Vídeo: Usar las propiedades conmutativa y asociativa

Recapitulamos las leyes de conmutatividad y asociatividad de la suma y la multiplicación, después vemos una serie de ejemplos que muestran cómo pueden ser de ayuda para nuestros cálculos mentales y evaluar correctamente las expresiones.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a recapitular las propiedades conmutativa y asociativa de la suma y de la multiplicación, y después vamos a ver cómo podemos usarlas cuando hacemos cálculos mentales o evaluamos expresiones. Primero la asociativa, cuando una operación es aplicada más de una vez, el resultado no depende de cómo los pares de términos estén agrupados. Por ejemplo, si sumamos uno más dos más tres, no importa si sumamos uno más dos primero y después el tres, o si sumamos dos más tres primero y añadimos el uno a la respuesta. De un modo u otro, la respuesta es siempre seis. Y sucede lo mismo con la multiplicación, cuatro por cinco por seis, no importa si multiplicamos cuatro por cinco y después por seis, o multiplicamos cuatro por el resultado de cinco por seis. La respuesta seguirá siendo 120. Sin embargo, la resta y la división no son asociativas. Por ejemplo, si estamos haciendo 10 menos cinco menos dos, según que agrupemos los dos primeros términos o agrupemos los dos últimos términos, obtenemos respuestas distintas. Y del mismo modo con la división, 16 dividido por cuatro dividido por dos, si agrupamos los dos primeros términos, obtenemos una respuesta. Si agrupamos los dos últimos términos, obtenemos una respuesta bastante diferente. Por lo tanto, la resta y la división, como ya hemos dicho, no son asociativas. Y conmutatividad es cuando hacemos una operación de dos términos y obtenemos el mismo resultado sin importar el orden.

Por ejemplo, con la suma, tres más cinco es ocho y cinco más tres es ocho. No importa en qué orden los sumamos. Y lo mismo sucede con la multiplicación, no importa en qué orden multiplicamos cuatro por seis. Así que al multiplicar cuatro por seis o seis por cuatro, la respuesta es la misma, 24. Es decir que la suma y la multiplicación son conmutativas. Pero la resta y la división no son conmutativas. Por ejemplo, siete menos cuatro no es lo mismo que cuatro menos siete: tres no es lo mismo que menos tres. Y en la división, no obtenemos la misma respuesta si calculamos 10 dividido por cinco como si dividiésemos cinco por 10. Dos no es igual a un medio. Así que hemos repasado las definiciones de las propiedades asociativa y conmutativa. Veamos algunas preguntas.

Completa con el número faltante: 39.6 por 12.8 es igual a algo por 39.6. Bien, tenemos 39.6 por algo a ambos lados de nuestra ecuación. En el primer caso, es 39.6 por 12.8. Y en el segundo caso, es algo por 39.6. Y la multiplicación es conmutativa, así que 𝑎 por 𝑏 es igual a 𝑏 por 𝑎. Y esto significa que 39.6 por 12.8 debe ser lo mismo que 12.8 por 39.6. Así que nuestra respuesta es 12.8.

Completa con el número faltante: cuatro y medio más tres con dos novenos es igual a tres con dos novenos más algo. Ambos lados de la ecuación son sumas, y tenemos tres con dos novenos en ambos casos. Tenemos cuatro y medio más tres y dos novenos. Y tenemos tres y dos novenos más algo. La suma es conmutativa, así que 𝑎 más 𝑏 es igual a 𝑏 más 𝑎. Esto quiere decir que cuatro y medio más tres y dos novenos debe ser igual a tres y dos novenos más cuatro y medio.

Rellena los espacios en blanco: seis por cuatro es igual a algo por seis y eso es igual a algo por cinco entre paréntesis más cuatro. Bien, mirando la primera parte de la ecuación, seis por cuatro es igual a algo por seis. Tenemos seis a ambos lados. Y la multiplicación es conmutativa, por lo que seis por cuatro debe ser igual a cuatro por seis. Por lo tanto, esa primera caja tiene un cuatro. Ahora mirando la primera y la última expresión, deben ser iguales entre sí. Así que seis por cuatro es igual a todos los paréntesis más cuatro. Y, por lo tanto, esta expresión aquí debe ser equivalente a seis por cuatro. Bien, tenemos un lote de cuatro aquí y cinco lotes de algo. Si esto fuera un cuatro, tendríamos cinco lotes de cuatro, más uno, que serían seis lotes de cuatro. Entonces, para responder esa parte de la pregunta, tenemos que usar nuestro conocimiento sobre la conmutatividad de la multiplicación, y también la idea de que la multiplicación es una suma repetida. Por lo tanto, tenemos cinco veces cuatro y luego sumamos otro cuatro para obtener seis por cuatro.

Rellena el espacio en blanco: entre paréntesis, tenemos 11.9 más dos punto siete, y a esto estamos sumando nueve punto ocho. Y después al otro lado de la ecuación tenemos 11.9 y luego, entre paréntesis, tenemos dos punto siete más algo. La suma es asociativa de modo que 𝑎 más 𝑏 más 𝑐 es igual a 𝑎 más 𝑏 más 𝑐, lo que es igual a 𝑎 más 𝑏 más 𝑐. Ahora, estas expresiones siguen una regla. Tenemos 𝑎 más 𝑏 en el primer caso más 𝑐, y tenemos 𝑎 más 𝑏 más 𝑐 en el segundo caso. Así que 𝑐 es igual a nueve punto ocho.

En esta pregunta, nos piden completar la tabla, y tenemos un conjunto de propiedades, conmutativa y asociativa, y tenemos que decir si la suma, la resta, la multiplicación y la división tienen esas propiedades. Sabemos que la suma es conmutativa, la resta no es asociativa, la multiplicación es asociativa y la división no es conmutativa. Sabemos que la suma es conmutativa y asociativa, por lo que podemos marcar con un correcto. La resta no cumple nada de eso, así que ponemos un incorrecto en ambos, y esto es un correcto. Y la división no es nada de eso, así que eso es una X.

Ahora para esta pregunta, tenemos que hallar los valores de 𝑥 y 𝑦. Tenemos dos expresiones diferentes. 𝑥 en la primera y 𝑦 en la segunda. Comencemos por la primera. Sabemos que la multiplicación es asociativa, y tenemos esta secuencia aquí. Tenemos 𝑎 por 𝑏 entre paréntesis por 𝑐 es igual a 𝑎 por 𝑏 por 𝑐 entre paréntesis. Si comparamos las dos igualdades, podemos ver que 𝑥 es el equivalente de 𝑏 y siete punto uno es el equivalente de 𝑏, por tanto, nuestra respuesta es 𝑥 es igual a siete punto uno. Y, en la segunda parte, tenemos una idea similar, pero esta vez es una suma, que es asociativa. Entonces, además de ser asociativa, ahora tenemos esto y esta situación, aunque de hecho son al revés en la pregunta. Tenemos 𝑎 más 𝑏 más 𝑐 es igual a 𝑎 más 𝑏 más 𝑐. En este escenario, podemos ver que el valor de 𝑐 es igual a 𝑦, por lo tanto, 𝑦 es igual a siete sobre dos. Y ahí lo tenemos, 𝑦 es igual a siete sobre dos. En resumen, la suma y la multiplicación son asociativas, pero la resta y la división no son asociativas. La multiplicación y la suma son conmutativas, pero la resta y la división no son conmutativas. Y podemos usar todas estas propiedades para hacer cálculos mentales o calcular el valor de las expresiones más fácilmente.

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