Vídeo: Hallar el máximo común divisor

Usamos la descomposición en factores primos para ayudarnos a hallar el máximo común divisor de dos o tres números. Multiplicar los factores primos que son comunes en todos los números nos permite calcular rápidamente el valor del máximo común divisor.

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Transcripción del vídeo

Veamos cómo se halla el máximo común divisor. Pero antes de hallar el máximo común divisor, probablemente necesitamos hablar de su definición. Para definir el máximo común divisor, primero debemos saber lo que es un «factor» o «divisor». Los factores o divisores de un número son los números que al multiplicar otro número producen aquel número. Por ejemplo, con el número 12, dos por seis es igual a 12. Dos y seis son factores de 12. Tres es un divisor de 12 y cuatro también lo es.

Es probable que hayas oído hablar de algo llamado árbol de factores. Y se ve así. Usamos un árbol de factores cuando estamos interesados en hallar factores primos. Además los usaremos hoy en nuestra búsqueda del máximo común divisor.

Ahora que ya sabemos lo que es un divisor, podemos hablar de máximo y común, y luego unirlos. La palabra «máximo» aquí significa lo que estás pensando, el más grande, el de mayor valor numérico. Y la palabra «común» en este caso significa compartido por todos los números que estamos comparando. Así que cuando hallamos el máximo común divisor, estaremos comparando dos o más números. Y queremos un número que sea compartido por todos ellos.

Cuando juntamos las definiciones, podemos decir que el máximo común divisor es el número más grande por el que se pueden dividir todos los números que estamos comparando. También debemos tomar en cuenta que varias veces veremos la abreviatura MCD. Y esto significa máximo común divisor. A continuación, un ejemplo.

Halla el máximo común divisor de 12 y de 30.

Vamos a comenzar haciendo un árbol de factores para el número 12 y para el número 30. 12 es divisible por dos y por seis. Dos por tres es igual a seis. Y ahora tenemos todos los factores primos de 12. Pasamos al 30, tres por 10 es 30. Dos por cinco es igual a 10. Y estos son los factores primos.

Una vez que hemos hallado los factores de 12 y de 30, empezamos a ver los factores comunes. Por ejemplo, tres y tres son factores de 12 y 30. El número dos es un factor de 12 y un factor de 30. Pero para nosotros, la clave es buscar el máximo común divisor. Podemos hallar el máximo común divisor tomando los factores comunes y multiplicándolos.

Ya que ambos números son divisibles por dos y por tres, multiplicamos dos por tres para obtener seis. Seis es entonces nuestro máximo común divisor. Así que el máximo común divisor de 12 y 30 es seis.

Nuestro ejemplo siguiente nos pide el máximo común divisor de nueve y de 14. Siguiendo el mismo proceso, hacemos árboles de factores para nueve y 14. Nueve es divisible por tres. Sus factores primos son tres y tres. Terminamos allí. Y para 14, tenemos dos y siete. Ambos son factores primos, así que eso es todo lo que podemos hacer por nuestro árbol de factores.

Veamos los factores primos de nueve y 14. Algo sucede aquí que es diferente a nuestro primer ejemplo. Tal vez pienses, ¿no hay factores comunes? Entonces, ¿cómo funciona el método si no hay factores comunes? Pero de hecho hay un número que es un divisor común de nueve y 14. Podemos multiplicar nueve y 14 por uno. Podemos también dividir nueve y 14 por uno. Así que nuestro máximo común divisor aquí es el número uno. Aún si los números no comparten otros factores comunes, sabemos que siempre comparten el número uno.

Para promover el uso del transporte público, Leo quiere regalar a sus amigos sobres con billetes de autobús y metro. Si tiene 32 billetes de autobús y 80 de metro para repartir en partes iguales entre los sobres sin que sobre ninguno, ¿cuál es el mayor número de sobres que Leo puede hacer?

Para este problema, necesitaremos usar, adivina qué, sí, el máximo común divisor. El máximo común divisor de 32 y 80 nos ayuda a determinar exactamente cuántos sobres Leo puede hacer, porque nos dirá en cuántos grupos podemos dividir equitativamente los billetes.

Vamos a comenzar el proceso de la manera en que siempre lo hacemos, hallando los factores primos de 32 y 80. 32 es divisible por dos y por 16. Dos por ocho es igual a 16. Dos por cuatro es igual a ocho. Dos por dos es igual a cuatro. Con 80, vamos a comenzar con ocho y 10. Ocho por 10 es 80. Dos por cuatro es ocho. Dos por dos es cuatro. Dos por cinco es igual a diez.

Aquí tenemos todos los factores. Ahora, veamos cuáles de ellos son comunes. Tanto 32 como 80 tienen el dos como divisor. De hecho, dos a la cuarta es el máximo común divisor de 32 y 80. Así que necesitamos hallar cuánto es dos a la cuarta potencia. Dos elevado a la cuarta es igual a 16. Esto nos dice que Leo puede hacer 16 sobres. Leo puede regalar 16 sobres. Y en esos 16 sobres, cada sobre tendrá dos billetes de autobús y cinco de metro. Todos contendrán exactamente lo mismo. Habrá siete cosas en cada sobre: dos billetes de autobús y cinco de metro.

Veamos otro tipo de ejemplo.

En este ejemplo vamos a comparar tres números y a tratar de hallar su máximo común divisor. Vamos a usar el mismo procedimiento. Sin importar si hay tres, cuatro, cinco o seis números, cuando queremos hallar el máximo común divisor, usamos el mismo procedimiento que hemos estado usando hasta ahora. Vamos a usar árboles de factores para hallar el máximo común divisor.

Así que aquí vamos con los árboles de factores. 10 por 11 es 110. Dos por cinco es igual a 10. Y ahora para 40, cuatro por 10, cuatro es igual a dos por dos. 10 es igual a dos por cinco. 12 por 10 es igual a 120. Dos por seis es igual a 12. Dos por cinco es igual a 10. Finalmente, dos por tres es igual a seis.

Todos estos números tienen dos y cinco en común, lo que significa que el máximo común divisor es 10. Podemos también ver esto en esta parte del árbol de factores. Dos por cinco es igual a 10. 10 es el máximo común divisor de estos tres números. Y ahora es tu turno de intentar hallar el máximo común divisor de otros números.

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