos binomios. Podemos, por ejemplo, usar una multiplicación mediante cuadrícula, y en ese caso debemos descomponer los binomios en sus términos, recordando siempre incluir los signos menos, si los hay.

Para completar las celdas, multiplicamos el valor de la fila por el valor de la columna. El coeficiente del término en la primera celda puede hallarse multiplicando menos seis y cinco, que es menos 30. Para el término 𝑥, multiplicamos 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cubo. Ahora conviene hacer una pausa y recordar una propiedad muy importante de las potencias. Esta regla dice que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. Así que nuestro cálculo 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cubo es igual a 𝑥 elevado a cinco. Por lo tanto, el primer término en la cuadrícula es menos 30𝑥 elevado a cinco.

En la siguiente celda de la cuadrícula, tenemos el coeficiente menos seis por menos tres, que es 18, pues cuando multiplicamos dos valores negativos obtenemos un valor positivo. Por lo tanto, para la parte con 𝑥 tenemos 𝑥 al cuadrado por 𝑥, que equivale a 𝑥 al cuadrado por 𝑥 elevado a uno, lo que nos da 𝑥 al cubo. Así que todo el término es 18𝑥 al cubo. En la siguiente fila, tenemos tres 𝑥 por cinco 𝑥 al cubo, que es 15𝑥 elevado a cuatro. El término final de la cuadrícula se calcula haciendo tres 𝑥 por menos tres 𝑥. Y eso es menos nueve 𝑥 al cuadrado.

Entonces, para hallar el resultado a partir de la cuadrícula, lo que hacemos es juntar los cuatro productos, y obtenemos menos 30𝑥 elevado a cinco más 15𝑥 elevado a cuatro más 18𝑥 al cubo menos nueve 𝑥 al cuadrado. Como no hay términos semejantes, no podemos simplificar más. Así que esta es la respuesta final para 𝐴𝐵.

Antes de resumir lo que hemos aprendido en este vídeo es importante mencionar que la multiplicación de dos binomios es parte de lo que hemos de hacer si queremos multiplicar tres o más binomios. Pero no entra dentro de los objetivos de este vídeo analizar esto. Sin embargo, como guía aproximada, si tuviéramos que multiplicar tres binomios, por ejemplo, 𝑥 más tres por 𝑥 más siete por dos 𝑥 menos cinco, desarrollaríamos dos de los binomios, por ejemplo, y obtendríamos 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 21 y luego lo multiplicaríamos por dos 𝑥 menos cinco. Aquí, podríamos usar el método de la cuadrícula para hallar el resultado.

Entonces, en suma, en este vídeo hemos aprendido cómo multiplicar dos binomios usando dos métodos, el método PEIÚ y el método del área o de la cuadrícula. Y hemos visto que debemos prestar mucha atención al multiplicar los términos que tienen un signo menos. Por último, hemos aprendido que necesitamos hacer uso de una propiedad muy importante de las potencias cuando multiplicamos binomios. Esta dice que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏.

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