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Vídeo de la lección: Funciones polinómicas

En este video, vamos a aprender cómo identificar, escribir y hallar valores de una función polinomial (también llamada polinómica) en una variable y cómo determinar su grado y su coeficiente principal.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo identificar, escribir y hallar valores de una función polinomial (también llamada polinómica) en una variable y cómo determinar su grado y su coeficiente principal.

Seguramente ya habrás trabajado con funciones polinómicas, quizás sin darte cuenta. Estas son funciones tales como las funciones lineales, funciones cuadráticas, cúbicas, etc., en otras palabras, funciones con solo potencias enteras positivas de 𝑥. En general, decimos que una función es polinómica si es de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 sub 𝑛 𝑥 a la 𝑛-ésima potencia más 𝑎 sub 𝑛 menos uno 𝑥 a la 𝑛 menos uno y así sucesivamente hasta 𝑎 sub uno 𝑥 más 𝑎 sub cero. Aquí, todas las 𝑎 son constantes reales. Y decimos que nuestro polinomio tiene grado 𝑛, pues el grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable.

Por ejemplo, nuestra función cuadrática 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 al cuadrado más ocho 𝑥 menos tres tiene un grado de dos. Mientras que el exponente más grande de 𝑥 en la función 𝑓 de 𝑥 igual a cuatro menos tres 𝑥 al cubo es tres. Y, por lo tanto, este tiene un grado de tres. Ten en cuenta que, si hay términos de diferente tipo, como raíces cuadradas o fracciones con la variable en el denominador, como 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 o 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥. Entonces, esto ya no cuenta como una función polinómica. Recuerda, 𝑛 debe ser un entero positivo, un número entero positivo. También es útil recordar que 𝑓 de 𝑥 igual a cero es un polinomio, pero decimos que su grado no está definido.

También necesitamos poder hallar valores de funciones polinómicas. Por lo tanto, es útil recordar lo que queremos decir con esta parte de aquí. Decimos 𝑓 de 𝑥, donde 𝑓 es el nombre de la función y 𝑥 es la variable independiente o variable de entrada. Supongamos que queremos hallar el valor de 𝑓 en cuatro. Reemplazamos todas las letras 𝑥 del polinomio con el número cuatro y una vez hecho eso, operamos. Veamos cómo es esto con un ejemplo.

Halla el valor de 𝑓 de ocho para la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres menos siete 𝑥.

En esta cuestión, nos han dado una función polinomial. El exponente más alto de 𝑥 aquí es uno. Por lo tanto, decimos que el grado de nuestro polinomio es uno. Su variable independiente es 𝑥. Y vemos que cuando tenemos este valor de entrada, el valor de salida es tres menos siete lotes de 𝑥. La cuestión quiere que hallemos 𝑓 de ocho. Por lo tanto, vamos a reemplazar o sustituir 𝑥 por ocho. Así que, 𝑓 de ocho es tres menos siete por ocho. Ahora, ten cuidado aquí. Un error común aquí es pensar que esto significa 78, pero siete 𝑥 es en realidad siete por 𝑥.

Para evaluar 𝑓 de ocho, recordamos nuestro orden de operaciones, a veces llamado PAPOMUDAS. Esto nos dice que necesitamos hacer la multiplicación del segundo término antes de restarlo de tres. Siete multiplicado por ocho es 56. Entonces, 𝑓 de ocho será tres menos 56. 3 menos 56 es menos 53. 𝑓 de ocho, para la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres menos siete 𝑥, es menos 53.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos evaluar una función cuadrática. Eso es una función de segundo grado.

Siendo 𝑓 de 𝑥 menos ocho 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 más cuatro, halla 𝑓 de menos tres.

Nos han dado una función polinómica. Recuerda que una función polinómica es una función donde los exponentes de 𝑥 son todos números enteros positivos. El exponente más alto de 𝑥 en nuestra función polinómica es dos. Por lo tanto, decimos que el grado de la función es dos. Y la cuestión nos pide que hallemos el valor de 𝑓 de menos tres. En otras palabras, ¿cuál es el valor de salida de nuestra función 𝑓 cuando el valor de entrada es menos tres? Para hacer esto, vamos a reemplazar o sustituir 𝑥 con menos tres en todos los términos de nuestra función.

El primer término en nuestra función es menos ocho 𝑥 al cuadrado. Esto se convierte en menos ocho por menos tres al cuadrado. Luego, restamos tres por 𝑥. Restamos tres por menos tres. El término final es cuatro; eso es independiente de 𝑥, así que sigue siendo cuatro. Y, por supuesto, para calcular esto, necesitamos recordar el orden de las operaciones. El cual nos dice el orden en el que debemos realizar los cálculos. Esto a veces se abrevia como PAPOMUDAS. En cualquier caso, evaluamos las potencias antes que cualquier multiplicación. Así que vamos a comenzar evaluando menos tres al cuadrado.

Menos tres al cuadrado es menos tres por menos tres. Un número negativo multiplicado por otro número negativo da un número positivo. Por lo tanto, menos tres al cuadrado es más nueve. Y así, obtenemos menos ocho multiplicado por nueve menos tres multiplicado por menos tres más cuatro. Ahora tenemos que realizar la multiplicación antes que cualquier suma o resta. Ocho multiplicado por nueve es 72. Y sabemos que un número negativo multiplicado por un número positivo es un número negativo.

Ahora vamos a restar tres multiplicado por menos tres. Tres multiplicado por menos tres es menos nueve. Restamos menos nueve. Pero, por supuesto, sabemos que restar un signo negativo es lo mismo que sumar un signo positivo. Y así, obtenemos menos 72 más nueve más cuatro. Ahora tenemos suma y resta en el mismo cálculo. Cuando esto sucede, simplemente nos movemos de izquierda a derecha. Menos 72 más nueve es menos 63.

Cuando sumamos nueve, avanzamos nueve espacios en la recta numérica. Vamos a sumar cuatro a esto, recordando una vez más que cuando sumamos cuatro, subimos cuatro espacios en la recta numérica. Por lo tanto, menos 63 más cuatro es menos 59. Y así, sabiendo que la función cuadrática 𝑓 de 𝑥 es menos ocho 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 más cuatro, hemos hallado que 𝑓 de menos tres es igual a menos 59.

Veamos ahora lo que sucede si la entrada de nuestra función es en sí misma un binomio.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos cuatro. Halla 𝑓 de 𝑥 más tres.

Aquí tenemos una función cuadrática. Su exponente más alto de 𝑥 es dos. Así que podemos decir que tiene grado dos o que es de segundo grado. En este punto, la entrada a nuestra función es 𝑥. Pero la cuestión quiere que hallemos qué sucede cuando la entrada es 𝑥 más tres. Así que, nos movemos a lo largo de la función. Y cada vez que veamos la variable 𝑥, la vamos a reemplazar con la expresión 𝑥 más tres. La primera parte de nuestra función es 𝑥 al cuadrado. Cuando reemplazamos 𝑥 con 𝑥 más tres, obtenemos 𝑥 más tres al cuadrado.

Luego, restamos tres 𝑥. Pero, por supuesto, reemplazamos 𝑥 con 𝑥 más tres. Restamos tres por 𝑥 más tres. El término final aquí es menos cuatro. Eso es independiente de 𝑥. Por lo tanto, permanece como menos cuatro. Seguidamente vamos a desarrollar los paréntesis en nuestra función. Comencemos con el primer término. Eso es 𝑥 más tres al cuadrado. Recuerda, 𝑥 más tres al cuadrado es 𝑥 más tres por sí mismo.

Y para desarrollar estos paréntesis, comenzamos multiplicando el primer término en cada expresión. 𝑥 multiplicado por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Luego multiplicamos los términos externos. 𝑥 multiplicado por tres es tres 𝑥. Después los términos internos, bueno, eso nos da otros tres 𝑥. Y finalmente, multiplicamos los últimos términos hallando nueve. Nuestro último paso es reducir términos semejantes. Bien, tres 𝑥 más tres 𝑥 es seis 𝑥. Y vemos que 𝑥 más tres todo al cuadrado es 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más nueve.

Desarrollemos ahora el segundo paréntesis. Esta vez, vamos a multiplicar menos tres por todo lo que está dentro del paréntesis. Menos tres por 𝑥 es menos tres 𝑥. Y menos tres por tres es menos nueve. Finalmente, bajamos el menos cuatro. Tenemos que 𝑓 de 𝑥 más tres es 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más nueve menos tres 𝑥 menos nueve menos cuatro. Simplifiquemos un poco más reduciendo términos semejantes.

Tenemos uno 𝑥 al cuadrado. Luego tenemos seis 𝑥 menos tres 𝑥, lo que nos da tres 𝑥. Y, finalmente, tenemos nueve menos nueve menos cuatro, que es menos cuatro. Entonces, 𝑓 de 𝑥 más tres es 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 menos cuatro. Y este tipo de proceso puede ser bastante útil. Deberíamos saber, por ejemplo, que la gráfica de 𝑓 de 𝑥 más tres es una traslación de la gráfica de la función original por el vector menos tres, cero. Lo que esto nos dice es que cuando trasladamos la gráfica, la ecuación cambia de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos cuatro a 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 menos cuatro.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo hacer corresponder las gráficas de funciones polinómicas con sus respectivas funciones.

Une las gráficas con sus funciones. En cada caso, indica el grado de la función y su coeficiente principal.

Y nos han dado una serie de funciones. Tenemos una función lineal. Es una cuyo exponente más alto de 𝑥 es uno. Tenemos una cuadrática, o sea, una función polinomial cuyo exponente más alto de 𝑥 es dos. Y tenemos una función cúbica. El exponente más alto de 𝑥 aquí es tres. Por lo tanto, los grados de nuestras tres primeras funciones son uno, dos y tres, respectivamente.

Pero ¿qué pasa con las dos últimas? Bien, para la cuarta, comenzaremos pensando en lo que pasaría si desarrolláramos los paréntesis. Tendríamos que multiplicar cada una de estas 𝑥 por todos los términos en los otros paréntesis. Y obtendríamos 𝑥 a la cuarta potencia. Eso significa que esta es una función cuártica. Su exponente más alto de 𝑥 es cuatro. Así que el grado de esta función es cuatro.

¿Y nuestra última función? A primera vista, parece que no es un polinomio. Tenemos esta 𝑥 en el denominador, pero podemos simplificar la primera parte de nuestra expresión dividiendo ambos términos en el numerador por 𝑥. 𝑥 a la cuarta dividido por 𝑥 es 𝑥 al cubo, y dos 𝑥 al cubo dividido por 𝑥 es dos 𝑥 al cuadrado. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 es en realidad igual a 𝑥 al cubo más dos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥. Es otra función cúbica; su potencia más alta de 𝑥 es tres. Es decir que el grado de nuestra tercera función es tres.

Hemos indicado los grados de cada una de nuestras funciones. ¿Qué pasa con sus coeficientes principales? Bien, el coeficiente principal es el número escrito delante de la potencia más alta de la variable. En nuestra primera función, ese es este término. Llamemos al coeficiente principal c.p. El coeficiente principal aquí es menos uno. En nuestra segunda función, es este término. El coeficiente principal aquí es dos. En nuestra tercera función, el exponente más alto de 𝑥 es 𝑥 al cubo. Y, por lo tanto, el coeficiente principal aquí es menos tres. En nuestra cuarta función, dijimos que cuando desarrollamos los paréntesis, obtendríamos 𝑥 a la cuarta. Así que el coeficiente principal aquí es uno. Del mismo modo, el coeficiente de 𝑥 al cubo en nuestra función final es uno. Así que, el coeficiente principal es uno.

Perfecto, ya conocemos el grado y tenemos el coeficiente principal de cada función. Ahora necesitamos emparejar las funciones con sus respectivas gráficas. Por lo tanto, vamos a exponer un hecho realmente útil. Y es que un polinomio de grado 𝑛 puede tener un máximo de 𝑛 menos uno extremos relativos (también llamados extremos locales). Esto significa que nuestra primera función, que tiene un grado de uno, puede tener un máximo de uno menos uno, que es cero extremos relativos. Nuestra segunda función tendrá dos menos uno; ese es un extremo relativo. Nuestra siguiente función puede tener un máximo de tres menos uno, que son dos extremos relativos. Y del mismo modo, nuestra cuarta función tendrá un máximo de tres extremos relativos. Y nuestra función final tendrá un máximo de dos.

La única gráfica que tiene tres extremos locales es esta de aquí; están aquí, aquí y aquí. Estos son los puntos en los que la pendiente de la gráfica cambia de signo. Así que esta debe ser la gráfica de nuestra función cuártica. Solo hay una gráfica con un extremo local. Así que esta debe ser nuestra función cuadrática. De hecho, las gráficas de funciones cuadráticas siempre son parábolas. La gráfica de la función lineal 𝑓 de 𝑥 igual a tres menos 𝑥 es esta recta; no tiene extremos locales.

Así que todo lo que queda es decidir entre las dos gráficas finales. Ambas son gráficas de funciones cúbicas y podemos identificarlas en función de su coeficiente principal. Esta gráfica de aquí tendrá un coeficiente principal negativo, mientras que esta gráfica tendrá un coeficiente principal positivo. Esta, por lo tanto, debe ser la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 a la cuarta potencia más dos 𝑥 al cubo, todo partido por 𝑥, menos 𝑥. Y esta debe ser la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a ocho 𝑥 menos tres 𝑥 al cubo.

Consideremos ahora un ejemplo más que usa el resultado utilizado antes sobre el número máximo de extremos locales según el grado de la función.

La gráfica dada es de un polinomio 𝑓. ¿Cuál es el grado de 𝑓? ¿Es uno, dos, tres, cuatro o cinco?

Recuerda, un polinomio de grado u orden 𝑛 puede tener hasta 𝑛 menos uno extremos locales. En otras palabras, si podemos hallar el grado de nuestro polinomio, podemos saber que puede tener un máximo extremos relativos igual al grado menos uno. Contemos, pues, los extremos relativos de nuestra gráfica. Vemos que la pendiente de la gráfica cambia de signo aquí y aquí. ¿Pero qué está pasando aquí? No parece que la pendiente de la gráfica cambie verdaderamente de signo, y eso es porque no lo hace. Este es, de hecho, un punto de inflexión. Es un punto donde la concavidad de la gráfica cambia.

Otro hecho importante es que un polinomio de grado 𝑛 puede tener hasta 𝑛 menos dos puntos de inflexión. Y podemos pensar en un de inflexión como si en ese punto hubiera un máximo relativo y también un mínimo relativo. Tenemos, pues, en un mismo punto dos extremos relativos. Esto significa que tenemos un total de cuatro extremos relativos. Por tanto, el grado de nuestro polinomio debe ser cinco.

En este video, hemos aprendido que una función polinómica (también llamada función polinomial) es de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 sub 𝑛𝑥 a la 𝑛-ésima potencia más 𝑎 sub 𝑛 menos uno 𝑥 a la 𝑛 menos uno y así sucesivamente. Hemos visto que las 𝑎 son todas constantes reales y que los exponentes de 𝑥 deben ser números enteros positivos. Hemos aprendido que el grado de una función es el exponente más grande de 𝑥. Esta función polinómica general tiene grado 𝑛. El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado, por lo que es 𝑎 subíndice 𝑛. Por último, hemos aprendido que un polinomio de este grado, de grado 𝑛, puede, por lo tanto, tener hasta 𝑛 menos uno extremos relativos.

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