Vídeo: Calcular la longitud de arco de una curva aplicando la integral definida

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la longitud de una curva aplicando la integral definida.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar la integración para hallar la longitud de una curva. Para mejor aprovechar este vídeo, es conveniente que ya conozcas algunas de las aplicaciones de la integral definida en el cálculo de áreas, volúmenes y valores promedio. Pero ¿sabías que también podemos hacer uso de la integral definida para calcular la longitud de una curva? En este vídeo vamos a obtener la fórmula de la longitud de arco usando el método de integración y aprenderemos algunas de las aplicaciones básicas de esta fórmula.

Supongamos que una curva 𝑐 está definida por la ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, donde 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏.

Esto tiene más o menos este aspecto. Vamos a hallar una aproximación de la longitud de 𝑐 dividiendo el intervalo en subintervalos y calculando la longitud del segmento que conecta la función en cada uno de estos subintervalos. Supón que el número de subintervalos 𝑛 es cada vez mayor. ¿Qué pasará con nuestra aproximación? A medida que el número de subintervalos aumenta, los segmentos serán más y más cortos, por lo que nuestra aproximación se acercará cada vez más al valor exacto de la longitud de 𝑐. Muy bien, vamos a definir la longitud de la curva 𝐿 de ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 como el límite de la longitud total de estos segmentos, asumiendo que ese límite existe.

Ocurre, sin embargo, que esta fórmula no nos resulta demasiado útil. Pero, nos permite, sin embargo obtener una fórmula integral para 𝐿 siempre que 𝑓 sea continua y derivable en el intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏. Lo que podemos hacer es calcular la longitud de los segmentos de recta a partir de la fórmula de la distancia, o del teorema de Pitágoras, definiendo Δ𝑦 sub 𝑖 como la diferencia entre 𝑦 sub 𝑖 y 𝑦 sub 𝑖 menos uno, que es igual a la diferencia entre 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 menos 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 menos uno. De esta forma podemos decir que la longitud de cada segmento de recta viene dada por la raíz cuadrada de 𝑥 𝑖 menos 𝑥 𝑖 menos uno al cuadrado más 𝑦 𝑖 menos 𝑦 𝑖 menos uno al cuadrado. Podemos reescribir esto como el cuadrado de Δ𝑥 𝑖 al cuadrado más Δ𝑦 𝑖 al cuadrado.

Seguidamente, aplicamos el teorema del valor medio a la función 𝑓 en el intervalo cerrado 𝑥 𝑖 menos uno 𝑥 𝑖, y vemos que tenemos este número 𝑥 𝑖 asterisco entre 𝑥 𝑖 menos uno y 𝑥 𝑖, tal que 𝑓 de 𝑥 𝑖 menos 𝑓 de 𝑥 𝑖 menos uno es igual a la derivada de la función calculada en 𝑥 asterisco 𝑖 por 𝑥 𝑖 menos 𝑥 𝑖 menos uno. Luego reescribimos esto usando la notación que hemos empleado antes. Y hallamos que Δ𝑦 𝑖 es igual a 𝑓 prima de 𝑥 asterisco 𝑖 por Δ𝑥. Sustituimos Δ𝑦 𝑖 en la expresión de la longitud de los segmentos de recta. Y factorizamos la raíz cuadrada de Δ𝑥 al cuadrado. De esta forma hemos hallado que la longitud de cada segmento de recta es Δ𝑥 por la raíz cuadrada de uno más 𝑓 prima de 𝑥 asterisco 𝑖 al cuadrado.

Sustituimos esto en nuestro límite original. Y hallamos que 𝐿 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a infinito de la suma entre 𝑖 igual a uno y 𝑛 de Δ𝑥 por la raíz cuadrada de uno más 𝑓 prima de 𝑥 asterisco 𝑖 al cuadrado. Por definición, podemos decir que esto es igual a la integral entre 𝑎 y 𝑏 de la raíz cuadrada de uno más 𝑓 prima de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. Muy bien, ya hemos obtenido la fórmula.

Esta fórmula dice que, si 𝑓 prima es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏. Entonces, la longitud de la curva dada por 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, sabiendo que 𝑥 es mayor o igual que cero y menor o igual que 𝑏, es 𝐿 igual a la integral definida calculada entre 𝑎 y 𝑏 de la raíz cuadrada de uno más 𝑓 prima de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. Usando la notación de Leibniz expresamos esto como la integral entre 𝑎 y 𝑏 de la raíz cuadrada de uno más d𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado calculada con respecto a 𝑥. Veamos ahora qué aplicación tiene esta fórmula.

Calcula la longitud del arco de la curva de 𝑦 igual a la raíz cuadrada de cuatro menos 𝑥 al cuadrado entre 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a dos, y redondea la respuesta a cinco cifras decimales.

Usando la notación de Leibniz, la fórmula para calcular la longitud del arco de una curva viene dada por la integral definida calculada entre 𝑎 y 𝑏 de la raíz cuadrada de uno más d𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. Sabemos que 𝑦 es igual a la raíz cuadrada de cuatro menos 𝑥 al cuadrado, así que vamos a empezar calculando d𝑦 sobre d𝑥. Si escribimos 𝑦 como cuatro menos 𝑥 al cuadrado elevado a un medio, podremos usar la regla de la potencia para hallar la derivada de esta función con respecto a 𝑥. Es un medio por cuatro menos 𝑥 al cuadrado elevado a menos un medio por la derivada de la función que está dentro del paréntesis. Eso es menos dos 𝑥.

Si dividimos por dos arriba y abajo, y reorganizamos d𝑦 sobre d𝑥, obtenemos menos 𝑥 sobre la raíz cuadrada de cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Igualamos 𝑎 a cero y 𝑏 a dos. Por lo tanto, la longitud de la curva que queremos hallar es igual a la integral definida entre cero y dos de la raíz cuadrada de uno más menos 𝑥 sobre la raíz cuadrada de cuatro menos 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. Esto es fácil de simplificar. La integral se convierte en la raíz cuadrada de uno más 𝑥 al cuadrado sobre cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Vamos a simplificar la expresión que está dentro de la raíz cuadrada multiplicando el numerador y el denominador del número uno por cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Sumamos esto y obtenemos cuatro menos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado sobre cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Menos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado es cero. Por lo tanto, nuestro integrando se convierte en la raíz cuadrada de cuatro sobre cuatro menos 𝑥 al cuadrado.

Y podemos seguir simplificando más. Si sacamos el factor de cuatro, vemos que el integrando puede expresarse como la raíz cuadrada de cuatro por uno sobre la raíz cuadrada de cuatro menos 𝑥 al cuadrado. La raíz cuadrada de cuatro es dos. Podemos sacar factores constantes fuera de la integral. De esta forma tenemos que 𝐿 es igual a dos por la integral definida calculada entre cero y dos de uno sobre la raíz cuadrada de cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Como ves, esto no tiene muy buena pinta. Pero podemos calcular la integral mediante cambio de variable. Como sabemos, la derivada del arcoseno de 𝑥 es uno sobre la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado. Muy bien, vamos a reescribir nuestra integral.

Vamos a sacar el factor cuatro del denominador. Y vemos que dos por uno sobre la raíz cuadrada de cuatro se cancela. También podemos expresar 𝑥 al cuadrado sobre cuatro como 𝑥 sobre dos al cuadrado. Ahora hacemos 𝑢 igual a 𝑥 sobre dos. Así que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a un medio. Y esto es lo mismo que decir que dos d𝑢 es igual a d𝑥. Es necesario que cambiemos los límites de la integral. Cuando 𝑥 es igual a dos, 𝑢 es igual a dos entre dos, que es uno. Y cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑢 es cero entre dos, que es cero.

Ahora vemos que 𝐿 es igual a la integral definida entre cero y uno de uno sobre la raíz cuadrada de uno menos 𝑢 al cuadrado por dos d𝑢. Sacamos el factor común de dos de nuevo. Así que podemos calcular la integral de uno sobre la raíz cuadrada de uno menos 𝑢 al cuadrado. Es el arcoseno de 𝑢. Queremos calcular dos por el arcoseno de 𝑢 entre uno y cero. Eso es dos por el arcoseno de uno menos el arcoseno de cero, que es 𝜋. De esta forma hemos obtenido que la longitud del arco de la curva 𝐿 con cinco cifras decimales es 3.14159.

Ahora vamos a calcular la longitud del arco de una curva definida como 𝑥 en términos de 𝑦. Para una curva de ecuación 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦, donde 𝑔 de 𝑦 es continua y tiene una derivada continua en el intervalo cerrado 𝑐, 𝑑, la longitud de la curva entre 𝑦 igual a 𝑐 y 𝑦 igual a 𝑑 viene dada por la integral definida calculada entre 𝑐 y 𝑑 de la raíz cuadrada de uno más d𝑥 sobre d𝑦 al cuadrado d𝑦. La aplicación de esta fórmula es la misma que la aplicación de la última fórmula que hemos utilizado. Veamos cómo es.

Halla la longitud de arco de la curva 𝑦 al cuadrado igual a 𝑥 entre 𝑦 igual a cero y 𝑦 igual a cuatro.

Como ya hemos dicho, para una curva de ecuación 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦, donde 𝑔 de 𝑦 es continua y tiene una derivada continua en el intervalo cerrado 𝑐 a 𝑑, la longitud del arco de la curva entre 𝑦 igual a 𝑐 y 𝑦 igual a 𝑑 viene dada por la integral definida calculada entre 𝑐 y 𝑑 de la raíz cuadrada de uno más d𝑥 sobre d𝑦 al cuadrado d𝑦. Vamos a aplicar esta fórmula a esta cuestión.

Nuestra función 𝑥 en términos de 𝑦 es 𝑥 igual a 𝑦 al cuadrado. Por lo tanto, vamos a tener que derivar 𝑥 con respecto a 𝑦. La derivada de 𝑥 con respecto a 𝑦 es dos 𝑦. El problema nos pide que hallemos la longitud de arco entre 𝑦 igual a cero y 𝑦 igual a cuatro. Así que hacemos 𝑐 igual a cero y 𝑑 igual a cuatro. Sustituimos los datos que tenemos en esta fórmula y obtenemos que 𝐿 es igual a la integral definida entre cero y cuatro de la raíz cuadrada de uno más dos 𝑦 al cuadrado, calculada con respecto a 𝑦. Dos 𝑦, todo al cuadrado, es lo mismo que cuatro 𝑦 al cuadrado. Por lo tanto, para calcular la longitud del arco que queremos, calculamos la integral definida de la raíz cuadrada de uno más cuatro 𝑦 al cuadrado entre los límites de cero y cuatro. Vamos a usar la calculadora gráfica para hacerlo. Y obtenemos que la longitud del arco es igual a 16.81863, que, redondeado a tres cifras significativas, es 16.8 unidades.

Como ves, los procedimientos a seguir en los dos ejercicios que hemos hecho son prácticamente iguales. Así que vamos a redefinir y formalizar. Tenemos una única fórmula. La longitud del arco viene dada por 𝐿 igual a la integral d𝑠 tal que d𝑠 es igual a la raíz cuadrada de uno más d𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado d𝑥 si 𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥 en un intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏. Y d𝑠 es igual a la raíz cuadrada de uno más d𝑥 sobre d𝑦 al cuadrado d𝑦 si 𝑥 es igual a 𝑔 de 𝑦 en un intervalo cerrado 𝑐 a 𝑑. En el último ejemplo vamos a aprender cómo definir una función de longitud de arco 𝑠 de 𝑥 a partir de un punto dado.

Halla la función de longitud de arco de la curva 𝑦 igual a cuatro 𝑥 elevado a tres medios, y considera el punto con coordenadas uno, cuatro como punto de partida.

Recuerda que la fórmula para calcular la longitud del arco de una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 viene dada por 𝐿 igual a la integral d𝑠, siendo d𝑠 igual a la raíz cuadrada de uno más d𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado d𝑥. En este caso 𝑦 es igual a cuatro 𝑥 elevado a tres medios. Así que empezamos calculando d𝑦 sobre d𝑥. Como sabes, para derivar una función de este tipo, multiplicamos por el exponente y luego reducimos el exponente en uno. Así que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a tres medios por cuatro 𝑥 elevado a un medio. Cuatro entre dos es dos. Así que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a seis 𝑥 elevado a un medio. Esto significa que podemos sustituir los datos que tenemos en la fórmula de d𝑠. Obtenemos la raíz cuadrada de uno más seis 𝑥 elevado a un medio al cuadrado d𝑥.

Esto es fácil de simplificar, obtenemos la raíz cuadrada de uno más 36𝑥. Por lo tanto, 𝐿 va a ser igual a la integral de la raíz cuadrada de uno más 36𝑥 calculada con respecto a 𝑥. Pero, ¿cuáles son los límites? Bueno, estamos operando en términos de 𝑥. Y sabemos que tenemos un punto de partida en 𝑥 igual a uno. Así que ese es el límite inferior. Queremos hallar una función general, así que el límite superior será 𝑥. Y la función del argumento estará dada por la integral calculada entre uno y 𝑥 de la raíz cuadrada de uno más 36𝑥 d𝑥. Muy bien, y ahora, ¿cómo calculamos esta integral? No podemos hacer uso de una calculadora, así que vamos a aplicar el método de sustitución.

Tenemos una función compuesta. Vamos a igualar 𝑢 a la función que está dentro de la raíz cuadrada; que es uno más 36𝑥. Así que la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥 es 36. Del mismo modo, decimos que uno sobre 36 d𝑢 es igual a d𝑥. Pero antes de sustituir vamos a cambiar los límites. Aplicamos el método de sustitución para hacerlo. El límite superior es 𝑥, así que cuando 𝑥 es igual a 𝑥, 𝑢 es uno más 36𝑥. Y el límite inferior es uno, así que cuando 𝑥 es igual a uno, 𝑢 es uno más 36 por uno, que es 37. Ahora sustituimos uno más 36 por 𝑢. Hemos cambiado la raíz cuadrada por el exponente un medio. Y sustituimos d𝑥 por 36 d𝑢. Muy bien, ahora solo nos queda calcular esta integral entre los límites que tenemos.

La integral de 𝑢 elevado a un medio es 𝑢 elevado a tres medios entre tres medios. Esto quiere decir que la integral de 𝑢 elevado a un medio sobre 36 es igual a 𝑢 elevado a tres medios sobre 36 entre tres medios. Y dividir por tres medios es lo mismo que multiplicar por dos tercios. Vamos a simplificar esto un poco. Y vemos que la función de la longitud de arco es ahora uno sobre 54 por 𝑢 elevado a tres medios. Calculada entre 37 y uno más 36𝑥. Eso es uno sobre 54 por uno más 36𝑥 elevado a tres medios menos uno sobre 54 por 37 elevado a tres medios. Muy bien, ya hemos terminado.

Hemos hallado la función de la longitud de arco de la curva 𝑦 igual a cuatro 𝑥 elevado a tres medios tomando el punto con coordenadas uno, cuatro como punto de partida. Es útil saber que ahora que tenemos la función de la longitud del arco. Podemos calcular la longitud de la curva entre el punto 𝑥 igual a uno y cualquier otro punto sustituyendo el valor de 𝑥 en esta fórmula.

En este vídeo hemos aprendido que podemos aplicar la integral definida para hallar la longitud de arco tanto de las curvas que están dadas en la forma 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 como de las que están dadas en la forma 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦. También hemos visto que la fórmula de la longitud del arco está dada por 𝐿 igual a integral d𝑠, siendo d𝑠 igual a la raíz cuadrada de uno más d𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado d𝑥 si 𝑦 es una función en 𝑥 en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏. Y siendo igual a la raíz cuadrada de uno más d𝑥 sobre d𝑦 al cuadrado d𝑦 si 𝑥 es una función en 𝑦 en un intervalo cerrado 𝑐, 𝑑. Asimismo, hemos aprendido que podemos utilizar esta fórmula para hallar la ecuación general de la longitud del arco de una función a partir de un punto de partida dado, cambiando el límite superior de nuestra integral a 𝑥 o 𝑦, dependiendo del contexto.

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