Lesson Video: Límites: concepto y notación

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Límites: concepto y notación

En este video, vamos a explorar el concepto de límite y vamos a aprender cómo usar la notación de límites. Los límites son herramientas extremadamente importantes y de uso muy frecuente en cálculo. En muchos casos son utilizados como herramientas para construir conceptos más sofisticados, desarrollos estos que se presentan en videos que siguen a este. La notación estándar para un límite es la siguiente. Esta oración matemática se lee como sigue: el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Esta igualdad es verdadera si y solo si podemos hacer que el valor de 𝑓 de 𝑥 sea arbitrariamente cercano a 𝐿 si escogemos valores de 𝑥 lo suficientemente cercanos a 𝑎, desde ambos lados, sin que 𝑥 sea exactamente igual a 𝑎.

Debemos señalar, no obstante, que en este video no vamos a analizar una definición matemáticamente precisa del límite. Esta definición, que usa los símbolos griegos 𝜀 y 𝛿, puedes verla en otra parte. En vez de eso, nosotros vamos a trabajar con esta definición de uso común, que nos sirve para entender el significado de límite. Considera la gráfica de cierta función 𝑓 de 𝑥. Que nuestra definición diga que podemos hacer que el valor de 𝑓 de 𝑥 sea arbitrariamente cercano a 𝐿, significa tan cercano a 𝐿 como queramos. Nuestro límite nos dice, pues, que el valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima cada vez más a 𝐿 a medida que el valor de 𝑥 se aproxima más y más a 𝑎. Cuando decimos desde ambos lados, queremos decir que 𝑥 puede acercarse al valor de 𝑎 desde la derecha, siendo 𝑥 mayor que 𝑎, o desde la izquierda, siendo 𝑥 menor que 𝑎.

Finalmente, es muy importante que 𝑥 no sea igual a 𝑎. Y regresaremos a este punto más adelante. Antes de continuar, debemos indicar que a veces una notación alternativa para límites es usada, la cual es más o menos así. Leeríamos esta afirmación así: 𝑓 de 𝑥 tiende a 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑎. Veamos ahora un ejemplo sencillo para ilustrar el uso de la notación de límite.

¿Cuál es la notación correcta para expresar la siguiente afirmación? Cuando 𝑥 tiende a cero, 𝑓 de 𝑥 tiende a menos seis.

En una cuestión de este tipo, lo primero que notamos es la palabra «tiende». Cuando nos dicen que el valor de una función o de una variable tiende a algo, nos dan una pista de que nuestra pregunta incluye límites. Esta notación estándar para un límite se muestra aquí. Y leeríamos la afirmación así: el límite cuando 𝑥 tiende 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. En otras palabras, lo que esta afirmación nos dice es que a medida que el valor de 𝑥 se acerca a la constante, aquí llamada 𝑎, el valor de 𝑓 de 𝑥 se acerca a 𝐿. A este 𝐿 se le conoce como el valor del límite. Es importante darse cuenta de que no nos han dicho que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿, sino que el valor de nuestro límite es igual a 𝐿.

Una vez que sabemos cómo escribir un límite y cómo interpretar esta notación, podemos ver cómo se aplica esto a nuestra cuestión. Nos han dicho que cuando 𝑥 tiende a cero, 𝑓 de 𝑥 tiende a menos seis. Este cero es el valor al que consideramos que tiende 𝑥. Y está representado por 𝑎 en nuestra expresión general del límite. De igual manera, este menos seis, que es el valor al que 𝑓 de 𝑥 tiende, está representado por 𝐿 en nuestra expresión general del límite. Y, por lo tanto, podemos escribir la siguiente oración. El límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 es igual a menos seis. Como hemos reemplazado 𝑎 por cero y 𝐿 por menos seis, la oración se lee de la siguiente manera. Cuando el valor de 𝑥 tiende a cero, el valor de 𝑓 de 𝑥 tiende a menos seis.

Observamos que la afirmación en la pregunta y la oración que acabamos de escribir, significan lo mismo exactamente. Esto quiere decir que hemos expresado la oración dada en la pregunta usando la notación para el límite correcta.

Volvamos ahora a nuestra definición para resaltar un hecho muy importante. Un aspecto fundamental de nuestra definición es que el límite se refiere a valores de 𝑥 que tienden a 𝑎 pero no al valor de 𝑥 igual a 𝑎. Esto significa que el valor del límite, que ,por supuesto, es 𝐿, nos da información muy útil sobre el valor de nuestra función cuando 𝑥 está cerca de 𝑎. Pero no debemos sacar conclusiones sobre el valor de nuestra función cuando 𝑥 es igual a 𝑎. Y, por supuesto, esto es 𝑓 de 𝑎. De hecho, el valor de 𝑓 de 𝑎 y el valor de 𝐿 podrían ser muy diferentes. Y vamos a ilustrar esto con el siguiente ejemplo.

Anteriormente, vimos un diagrama que ilustraba nuestra definición del límite en forma gráfica. Asignemos algunos valores a este gráfico para obtener más información sobre el concepto con el que estamos trabajando. Tenemos aquí, que el límite cuando 𝑥 tiende a uno de nuestra función, la cual llamaremos 𝑓 uno de 𝑥, es igual a tres. Por supuesto, esto significa que cuando el valor de 𝑥 se acerca a uno, el valor de 𝑓 uno de 𝑥 se acerca a tres. Para esta función, resulta que 𝑓 uno de uno es igual a tres. Lo que significa que cuando 𝑥 es realmente igual a uno, el valor de nuestra función es igual a tres. Sin embargo, este no es siempre el caso. Consideremos otra función, 𝑓 dos de 𝑥.

𝑓 dos de 𝑥 es casi idéntica a nuestra primera función, 𝑓 uno de 𝑥. Sin embargo, notamos que tenemos un circulito hueco en nuestra gráfica en la coordenada uno, tres. Y en su lugar, tenemos un circulito lleno en nuestro gráfico en la coordenada uno, cuatro. Esto quiere decir que nuestra función no está definida en el circulito hueco sino en el lleno. Cuando 𝑥 es igual a uno, nuestra función es igual a cuatro. Así que 𝑓 dos de uno es igual a cuatro. A pesar de esta diferencia, no debemos equivocarnos y pensar que el valor de nuestro límite cuando 𝑥 tiende a uno es también igual a cuatro. En realidad, el hecho de que el valor de 𝑓 de uno haya cambiado no afecta en absoluto a nuestro límite. Y podemos decir todavía que el límite cuando 𝑥 se acerca a uno de 𝑓 dos de 𝑥 es igual a tres.

Esto se debe a que el límite se refiere a valores de 𝑥 que son cercanos a 𝑥 igual a uno, pero no al valor 𝑥 igual a uno. Cuando 𝑥 se aproxima a uno, 𝑓 dos de 𝑥 todavía se aproxima a tres. Podemos ampliar este concepto aún más si pensamos en que nuestra función puede incluso no estar definida en el punto en el que se halla el límite.

Considera una última función 𝑓 tres de 𝑥. Esta función es idéntica a nuestras dos funciones anteriores excepto cuando 𝑥 es igual a uno. En este caso, nuestra función no está definida. O sea, 𝑓 tres de uno no está definido. Al igual que con 𝑓 dos de 𝑥, este cambio no afecta nuestro límite. Y todavía podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 tres de 𝑥 es igual a tres. Viendo estos tres ejemplos, nos damos cuenta de que tenemos tres casos distintos. Primero, cuando el valor de una función es igual al valor del límite en un punto. Después, cuando el valor de la función está definido, pero no es igual al valor del límite en ese punto. Y, finalmente, cuando el valor de la función en el punto en el cual el límite está siendo tomado no está definido.

Podemos generalizar estos tres casos y decir que, si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿, 𝑓 de 𝑎 puede ser igual a 𝐿, 𝑓 de 𝑎 puede estar definido pero no ser igual a 𝐿, o 𝑓 de 𝑎 puede no estar definido. Esperamos que este ejemplo haya demostrado por qué no debemos sacar conclusiones sobre el valor de 𝑓 de 𝑎 basándonos en el valor del límite. Y es que hay muchas posibilidades diferentes. Usemos esta información para contestar la siguiente pregunta.

Verdadero o falso: Si el límite cuando 𝑥 tiende a cinco de 𝑓 de 𝑥 es igual a menos tres, entonces 𝑓 de cinco debe ser igual a menos tres.

Para esta pregunta, nos han dado información en la forma de límite. Interpretemos esta afirmación. Lo que esto nos dice es que cuando el valor de 𝑥 se aproxima a cinco, el valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima a menos tres. Veamos si ahora podemos contestar la pregunta. La pregunta nos pide hallar si el límite garantiza que cuando 𝑥 es igual a cinco, el valor de la función es menos tres. Para responder a esto, recordemos la forma general de un límite.

Recordemos que el límite se refiere a los valores de 𝑥 que están arbitrariamente cerca de 𝑎, pero no al valor de 𝑥 igual a 𝑎. En nuestra pregunta, esta 𝑎 tiene un valor igual a cinco. El límite nos da información sobre nuestra función cuando 𝑥 está cerca de cinco pero no nos da información sobre nuestra función cuando 𝑥 es igual a cinco. De hecho, 𝑓 de cinco puede ser igual a nuestro límite, que es menos tres. Pero puede también tomar cualquier otro valor o incluso no estar definido. No podemos, pues, garantizar que el valor de 𝑓 de cinco sea igual a menos tres a partir del límite, así que la respuesta a la pregunta es falso. 𝑓 de cinco no tiene que ser igual a menos tres.

Ahora que ya entendemos mejor las propiedades de los límites, veamos un ejemplo en el que nos piden evaluar el límite.

La siguiente figura muestra la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado. ¿Qué sugiere la gráfica sobre el valor del límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥?

Para esta pregunta, nos han dado la gráfica de una función. Y nos piden evaluar un límite de dicha función. Para interpretar esto, recordemos la forma general del límite. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Lo que nos dice este enunciado es que el valor de 𝑓 de 𝑥 se acerca a 𝐿 cuando el valor de 𝑥 se acerca a 𝑎 por ambos lados. Pero recuerda, no estamos interesados en el punto en donde 𝑥 es igual a 𝑎. Apliquemos esta afirmación a nuestra pregunta.

El límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a algún valor. Y llamaremos a este valor 𝐿 uno. Este 𝐿 uno es lo que necesitamos hallar. Lo que el enunciado nos dice es que el valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima a 𝐿 uno cuando el valor de 𝑥 se aproxima a dos en ambos lados. Y recuerda que este valor no tiene que ser necesariamente el mismo valor que el de nuestra función cuando 𝑥 es igual a dos. Para hallar el valor de 𝐿 uno, podemos ver qué sucede con el valor de nuestra función a medida que nos acercamos más y más a 𝑥 igual a dos. Vamos a comenzar con un valor de 𝑥 que es ligeramente menor que dos.

Digamos que 𝑥 es igual a 1.5. En este caso, 𝑓 de 𝑥 es igual a 2.25. Como sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado, podríamos incluso verificar nuestros resultados gráficos calculando 1.5 al cuadrado. Incrementemos nuestro valor de 𝑥. Nos acercamos a 𝑥 igual a dos desde la izquierda, cuando 𝑥 es menor que dos. A medida que hacemos esto, notamos que el valor de 𝑓 de 𝑥 parece tender a cuatro. Si siguiéramos un proceso similar, comenzando con un valor de 𝑥 ligeramente mayor que dos y después nos acercáramos a 𝑥 igual a dos desde la derecha. Notaríamos que los valores de 𝑓 de 𝑥 también tienden a cuatro.

Sin necesidad de hacer cálculos, hemos visto que, cuando 𝑥 tiende a dos, 𝑓 de 𝑥 tiende a cuatro. Esto es cierto si nos acercamos desde la izquierda o desde la derecha. Básicamente, en nuestra gráfica, estamos acercándonos al punto dos, cuatro. Así que hemos demostrado que el valor de 𝑓 de 𝑥 tiende a cuatro cuando el valor de 𝑥 tiende a dos. Ya que esta afirmación define nuestro límite, podemos usar este resultado para decir que el valor del límite es también cuatro. Haciendo esto, hemos respondido la pregunta. Usando nuestra gráfica, hemos observado que el valor de 𝑓 de 𝑥 tiende a cuatro cuando 𝑥 tiende a dos desde la izquierda y desde la derecha. Por lo tanto, podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a cuatro.

Echemos un vistazo al último ejemplo, en donde nos piden evaluar el límite.

La siguiente figura es la gráfica de la función 𝑓, siendo 𝑓 de 𝑥 igual a sen 𝑥 sobre 𝑥. Apartado i, ¿cuál es el valor de 𝑓 de cero?

En el apartado i de esta pregunta, nos piden hallar el valor de 𝑓 de cero. Es decir, que debemos evaluar nuestra función cuando 𝑥 es igual a cero. Podemos hallar gráficamente el valor de 𝑓 de cero de la siguiente manera. Tomamos el punto en el eje de las 𝑥, en donde 𝑥 es igual a cero, dibujamos una recta vertical y notamos donde interseca nuestra curva. Cuando hacemos esto, vemos que alcanzamos un circulito hueco.

Esto quiere decir que nuestra función no está definida en este punto de nuestra curva. Si tuviésemos un circulito lleno en algún punto en donde 𝑥 es igual a cero, esto significaría que nuestra función está definida en este lugar. Sin embargo, no vemos ningún circulito sólido en donde 𝑥 es igual a cero. Y esto significa que nuestra función no está definida en 𝑥 igual a cero. Sabiendo esto, no podemos asignar un valor a 𝑓 de cero, y solo podemos decir que no está definido. Esta es la respuesta al apartado i de nuestra pregunta. Pasemos ahora al apartado ii.

¿Qué sugiere la gráfica acerca del valor del límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑓 de 𝑥?

Para entender mejor esta parte de la pregunta, escribamos la forma general de una ecuación de límite. Lo que esta afirmación nos dice es que el valor de 𝑓 de 𝑥 tiende a 𝐿 cuando el valor de 𝑥 tiende a 𝑎 desde los dos lados. Pero no nos interesa el punto en donde 𝑥 es igual a 𝑎. Bien, queremos hallar el límite cuando 𝑥 tiende a cero de nuestra función. En otras palabras, 𝑎 en la forma general de nuestra ecuación de límite es cero. Para hallar el valor de nuestro límite, necesitamos hallar 𝐿. Podemos llamarlo 𝐿 uno para mayor claridad. 𝐿 uno es el valor al que 𝑓 de 𝑥 tiende cuando 𝑥 tiende a cero desde ambos lados. Para hallar 𝐿 uno, podemos ver nuestra gráfica y ver qué pasa con nuestra curva cuando el valor de 𝑥 tiende a cero.

Vemos que cuando 𝑥 tiende a cero, 𝑓 de 𝑥 tiende a uno. En otras palabras, nos estamos acercando a la coordenada del punto cero, uno. Pero espera, este punto cero, uno en nuestra gráfica es un circulito hueco, que significa que nuestra función no está definida aquí. Pero esto no es ningún problema. Esto se debe a que nuestro límite incluye valores de 𝑥 que son arbitrariamente cercanos a cero pero no donde 𝑥 es igual a cero. Hemos hallado que 𝑓 de 𝑥 tiende a uno cuando 𝑥 tiende a cero desde ambos lados. Esto significa que 𝐿 uno es igual a uno. Ahora podemos escribir nuestra expresión del límite en su totalidad. El límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 es igual a uno. Y así hemos contestado los dos apartados de nuestra pregunta.

Usamos un gráfico primero para determinar que 𝑓 cero no está definido. Y después concluimos que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 era igual a uno. Aquí cabe señalar que el valor del límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 no era igual al valor de la función cuando 𝑥 es igual a cero. Siempre debemos recordar que el límite de una función cuando 𝑥 tiende a algún valor, digamos 𝑎, no necesariamente nos proporciona información confiable sobre el valor de la función cuando 𝑥 es igual a 𝑎. La conclusión errónea de que estas dos cosas son siempre iguales puede traernos complicaciones. De hecho, hemos visto en esta pregunta que nuestra función ni siquiera necesita estar definida en un punto donde se está hallando un límite.

Bien, para terminar este video, revisemos algunos puntos clave. Los límites son una herramienta fundamental en muchas áreas del cálculo. La notación estándar para un límite se muestra aquí. Y leeríamos esto así: el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. También se puede representar la misma información usando una notación ligeramente diferente. Una interpretación de estas afirmaciones es que el valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima a 𝐿 cuando el valor de 𝑥 se aproxima a 𝑎. Y recuerda que esto debe ser cierto a medida que 𝑥 se aproxima a 𝑎 desde los dos lados, desde la derecha y desde la izquierda.

Un aspecto crucial de nuestra definición es que el límite se refiere a valores de 𝑥 que están arbitrariamente cerca de 𝑎 pero no al valor 𝑥 igual a 𝑎. Esto significa que el límite puede darnos información útil sobre nuestra función para valores de 𝑥 cerca de 𝑎. Pero no debemos sacar conclusiones sobre 𝑓 de 𝑎, o sea, sobre el valor de nuestra función cuando 𝑥 es igual a 𝑎. Ilustramos esto anteriormente mostrando que, si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Puede ser cierto que 𝑓 de 𝑎 también sea igual a 𝐿, que 𝑓 de 𝑎 no sea igual a 𝐿 sino igual a algún otro valor finito, o, de hecho, que 𝑓 de 𝑎 no esté definido.